- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期线上期中考试数学试题
石家庄二中2019~2020学年度高二年级下学期线上期中考试 数学试卷 一、选择题 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算,,再计算交集得到答案. 【详解】,,故. 故选:. 【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力. 2.设复数满足,其中为虚数单位,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则直接计算得到答案. 【详解】,则. 故选:. 【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力. 3.若函数的定义域为,值域为,则的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的定义域和值域,以及函数的图象之间的关系,分别进行判定,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,对于A中,当时,函数有意义,不满足函数的定义域为,所以不正确; 对于B中,函数的定义域和值域都满足条件,所以是正确的; 对于C中,当时,函数有意义,不满足函数的定义域为,所以不正确; 对于D中,当时,函数有意义,不满足函数的定义域为,所以不正确; 【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域,以及函数的表示方法,其中解答中熟记函数的定义域、值域,以及函数的表示方法,逐项进行判定是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 4.设是可导函数,且满足,则在点处的切线的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数定义得到,得到答案. 【详解】,故在点处的切线的斜率为. 故选:. 【点睛】本题考查了导数的定义,切线斜率,意在考查学生的计算能力和转化能力. 5.的定义域为,,,则( ) A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据定义域计算得到,,,得到答案. 【详解】满足,即,故, ,,故. 故选:. 【点睛】本题考查了函数定义域,指数对数函数的单调性比较大小,意在考查学生对于函数知识的综合应用. 6.设函数在上有意义,对给定实数,定义函数,则称函数为的“孪生函数”,若给定函数,,则的值域为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算得到,分别计算分段函数值域得到答案. 【详解】根据题意:, 故当,,当,, 故函数值域为. 故选:. 【点睛】本题考查了分段函数的值域,意在考查学生的计算能力和转化能力. 7.若函数的极大值为,极小值为,则的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求导得到,得到单调区间,故极大值为,极小值为,计算得到答案. 【详解】,则,函数有极大值极小值,故. 取得到, 函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 故极大值为, 极小值为,解得,. 故单调区间为. 故选:. 【点睛】本题考查了函数的极值,函数单调性,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8.函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 利用排除法: 由函数的解析式可得:,函数为奇函数,函数图象关于坐标原点对称,选项CD错误; 当时,,选项B错误, 本题选择A选项. 点睛:函数图象识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 9.定义在上的可导函数,其导函数为满足恒成立,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设,判断函数单调递增,变换得到,根据单调性解得答案. 【详解】设,则恒成立,函数单调递增. ,即,故,即. 故选:B. 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式,构造函数判断单调性是解题的关键. 10.已知函数是定义域为的奇函数,且满足,,若函数有两个零点,其中,分别记为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 计算当时,,画出函数图像,根据图像得到,,,根据函数的单调性得到答案. 【详解】当时,,故,即, ,即,, 根据图像知:,且,则, ,函数上单调递增,故. 故选:B. 【点睛】本题考查了求零点范围,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11.已知函数,以下结论正确的是( ) A. B. 在区间上是增函数 C. 若方程恰有个实根,则 D. 若函数在上有个零点,则= 【答案】ABCD 【解析】 【分析】 时,,函数为周期为的周期函数,画出函数图像,根据函数图像依次判断每个选项得到答案. 【详解】当时,,故, 当时,,函数为周期为的周期函数,画出函数图像,如图所示: ,正确; 函数在上单调递增,正确; 函数过定点,根据图像知:直线与轴的交点在之间,故,正确; 根据图像知,不妨设,则,,, 故=,正确. 故选:. 【点睛】本题考查了函数的周期,分段函数,函数的零点问题,函数单调性,意在考查学生对于函数知识的综合应用. 12.若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数,,,下列命题为真命题的是( ) A. 在内单调递减 B. 和之间存在“隔离直线”,且的最小值为 C. 和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是 D. 和之间存在唯一的“隔离直线” 【答案】ABCD 【解析】 【分析】 求导得到得到单调区间得到正确,根据题意得到,,计算得到正确,,计算公切线为,再验证得到正确,得到答案. 【详解】,则,解得,正确; ,故,易知; ,故,,时成立,时,, 故,且, 故,解得,故,同理可得,故正确; ,故若存在,则一定为在处的公切线, ,故,,, 故公切线方程为:, 现证明满足:设,则,函数在上单调递减,在上单调递增,故,故恒成立, 设,则,函数在上单调递增,在上单调递减,故,故,故正确. 故选:. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二、填空题 13.若复数满足,其中为虚数单位,则______. 【答案】 【解析】 【分析】 计算,化简得到答案. 【详解】,故. 故答案为:. 【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力. 14.已知集合,,则______. 【答案】 【解析】 【分析】 解方程组得到答案. 【详解】,解得,或,故. 故答案为:. 【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力. 15.已知是定义在上的奇函数,当时,,若,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 计算得到函数解析式为,画出函数图像,根据图像得到函数单调递增,故,解得答案. 【详解】当时,,,故, 画出函数图像,如图所示: 根据图像知,函数单调递增,,即,解得. 故答案为:. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,函数单调性,根据单调性解不等式,意在考查学生对于函数性质的综合应用. 16.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】 ,画出函数图像,计算直线和函数相切时和过点 的斜率,根据图像得到答案. 【详解】,故,画出图像,如图所示: 当直线与函数相切时,设切点为,此时,, 故,,,解得,,; 当直线过点时,斜率为,故. 故答案为:. 【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三、解答题 17.已知集合,. (1)若,求; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 (1)计算,,再计算交集得到答案. (2),故,讨论和,计算得到答案. 【详解】(1),, 故. (2),,故, 当时,,解得; 当时,,故,解得. 综上所述:. 【点睛】本题考查交集运算,根据集合的包含关系求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.已知函数(为常数)在点处的切线斜率为. (1)求实数的值以及此切线方程; (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1),;(2) 【解析】 【分析】 (1)求导得到,,解得,再计算切线方程得到答案. (2)求导得到单调区间,计算,得到答案. 【详解】(1),则,, 故,,故切线方程为:,即. (2),故, 故函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. ,故当或时函数有最大值为. 【点睛】本题考查了函数的 切线和最值,意在考查学生的计算能力和转化能力. 19.已知函数f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣). (1)当x∈[1,4]时,求该函数的值域; (2)若f(x)≤mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m得取值范围. 【答案】(1)[﹣,1];(2)m≥. 【解析】 试题分析:(1)利用换元法令t=log2x,t∈[0,2],得f(t)=(t﹣2)(t﹣),利用二次函数性质可得f(0)≥f(t)≥f(), 进而求出值域; (2)由(1)可整理不等式为t+﹣3≤2m恒成立,只需求出左式的最大值即可,利用构造函数g(t)=t+,知在(,+∞)上递增,求出最大值. 解:令t=log2x,t∈[0,2], ∴f(t)=(t﹣2)(t﹣) =(t﹣2)(t﹣1), ∴f(0)≥f(t)≥f(), ∴﹣≤f(t)≤1, 故该函数的值域为[﹣,1]; (2)x∈[4,16], ∴t∈[2,4], ∴(t﹣2)(t﹣1)≤mt, ∴t+﹣3≤2m恒成立, 令g(t)=t+,知在(,+∞)上递增, ∴g(t)≤g(4)=, ∴﹣3≤2m, ∴m≥. 考点:函数恒成立问题. 20.已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值; (2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1),;(2) 【解析】 【分析】 (1)根据和,代入计算得到答案. (2),确定函数单调递减,故,解得答案. 【详解】(1),函数为奇函数,故,则, ,,,故. (2),根据复合函数单调性知函数单调递减, ,即,故, 即,故. 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数,利用单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题,意在考查学生对于函数性质的综合应用. 21.已知函数,. (1)讨论的单调性; (2)若函数在上恒小于,求的取值范围. 【答案】(1)当时,函数单调递减,当时,函数在上单调递增,在上单调递减;(2) 【解析】 【分析】 (1)求导得到,讨论和两种情况,计算得到答案. (2)讨论,,,四种情况,根据单调性得到函数最值得到答案. 【详解】(1),则,, 当时,恒成立,函数单调递减; 当时,,函数在上单调递增,在上单调递减. 综上所述:当时,函数单调递减;当时,函数在上单调递增,在上单调递减. (2)当时,函数单调递减,故恒成立,故; 当时,若,即,函数在上单调递减,故,成立,故; 若,即,函数在上单调递增,在上单调递减,故,解得,故; 若,即,函数在上单调递增,故,故, 故无解. 综上所述:. 【点睛】本题考查了函数的单调性,恒成立问题,将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键. 22.已知函数,其中. (1)若的图象与直线有唯一交点,求的值; (2)若对任意,且,都有,求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 (1)化简得到,设,求导得到单调性,画出函数图像,根据图像得到答案. (2)单调递增,不妨设,化简得到,故函数上单调递减,计算得到答案. 【详解】(1),即,当时不成立,故, ,设,则, 故函数上单调递减,在上单调减,在上单调递增,且, 画出函数图像,如图所示:根据图像知. (2)恒成立,故函数单调递增,不妨设, 则,即, 即,故函数在上单调递减. ,故, 在上单调递减.故,故. 【点睛】 本题考查了根据切线求参数,不等式恒成立问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.查看更多