江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省淮阴中学2019-2020学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题（每小题只有一个正确选项.）‎ ‎1.顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义即可求得答案．‎ ‎【详解】由题意设抛物线的方程为，因焦点坐标为，则，‎ ‎，‎ 抛物线的方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及的值是关键，属于基础题．‎ ‎2.圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．‎ ‎【详解】由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高，‎ 所以此圆锥的体积.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.‎ ‎3.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的线性运算的法则计算．‎ ‎【详解】-＝，，‎ ‎∴+（-）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．‎ ‎4.已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=‎ A. –4 B. –2 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.‎ ‎【考点】函数的导数与极值点 ‎【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.‎ ‎5.如图，正方体中，、分别是边和的中点，则和所成的角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线所成角的定义，把直线平移和直线相交，找到异面直线与所成的角，解三角形即可求得结果．‎ ‎【详解】如图，取的中点，连接，，‎ 在正方体中，设正方体边长为2，‎ 易证（或补角）为异面直线与所成的角，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理得，即，‎ 所以异面直线与所成的角为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．‎ ‎6.将等腰直角三角形沿底边上的高线折成的二面角，则折后的直线与平面所成角的正弦值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据翻折易知直线与平面所成角为，即可得到答案.‎ ‎【详解】将等腰直角三角形沿底边上的高线折成的二面角，如图所示：‎ ‎ ‎ 在等腰直角三角形中，，‎ 易知直线与平面所成角为，又，，‎ 所以为正三角形，故，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎7.已知是不同的直线，是不同的平面，若，，‎ ‎，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造长方体中的线、面与直线相对应，从而直观地发现成立，其它情况均不成立.‎ ‎【详解】如图在长方体中，‎ 令平面为底面，平面为平面，直线为 若直线为直线，此时，且，故排除A,B,D；‎ 因为，，所以内存在与平行的直线，且该直线也垂直，由面面垂直的判定定理得：，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.‎ ‎8.椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中的关系，列出方程，即可求出．‎ ‎【详解】由双曲线知，，焦点在轴上，所以 依据椭圆与双曲线中的关系可得，，解得，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用．‎ ‎9.如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在（ ） ‎ A. 直线AB上 B. 直线BC上 C. 直线AC上 D. 内部 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A ‎10.已知圆的方程为，其中为常数，过圆内一点的动直线与圆交于，两点，当最小时，直线的方程为，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点的直线与直线垂直，再由斜率的关系列式求解．‎ ‎【详解】将圆：化为，‎ 圆心坐标为，半径，如图：‎ 由题意可得，过圆心与点的直线与直线垂直时，最小，‎ 此时，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎11.当时，函数，则下列大小关系正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导得出在上单调递增，而根据即可得出，从而得出，从而得出选项．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 由于时，，函数在上单调递增，‎ 由于，故，所以，‎ 而，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.‎ ‎12.过双曲线：左顶点作斜率为1的直线，若与双曲线的渐近线分别交于、两点，且，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程，得渐近线方程为或，设过左顶点的直线的方程为，与渐近线方程联立解得，的横坐标关于的式子，由得为的三等分点，利用向量坐标运算建立关于的方程并解之可得，由此算出，即可得到双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由题可知，所以直线的方程为，‎ 因双曲线的方程为，则两条渐近线方程为或，‎ 由，解得，同理可得，‎ 因，又，，‎ ‎，解得，‎ 在双曲线中，，‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题给出双曲线的渐近线与过左顶点的直线相交于，两点且为的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．‎ ‎【详解】依题意得，因此曲线在点处的切线的斜率，‎ 所以相应的切线方程为，‎ 当时，；当时，；‎ 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.已知是椭圆：上一点，若不等式恒成立，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】根据题意设，即，，‎ 代入不等式得：恒成立， ‎ 即恒成立，又，‎ ‎，即，‎ 故的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题.‎ ‎15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是腰长为的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为，进而可得外接球的半径，即可得表面积.‎ ‎【详解】由题意知该直三棱柱是底面的腰长为的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为，‎ 所以该“堑堵”的外接球的半径，故外接球的表面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.‎ ‎16.设，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设（其中，则），其几何意义为两点，的距离的平方，令，，‎ 则，而是抛物线上的点到准线的距离，从而可以看作抛物线上的点到焦点距离和到上的点的距离的和，即的最小值是点到上的点的距离的最小值.‎ ‎【详解】设（其中，则），其几何意义为两点，的距离的平方，令，，‎ 由的导数为，，‎ 点在曲线上，又，‎ 令，，‎ 则，而是抛物线上的点到准线的距离，即抛物线上的点到焦点的距离，‎ 从而可以看作抛物线上的点到焦点距离和到上的点的距离的和，即，如图所示：‎ 由两点之间线段最短，得的最小值是点到上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则就最小，即最小，‎ 设，则，即，解得，即 点到的距离就是点到上的点的距离的最小值，‎ 故的最小值为，即的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，，从而平面，由此即可得证；‎ ‎（2）由题意可得，进而可得平面，又，即可得平面，由此即可得证平面平面.‎ ‎【详解】证明：（1）∵矩形，∴，‎ 又∵，且，平面，∴平面，‎ 又∵平面，∴.‎ ‎（2）∵矩形，∴，又平面，平面，∴平面.又∵，平面，平面.∴平面，又，平面，∴平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18.已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意设，半径为，则圆的方程为，由题意圆经过点，且与直线相切，得到关于，的方程解得即可；‎ ‎（2）由题意得：四边形周长，其中，利用点到直线的距离即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）因为圆心在直线上，所以可设，半径为，‎ 则圆的方程为；又圆经过点，且与直线相切，‎ 所以，解得，所以圆的方程为.‎ ‎（2）由题意：四边形周长，其中， ‎ 即取最小值时，此时周长最小，又因在直线上，即圆心到直线的距离时，的最小值为，‎ 所以周长，‎ 故四边形周长的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.‎ ‎19.2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）‎ ‎（1）求胶囊中药物体积关于的函数关系式；‎ ‎（2）如何设计与的长度，使得最大？‎ ‎【答案】(1) ，. (2) 为毫米，为毫米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积关于的函数关系式；‎ ‎（2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）由得，，所以，‎ 所以药物体积，.‎ ‎（2）求导得，令，得或（舍），‎ 当，，在区间上单调增，‎ 当，，在区间上单调减，‎ 所以当时，有最大值，此时，，‎ 答：当为毫米，为毫米时，药物的体积有最大值.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎20.如图，三棱柱中，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，，平面平面，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件证四边形为平行四边形即可得平面；‎ ‎（2）利用几何关系作出二面角的平面角，利用解三角形即可得到答案.‎ ‎【详解】证明：（1）取的中点，连接，，‎ ‎∵，，∴，‎ 在三棱柱中，∵，.‎ ‎∴，且.∵为的中点，∴.‎ ‎∴，且.∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴，∵平面，平面，∴平面.‎ 其他方法：‎ ‎（2）∵，是中点，∴.又∵三棱柱，‎ ‎∴，∴，又∵平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ ‎∴平面，又平面，∴，，‎ 为二面角的平面角，如图：‎ 在三角形中，，，∴中线，‎ ‎，‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当，时，求函数在上的最小值；‎ ‎（2）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当，时，求出函数的导数，通过函数在区间上单调递减；在上单调递增，求得最小值；‎ ‎（2）当时，，得到，是方程的两根，从而，，推出的表达式，记，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）当，时，，，则，‎ ‎∴当时，；当时，，∴在上单调递减；在上单调递增，∴.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴，是方程的两根，∴，，‎ ‎∵且，，∴，，‎ ‎∴，‎ 令，则，∴在上单调递增，‎ ‎∴，即：.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.‎ ‎22.如图，为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于、两点，是的中点.‎ ‎（1）求证：点横坐标是定值，并求出该定值；‎ ‎（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于、两点，求的值，使得的面积最大.‎ ‎【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可求，设、，：，联立直线与抛物线，利用是的中点得，计算可得点的横坐标是定值；‎ ‎（2）由题意设直线的方程为，联立方程，利用是的中点，可得，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求的面积最大值，由取等条件解得的值.‎ ‎【详解】（1），过的直线和抛物线交于两点，所以的斜率存在且不为0，设：，其中是斜率的倒数，设、，满足，即，且，因为是中点，所以，所以，，‎ 所以，即点的横坐标为定值1.‎ ‎（2）直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以的斜率和的斜率互为相反数.设直线为，即，‎ 联列方程得，‎ ‎，所以；且，‎ ‎∵点是中点，∴，‎ 设到的距离，，‎ ‎，令，‎ 当且仅当，时取到，‎ 所以，.‎ 法二：因为点在抛物线上，不妨设，又是中点，则，代入抛物线方程得：，得：，∴为定值.‎ ‎（2）∵直线的斜率，直线斜率，‎ ‎∴直线的方程：，即，令代入椭圆方程整理得：‎ ‎，设、，下同法一.‎ ‎【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎