【数学】2018届一轮复习北师大版离散型随机变量的分布列、期望和方差学案

【数学】2018届一轮复习北师大版离散型随机变量的分布列、期望和方差学案

母题九 离散型随机变量的分布列、期望和方差 ‎ ‎ ‎ 【母题原题1】【2017新课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎ 【解析】‎ 试题分析：（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除 之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为的估计值.‎ ‎（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.‎ 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.‎ ‎，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，‎ 因此的估计值为.‎ ‎ 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差.‎ ‎ 【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.‎ ‎ 【母题原题2】【2016新课标1，理19】‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求的分布列；‎ ‎（II）若要求，确定的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎ 【答案】（I）见解析；（II）19；（III）.‎ 试题解析：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎ （II）由（I）知，，故的最小值为19.‎ ‎ ‎ ‎【考点】概率与统计、随机变量的分布列 ‎ 【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定的综合性，但难度不是太大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.‎ ‎ 【母题原题3】【2017新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中 ， =‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，‎ ‎ 【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；（Ⅱ）（Ⅲ）46.24‎ ‎ ‎ 试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. ‎ ‎（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，‎ ‎∴=563-68×6.8=100.6.‎ ‎∴关于的线性回归方程为，‎ ‎∴关于的回归方 程为.‎ ‎（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值 ‎=576.6，‎ ‎. ‎ ‎ 【考点】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 ‎ 【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.‎ ‎ 【命题意图】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点,主要考查学生对取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的理解,要求学生能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.‎ ‎ 【命题规律】离散型随机变量的均值与方差如单独考查一般以客观题形式出现,主要考查利用公式进行计算,难度不大,若以解答题形式出现,一般不单独考查,常见命题方式有两种：一是与概率、分布列计算结合在一起进行考查,二是与统计结合在一起进行考查,难度中等.‎ ‎ 【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：‎ 第一步：确定概率求期望 抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此 ‎.‎ 的数学期望为；‎ ‎ 第二步：根据概率判断合理性 如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎ 第三步：剔除值，求估计值 由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.，剔除 之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为.‎ ‎【方法总结】‎ ‎ 1. 高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)已知离散型随机变量符合条件,求其均值与方差；‎ ‎(2)已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值；‎ ‎(3)已知离散型随机变量满足两种方案,试作出判断．‎ ‎2. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解；‎ ‎(2)已知随机变量ξ的均值、方差,求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差,可直接用ξ的均值、方差的性质求解；‎ ‎(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎3.解答题中对期望与方差的考查常与分布列结合在一起进行考查,求解此类问题要先根据随机变量的定义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量的取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据均值与方差的公式计算,若随机变量服从二项分布,可直接利用公式求解.‎ ‎4.均值与方差的实际应用 对于均值与方差的实际应用,命题模式通常是已知离散型随机变量满足两种方案,试作出判断．求解这类问题要用到均值与方差.‎ ‎(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散；反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近,统计中常用来描述X的分散程度．‎ ‎(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定．‎ ‎1．【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为（ ）‎ A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0.46‎ ‎【答案】D ‎2．【2017黑龙江哈尔滨六中一模】为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（ ）‎ A. 30 B. 40 C. 60 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意每个学生的得分服从二项分布，其中，所以由二项分布的数学期望公式可得每个学生的数学期望为，因此10个同学的的数学期望是，应选答案C.‎ ‎3．【2017四川资阳4月模拟】已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(0≤X≤2)＝0.3，则P(X＞4)＝_____．‎ ‎【答案】0.2；‎ ‎【解析】解：由题意结合正态分布的性质可知： ，‎ 则： .‎ ‎4．【2017安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到的频率分布直方图如图.‎ ‎（1）估计该技术指标值平均数；‎ ‎（2）在直方图的技术指标值分组中，以落入各区间的频率作为取该区间值的频率，若，则产品不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取件产品检测，记不合格产品的个数为，求的数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ 试题解析：（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，‎ ‎∴，所以 ‎5．【2017广东佛山二模】某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.‎ ‎（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；‎ ‎（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）元.‎ ‎【解析】试题分析：（I）设工种每份保单的保费，则需赔付时，收入为，根据概率分布可计算出保费的期望值为，令解得.同理可求得工种保费的期望值；（II）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为 保险公司期望收益为 ‎ 根据规则 解得元，‎ 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，‎ 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元.‎ ‎6．【2017湖南长沙二模】某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：‎ 质量指标值 等级 三等品 二等品 一等品 ‎ 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（1）根据以上抽样调查数据 ，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？‎ ‎（2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；‎ ‎（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）;（3）17.6‎ 试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.‎ ‎（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.‎ ‎（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 ‎“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则.‎ 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6 ‎ ‎7．【2017重庆二诊】“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了 “微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：‎ ‎（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？‎ 附： ，‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有 人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】（１）依据题设条件做成2×2列联表，计算出卡方系数，再与参数进行比对，做出判断；（２）先求随机变量的分布列，再运用随机变量的数学期望公式计算求解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 积极型 懈怠型 总计 Ziyuanku.com男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎22‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎，故没有95%以上的把握认为二者有关；‎ ‎8．【2017湖南娄底二模】某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：‎ 质量指标值 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？‎ ‎（Ⅱ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；‎ ‎（Ⅲ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后在抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）；（Ⅲ）大约提升了17.6‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为 ，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件.再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件.故所求的概率 .‎ ‎（Ⅲ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 ‎ ，‎ ‎“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则.‎ 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6. ‎ ‎9．【2017安徽淮南二模】随着社会发展，淮北市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T≥3 )，从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：‎ ‎(I)据此直方图估算交通指数T∈[4，8)时的中位数和平均数；‎ ‎(II)据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？‎ ‎(III)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．‎ ‎【答案】（1）4.72.（2）（3）40.6‎ 试题解析：‎ ‎ (1)由直方图知：T∈[4，8)时交通指数的中位数在T∈[5，6)，且为 5＋1×＝ ‎ T∈[4，8)时交通指数的平均数为：‎ ‎4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. ‎ ‎(2)设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P(A)＝0.1，‎ 则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：‎ P＝C32×()2×(1－)＋C33×()3＝，‎ 所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为. ‎ ‎(3)由题意，所用时间X的分布列如下表：‎ X ‎30‎ ‎35‎ ‎45‎ ‎60‎ P ‎0.1‎ ‎0.44‎ ‎0.36‎ ‎0.1‎ 则E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，‎ 所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．‎ ‎10．【2017四川资阳4月模拟】共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100] 分成5组，制成如图所示频率分直方图．‎ ‎(Ⅰ) 求图中的值；‎ ‎(Ⅱ) 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2:1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X 的分布列和数学期望． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用频率分布直方图的面积为1得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值；‎ ‎(2)首先确定该分布列为超几何分布，然后写出分布列求解均值即可.‎ 试题解析：‎ 则X分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎