【数学】（四川省阆中中学2020届高三）2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）（文）

【数学】（四川省阆中中学2020届高三）2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）（文）

‎（四川省阆中中学2020届高三）2020年普通高等学校招生 全国统一考试适应性考试（一）（文）‎ ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符号题目要求的）.‎ ‎1． ( )‎ A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．‎ ‎2． 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎3． 设集合，则满足的集合的个数是（ 　）‎ A．1 B．3 C．4 D．8‎ ‎4． 已知，则（ ）‎ A． B．与同向 C．与反向 D．为单位向量 ‎5． “”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6． 已知正三角形的顶点，，顶点在第一象限，若点在 内部，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7． 若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8． 等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9． 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若 ‎ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，正方体的棱长为，线段 上有两个动点，，且，则下列结 论中错误的是 A． ‎ ‎ B． C．三棱锥的体积为定值 D．‎ ‎11．函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的图象关于中心对称 B．的图象关于直线对称 C．的最大值为 D．既是奇函数，又是周期函数 ‎12．已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13．木星的表面积约是地球表面积的120倍，则它的体积约是地球体积的 倍.‎ ‎14．设是公比为的等比数列，，令，若数列有 连续四项在集合中，则= . ‎ ‎15．偶函数的图关于直线对称，，则 .‎ ‎16．为双曲线的右支上一点，，分别是圆和 上的点，则的最大值为 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）某央企在一个社区随机采访男性和女性用户各50名，统计他（她）们一天 ‎（）使用手机的时间，其中每天使用手机超过6小时（含6小时）的用户称为 ‎“手机迷”，否则称其为“非手机迷”，调查结果如下：‎ 男性用户的频数分布表 男性用户日用时间分组（）‎ 频数 ‎20‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ 女性用户的频数分布表 女性用户日用时间分组（）‎ 频数 ‎25‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎（1）分别估计男性用户，女性用户“手机迷”的频率；‎ ‎（2）求男性用户每天使用手机所花时间的中位数；‎ ‎（3）求女性用户每天使用手机所花时间的平均数与标准差（同一组中的数据用该组 ‎ 区间的中点值作代表）.‎ ‎18．（12分）在中，角所对的边分别为.已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎ ‎ ‎19．（12分）如图，为空间四点．在中，‎ ‎．等边三角形以为轴运 动．‎ ‎（1）当平面平面时，求；‎ ‎（2）当转动时,是否总有？证明你的结论．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中， 抛物线上异于坐标原点的两不同动点 ‎、满足．‎ ‎（1）求的重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；‎ ‎（2）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）设函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若对任意，都有，求的取值范围.‎ （二） 选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。‎ ‎22．(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原 点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线与交点的极坐标.‎ ‎23．(10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C C A A B B D D C B 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎17.（1）男性用户“手机迷”的频率为；.................2分 女性用户“手机迷”的频率为.................................4分 ‎（2）设男性用户每天使用手机所花时间的中位数为，则......................6分 解得.................................................................8分 ‎（3）设女性用户每天使用手机所花时间的平均数为，标准差为 ‎，.................................10分 ‎............12分 ‎18.（1）证明：因为，‎ 所以，即，..............2分 所以，‎ 即，则...............4分 所以或（舍去），所以；....................6分 ‎（漏掉扣1分）‎ ‎（2）由（1）得，‎ 由正弦定理有,即 ‎.......................................................7分 所以............................................8分 由余弦定理得，...........................9分 所以，即，‎ 所以，解得或................................10分 当时，的周长为；...............................11分 当时，的周长为；................12分 综上，的周长为28或30.‎ ‎（未写综上不扣分）‎ 19． ‎（1）取的中点，连结，...........................1分 因为是等边三角形，所以．...........................................2分 当平面平面时，‎ 因为平面平面，‎ 所以平面，..............................3分 可知....................................................4分 由已知可得，在中，．.............................6分 ‎（2）当以为轴转动时，总有．.............7分 证明：‎ ‎（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，‎ 即．...................9分 ‎（ⅱ）当不在平面内时，由（1）知．‎ 又因，所以．‎ 又为相交直线，所以平面，..................11分 由平面，得．‎ 综上所述，总有．..............................12分 19． ‎（1）因为，所以， .......................1分 观察可得，........................................2分 又，所以在上为增函数，................3分 即只有唯一的零点....................4分 所以当时，； 当时，． ............5分 所以的单调递减区间是，单调递增区间是．............6分 另解：（1）因为，所以， ...................1分 所以当时，；............3分 ‎ 当时，． ......................5分 所以的单调递减区间是，单调递增区间是．.........6分 ‎（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， ............7分 所以，．............................8分 所以对于任意的，的充要条件为 ‎ ，即 ①.........................9分 设函数，则．‎ 当时，；当时，，‎ 故在上单调递减，在上单调递增．...........10分 又，，， ‎ 所以当时，，即①式成立， ‎ 综上所述，的取值范围是．............................12分 ‎21．解法一：‎ ‎（1）∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，.............1分 ‎，依题意得，①‎ ‎∴，②　 ③.................................2分 ‎∵，∴，即 ，④ ‎ 由③④得，，∴..............................3分 ‎∴设直线的方程为 ‎∴①可化为 ，∴ ⑤， ...................4分 设的重心G为，则 ‎ ⑥ ， ‎ ‎ ⑦，..............5分 由⑥⑦得 ，即，‎ 这就是得重心的轨迹方程．.................................6分 ‎（2）由弦长公式得 把②⑤代入上式，得 ，.........7分 设点到直线的距离为，则，...........................8分 ‎∴ ， ........................ 10分 ‎∴ 当，有最小值，...................................... ........11分 ‎∴的面积存在最小值，最小值是 ．................................12分 解法二：‎ ‎（Ⅰ）∵ , 直线，的斜率显然存在，‎ ‎∴设、的直线方程分别为，，........1分 设，，依题意可得 由得　，由得　，........................3分 设的重心G为，则 ‎ 　① ， 　　②， ............................5分 由①②可得，，即为所求的轨迹方程................6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，....................8分 ‎∴............................9分 ‎，..........................10分 当且仅当，即时，有最小值，...............11分 ‎∴的面积存在最小值，最小值是 .....................12分 ‎22．（1）由题意，将与两式平方相减可得.‎ 因为所以，‎ 即曲线的极坐标方程为...................3分 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为...............5分 ‎（2）由题意得，故，....................................6分 所以或或或，即或或或 所以两曲线交点的极坐标为，，，.........10分 ‎（漏一个扣1分）‎ 23． ‎（1）若，则不等式+化为．‎ 当时，，即，.........................1分 因为不等式对应的一元二次方程，故不等式无解； .................................................3分 当时，，即，解得． ..................4分 综上，不等式+≥3的解集为． ................5分 ‎（2）作出的图象如图所示，当时，的图象如折线①所示， ‎ 由，得，‎ 若相切，则，得，..........................................6分 数形结合知，当时，不等式无负数解，则−． ........................7分 当时，满足>至少有一个负数解． ...................8分 当时，的图象如折线②所示， ‎ 此时当时恰好无负数解，数形结合知，‎ 当时，不等式无负数解，则． ................................9分 综上所述，若不等式>至少有一个负数解，‎ 则实数的取值范围是．.........10分