四川省雅安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

四川省雅安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

雅安中学高2018级高二上期半期数学试卷 ‎ ‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．准线方程为y＝2的抛物线的标准方程是（　　）‎ A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝﹣16y D．x2＝﹣8y ‎2．程序框图符号“”可用于（　　）‎ A．赋值a＝6 B．输出a＝‎5 ‎C．输入a＝5 D．判断a＝6‎ ‎3．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，一条直线经过F1与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）‎ A． B．‎6 ‎C． D．12‎ ‎4．如果方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）‎ A．4＜m＜5 B．m＞ C．4＜m＜ D．＜m＜5‎ ‎5．若直线Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）经过第一、二、四象限，则系数A，B，C满足条件为（　　）‎ A．A，B，C同号 B．AC＞0，BC＜‎0 ‎C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0‎ ‎6．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　）‎ A．1 B．﹣‎1 ‎C．﹣2或1 D．2或1‎ ‎7．已知椭圆C：x2+＝1（n＞0）的离心率为，则n的值为（　　）‎ A．或4 B． C．或2 D．‎ ‎8．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎9．已知椭圆C1：+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2＝1（n＞0）的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e1•e2‎ 的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．已知P为直线2x+y﹣5＝0上的动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝2的一条切线，切点为Q，则△PCQ面积的最小值是（　　）‎ A． B． C．3 D．6‎ ‎11．已知圆C与直线x+y+3＝0相切，直线mx+y+1＝0始终平分圆C的面积，则圆C方程为（　　）‎ A．x2+y2﹣2y＝2 B．x2+y2+2y＝‎2 ‎C．x2+y2﹣2y＝1 D．x2+y2+2y＝1‎ ‎12．已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）‎ A．+＝1 B．+＝1 ‎ C．+＝1 D．+＝1‎ 二．填空题（共4小题，每题5分）‎ ‎13．直线x+2y﹣3＝0与x轴交点的横坐标是　 　．‎ ‎14．下面程序的运行结果是　 　．‎ ‎15．某曲线的方程为＝2，若直线l：与该曲线有公共点，则实数k的取值范围是　 　‎ ‎16．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为　 　．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．（10分）已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．‎ ‎（1）求BC边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求BC边上的中线所在直线的方程．‎ ‎18．（12分）已知双曲线C1的离心率等于，且与椭圆C2：有公共焦点，‎ ‎（1）求双曲线C1的方程；‎ ‎（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距，求该抛物线方程．‎ ‎19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+my＝0经过点（3，﹣1）．‎ ‎（1）若直线l：2x﹣y+t＝0与圆C相切，求t的值；‎ ‎（2）若圆M：（x﹣6）2+（y﹣10）2＝r2（r＞0）与圆C没有公共点，求r的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过点M（1，）作直线l，交椭圆于A，B两点．如果M恰好是线段AB的中点，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（P＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|＝6．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程．‎ ‎22．（12分）椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M（0，﹣1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆 C相交于A，B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明：k1+k2为定值，并求出该定值．‎ 高二上期半期数学试卷参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．选：D．2．选：D．3．选：C．4．选：D．5．选：D．6．选：D．7．选：A．‎ ‎8．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（　　）A． B． C．或 D．或 ‎【解答】解：由于一条渐近线方程为，可设双曲线的方程为2x2﹣y2＝m（m≠0），‎ 当m＞0时，双曲线方程即为，离心率e＝＝；‎ 当m＜0时，双曲线方程即为，离心率e＝＝．故选：D．‎ ‎9．已知椭圆C1：+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2＝1（n＞0）的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的值为（　　）A．1 B． C． D．‎ ‎【解答】解：椭圆C1：+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2＝1（n＞0）的焦点重合，可得m2﹣1＝n2+1，即n2＝m2﹣2，①‎ 若双曲线顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得n＝m，②由①②可得m＝，n＝，‎ 则e1•e2＝•＝•＝•＝．故选：C．‎ ‎10．已知P为直线2x+y﹣5＝0上的动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝2的一条切线，切点为Q，则△PCQ面积的最小值是（　　）‎ A． B． C．3 D．6‎ ‎【解答】解：点P是直线l：2x+y﹣5＝0上的动点，‎ 则圆心C（1，﹣2）到直线l的距离为d＝＝；‎ 则|PC|的最小值为，过点P作圆C的切线，切点为Q，连接CQ，则CQ⊥PC；‎ 所以△PCQ的面积等于×CQ×PQ＝××＝，‎ 即△PCQ面积的最小值为．故选：A．‎ ‎11．已知圆C与直线x+y+3＝0相切，直线mx+y+1＝0始终平分圆C的面积，则圆C方程为（　　）A． x2+y2﹣2y＝2 B．x2+y2+2y＝‎2 ‎C．x2+y2﹣2y＝1 D．x2+y2+2y＝1‎ ‎【解答】解：∵直线mx+y+1＝0始终平分圆C的面积，‎ ‎∴直线mx+y+1＝0始终过圆的圆心（0，﹣1），‎ 又圆C与直线x+y+3＝0相切，则圆的半径r＝．‎ ‎∴圆C的方程为x2+（y+1）2＝2，即x2+y2+2y＝1．故选：D．‎ ‎12．已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）‎ A．+＝1 B．+＝‎1 C．+＝1 D．+＝1‎ ‎【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，‎ 又|BF1|+|BF2|＝‎2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，‎ ‎∵|AF1|+|AF2|＝‎2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．‎ 在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，‎ 在△BF‎1F2中，由余弦定理可得cos∠BF‎2F1＝＝．‎ cos∠AF2O+cos∠BF‎2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝12．‎ b2＝a2﹣c2＝12﹣4＝8．椭圆C的方程为：+＝1．故选：A．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．直线x+2y﹣3＝0与x轴交点的横坐标是　3　．‎ ‎14．下面程序的运行结果是　10　．‎ ‎15．某曲线的方程为＝2，若直线l：y＝kx+1﹣与该曲线有公共点，则实数k的取值范围是　（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．　‎ ‎【解答】解：直线y＝kx+1﹣＝k（x﹣）+1，定点（，1），曲线是以点（﹣1，0）和（1，0）为端点的线段，故当直线l与曲线有交点时，如图所示，‎ 故直线l的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．‎ ‎16．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为　（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5　．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），‎ 直线AB的斜率k＝＝＝（xA+xB）＝＝2，‎ 则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，‎ 令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，‎ 故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．‎ ‎（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．‎ 解：（1）BC边所在直线的斜率为…（1分）‎ 则BC边上的高所在直线的斜率为…（3分）‎ 由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为：y﹣0＝6（x﹣4）‎ 化简得：y＝6x﹣24…（5分） ‎ ‎（2）设BC的中点E（x0，y0），由中点坐标公式得，‎ 即点…（7分）‎ 由直线的两点式方程可知直线AE的方程为：…（9分）‎ 化简得：…（10分）‎ ‎18．已知双曲线C1的离心率等于，且与椭圆C2：有公共焦点，‎ ‎（1）求双曲线C1的方程；‎ ‎（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆C2的焦距，求该抛物线方程．‎ 解：（1）∵双曲线C1的离心率等于，∴，椭圆C2：的焦点 ‎（±，0），c＝，∴a＝2，b＝1，所以双曲线方程为：．‎ ‎（2）椭圆C2：的焦距为：2，∴抛物线的焦点到准线的距离等于2．‎ 抛物线方程为：y2＝x，x2＝±4y．‎ 19． 已知圆C：x2+y2﹣2x+my＝0经过点（3，﹣1）．‎ ‎（1）若直线l：2x﹣y+t＝0与圆C相切，求t的值；‎ ‎（2）若圆M：（x﹣6）2+（y﹣10）2＝r2（r＞0）与圆C没有公共点，求r的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆经过点（3，﹣1），∴32+（﹣1）2﹣2×3﹣m＝0，解得m＝4，‎ ‎∴圆的方程为x2+y2﹣2x+4y＝0，标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝5‎ 则圆心C（1，﹣2），半径,若直线与圆相切，则圆心到直线2x﹣y+t＝0的距离 ‎∴|4+t|＝5，∴4+t＝5或4+t＝﹣5，解得t＝1或t＝﹣9．‎ ‎（2）若圆M与圆C没有公共点，∴两圆位置关系可以是外离，或内含 当两圆外离时，两圆圆心距|CM|＞R+r M（6，10），‎ 此时，，且r＞0，∴‎ 当两圆内含时，两圆圆心距|CM|＜r﹣R,此时，，∴‎ 综上所述，．‎ ‎20．已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过点M（1，）作直线l，交椭圆于A，B两点．如果M恰好是线段AB的中点，求直线l的方程．‎ 解：（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．‎ 即‎2a＝4，则a＝2，2b＝（‎2a）＝2，则b＝1，故椭圆的方程为：；‎ ‎（2）由（1）得椭圆的方程为：，设直线l的方程为：y﹣＝k（x﹣1），‎ 将直线y﹣＝k（x﹣1）代入椭圆，得（1+4k2）x2﹣4k（2k﹣1）x+（2k﹣1）2﹣4＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）则，‎ M（1，）恰好是线段AB的中点，x1+x2＝2，，解得k＝﹣‎ 则直线l的方程为y﹣＝﹣（x﹣1），变形可得x+2y﹣2＝0．‎ ‎21．设抛物线C：y2＝2px（P＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|＝6．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程．‎ 解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB中点M横坐标为x＝＝2，‎ ‎∴x1+x2＝4，又|AF|+|BF|＝x1+x2+P＝4+P＝6，解得P＝2，‎ ‎∴抛物线C的标准方程为y2＝4x；‎ ‎（II）由（I）知，抛物线C的焦点为F（1，0），‎ 故可设直线的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，联立方程组，消去y，‎ 得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，∴x1+x2＝＝4，解得k＝±，‎ 直线l的方程为y＝±（x﹣1）．‎ ‎22．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M（0，﹣1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆 C相交于A，B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明： k1+k2为定值，并求出该定值．解：（Ⅰ）将x＝c代入方程中，由a2﹣c2＝b2可得，‎ 所以弦长为，所以，解得，所以椭圆C的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，则直线的方程为x＝2，‎ 且直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；‎ 设直线l的斜率为k，若k＝0，则直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0；‎ 所以直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1，‎ 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：，‎ 消去y得：（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎∵，∴k1+k2＝+＝‎ ‎＝＝‎ ‎＝2k﹣，把代入上式，‎ 得；命题得证．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布