2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§8-1　空间几何体的表面积与体积（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§8-1　空间几何体的表面积与体积（试题部分）

专题八　立体几何 ‎【考情探究】‎ 课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容 一、空间几何体结构特征及体积与表面积公式 ‎1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.‎ ‎2.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.‎ ‎1.从近几年高考考查内容来看,这一部分主要考查空间几何体与涉及数学文化、空间几何体的表面积与体积、几何体的外接、内切球的计算,考查空间几何体侧面展开图问题,题型既有选择题,也有填空题,难度适中.‎ ‎2.这一部分突出对空间直线、平面位置关系的判断,会求两异面直线所成的角,在解答题中主要是考查直线与平面平行、垂直的判定与性质,常出现在解答题第一问,难度中等,解题时注意线线、线面、面面平行、垂直位置关系的相互转化.‎ ‎3.利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角(特别是二面角)、空间距离均是高考的热点,通过向量的运算来证明直线平行、垂直,求夹角,难度中等,以解答题形式出现,把立体几何问题转化为空间向量问题.‎ ‎1.强化识图能力,还原成自己熟悉的几何体.‎ ‎2.对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补.‎ ‎3.重视立体几何最值问题的研究.‎ ‎4.平面展开图(折线转化成直线).‎ ‎5.完善知识网络,强调通性通法,以下是平行垂直关系的转化关系图.‎ ‎6.加强空间向量对垂直问题的研究:‎ 空间直角坐标系的建立是基于三线两两垂直的,因此只有真正掌握了对垂直关系的判断、论证的研究方法,真正理解法向量的自由性,以及求法向量的方法,才能使问题顺利解决.‎ 二、空间点、线、面的位置关系 ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义.‎ ‎2.能运用公式、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.‎ ‎3.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面平行的判定定理与有关性质.‎ ‎4.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的判定定理与有关性质.‎ 三、空间向量运算及立体几何中的向量方法 ‎1.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示、用向量的数量积判断向量的平行与垂直.‎ ‎2.理解直线的方向向量与平面的法向量.‎ ‎3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.‎ ‎4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.‎ ‎【真题探秘】‎ ‎§8.1　空间几何体的表面积与体积 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　空间几何体的结构特征 ‎1.给出下列命题:‎ ‎①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;‎ ‎②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;‎ ‎③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是　　　　. ‎ 答案　②③④‎ ‎2.给出下列命题:‎ ‎①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;‎ ‎②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;‎ ‎③用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是圆锥;‎ ‎④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;‎ ‎⑤圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;‎ ‎⑥一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.‎ 其中正确命题的序号是　　　　. ‎ 答案　⑤‎ ‎3.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,O'C'=2 cm,则原图形OABC的形状是　　　　. ‎ 答案　菱形 ‎4.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O'A'B'C'的面积为‎2‎,则原梯形的面积为　　　　. ‎ 答案　4‎ 考点二　空间几何体的体积 ‎5.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为‎3‎,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)‎ A.3　　　B.‎3‎‎2‎　　　C.1　　　D.‎‎3‎‎2‎ 答案　C ‎6.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为‎2‎,则此球的体积为(　　)‎ A.‎6‎π　　　B.4‎3‎π　　　C.4‎6‎π　　　D.6‎3‎π 答案　B ‎7.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2‎2‎,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的体积为　　　　. ‎ 答案　‎148‎‎3‎π 考点三　空间几何体的表面积 ‎8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,且AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积是　　　　. ‎ 答案　169π ‎9.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则阳马C1-ABB1A1的外接球的表面积是　　　　. ‎ 答案　50π 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　与表面积和体积有关的问题 ‎1.(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　. ‎ 答案　4‎‎15‎ ‎2.(2020届浙江东阳中学10月月考,16)顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C是PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎6‎‎3‎ 考法二　与球有关的切、接问题 ‎3.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(　　)‎ A.4π　　　B.‎9π‎2‎　　　C.6π　　　D.‎‎32π‎3‎ 答案　B ‎4.(2019皖中入学摸底,10)将半径为3,圆心角为‎2π‎3‎的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计),则该圆锥的内切球的体积为(　　)‎ A.‎2‎π‎3‎　　　B.‎3‎π‎3‎　　　C.‎4π‎3‎　　　D.2π 答案　A ‎5.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(　　)‎ A.32‎3‎π　　　B.48π　　　C.24π　　　D.16π 答案　A ‎6.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V‎1‎V‎2‎的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎7.(2018湖南师大附中模拟,16)在体积为‎4‎‎3‎的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是　　　　. ‎ 答案　‎9‎‎2‎π ‎8.(2018江西南昌二中1月模拟,16)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,SA=‎3‎,SB=2‎3‎,二面角S-AB-C的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为　　　　. ‎ 答案　21π 应用篇知行合一 ‎【应用集训】‎ ‎1.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)‎ A.14斛　　　B.22斛　　　C.36斛　　　D.66斛 答案　B ‎2.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)‎ A.‎500π‎3‎ cm3　　　　　B.‎866π‎3‎ cm3‎ C.‎1 372π‎3‎ cm3　　　　　D.‎2 048π‎3‎ cm3‎ 答案　A ‎3.(2019课标Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　g. ‎ 答案　118.8‎ ‎【五年高考】‎ 考点一　空间几何体的结构特征 ‎1.(2019课标Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) ‎ 图1‎ 图2‎ 答案　26;‎2‎-1‎ 考点二　空间几何体的体积 ‎2.(2019课标Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(　　)‎ A.8‎6‎π　　　B.4‎6‎π　　　C.2‎6‎π　　　D.‎6‎π 答案　D ‎3.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π‎2‎,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A.‎2π‎3‎　　　B.‎4π‎3‎　　　C.‎5π‎3‎　　　D.2π 答案　C ‎4.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　. ‎ 答案　10‎ ‎5.(2019天津,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为‎2‎的正方形,侧棱长均为‎5‎.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为　　　　. ‎ 答案　‎π‎4‎ ‎6.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎12‎ ‎7.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎ ‎8.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为　　　　. ‎ 答案　‎9‎‎2‎π ‎9.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎ ‎10.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.‎ ‎(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?‎ ‎(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?‎ 解析　(1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.‎ 因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=‎1‎‎3‎·A1B‎1‎‎2‎·PO1=‎1‎‎3‎×62×2=24(m3);‎ 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).‎ 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).‎ ‎(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则00,V是单调增函数;当2‎3‎

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