高考数学考点06 二次函数与幂函数

高考数学考点06 二次函数与幂函数

1 考点 06 二次函数与幂函数 考纲原文 （1）了解幂函数的概念. （2）结合函数 的图象，了解它们的变化情况. 知识整合 一、二次函数 1．二次函数的概念 形如 的函数叫做二次函数. 2．表示形式 (1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. (3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质 函数解析式 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称性 函数图象关于直线 对称 顶点坐标 1 2 3 21, , , ,y x y x y x y y xx     2( ) ( 0)f x ax bx c a    2( ) ( 0)f x ax bx c a    2( ) ( 0)f x ax bx c a    24[ , )4 ac b a   24( , ]4 ac b a  2 bx a  24( , )2 4 b ac b a a  2 奇偶性 当 b=0 时是偶函数，当 b≠0 时是非奇非偶函数 单调性 在 上是减函数； 在 上是增函数. 在 上是增函数； 在 上是减函数. 最值 当 时， 当 时， 4．常用结论 (1)函数 f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是方程 ax2＋bx＋c=0 的实根. (2)若 x1，x2 为 f(x)=0 的实根，则 f(x)在 x 轴上截得的线段长应为|x1−x2|= . (3) 当 且 ( ) 时 ， 恒 有 f(x)>0( ) ； 当 且 ( ) 时 ， 恒 有 f(x)<0( ). 二、幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 为自变量，α 为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 ( , ]2 b a  [ , )2 b a  ( , ]2 b a  [ , )2 b a  2 bx a  2 min 4( ) 4 ac bf x a  2 bx a  2 max 4( ) 4 ac bf x a  2 4 | | b ac a  0a  0  0  ( ) 0f x  0a  0  0  ( ) 0f x  y x 2y x 3y x 1 2y x 1y x R R R [0, ) { | 0}x x  R [0, ) R [0, ) { | 0}y y  3 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 上单 调递增 在 上单调递减； 在 上单调递增 在 上单 调递增 在 上单 调递增 在 和 上单调递减 过定点 过定点 过定点 3．常用结论 (1)幂函数在 上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点 . (3)当 时，幂函数的图象均过定点 ，且在 上单调递增. (4)当 时，幂函数的图象均过定点 ，且在 上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象. 重点考向 考向一 求二次函数或幂函数的解析式 1．求二次函数解析式的方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一 般选择规律如下： 2．求幂函数解析式的方法 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： R ( ,0) [0, ) R [0, ) ( ,0) (0, ) (0,0),(1,1) (1,1) (0, ) (1,1) 0  (0,0),(1,1) (0, ) 0  (1,1) (0, ) 4 (1)指数为常数； (2)底数为自变量； (3)系数为 1. 典例引领 典例 1 若函数 是幂函数，且满足 ，则 A． B． C． D．−3 【答案】A 变式拓展 1．若幂函数 的图象过点 ，则 的解集为 A． B． C． D． 考向二 幂函数的图象及性质的应用 1．幂函数 y=xα 的图象与性质，由于 α 值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α 的正负：当 α>0 时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当 α<0 时，图象不过原点，在第一象限 的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当 α≠0，1 时，幂函数 y=xα 在第一象限的图象特征如下：  f x     4 32 f f  1 2f      1 3 3 1 3  f x  16,8    2f x f x    ,0 1,   0,1  ,0  1, 5 α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 典例引领 典例 2 如图所示的曲线是幂函数 在第一象限的图象，已知 ，相应曲线 对应的 值依次为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线 对应的 值依次为 ．故选 B． 1 2y x 1y x 1 2y x  y x 1 1{ 4 4}4 4   , , , 1 2 3 4, , ,C C C C  1 14 44 4 ， ，， 1 14 44 4 ，， ， 1 14 44 4 ， ，， 1 14 44 4 ，， ， 1 2 3 4, , ,C C C C  1 14 44 4 ，， ， 6 变式拓展 2．已知函数 的图象如图所示，则 的大小关系为 A． B． C． D． 典例引领 典例 3 设 ，则 的大小关系是 A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【解析】因为 在 上是增函数，所以 又因为 在 上是减函数，所以 . 【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂 函数的单调性，有时需要取中间量. 变式拓展 3．已知 ，则 的大小关系是 A． B． C． D． , ,a b xy x y x y c   , ,a b c c b a  a b c  c a b  a c b  5 2 5 3 5 2 )5 2(,)5 2(,)5 3(  cba cba ,, 5 2 xy  ),0(  ,ca  xy )5 2( ),(  bc  2 2 3 3 3 4 2 3 2, , log3 4 3a b c            , ,a b c a b c  b a c  c a b  a c b  7 考向三 二次函数的图象及性质的应用 高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交 汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题 时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略： 1．图象识别问题 辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项 排除． 2．二次函数最值问题的类型及处理思路 (1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动． (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称 轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 3．解决一元二次方程根的分布问题的方法 常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值 符号四个方面分析． 4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题 往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况： (1)ax2＋bx＋c>0，a≠0 恒成立的充要条件是 . (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0 恒成立的充要条件是 . 另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立，此时就等价于在区间 D 上 f(x)min>A，接下来求出函数 f(x)的最小值；若不等式 f(x)0) 在 区 间 A 上 单 调 递 减 ( 单 调 递 增 ) ， 则 A⊆ （A⊆ ），即区间 A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2sin 1y x  2 2x   2sin 1y x x x    { | 1}m m  { | 3 5}m m      2 1 4f x x m x    1 02 mx    1 0m   1m  m { | 1}m m     2 1 4 0f x x m x      21 16 0m     2 2 15 0m m   3 5m   m { | 3 5}m m    ,0 m  f x  21 16 0m     m , 2 b a      ,2 b a     17 1．【答案】B 【解析】因为最值在 中取，所以最值之差一定与 无关，选 B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系， 结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴 在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值， 区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 3．【答案】A 【解析】因为 ， ，所以 ，故选 A． 【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性 来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑 指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．！网 直通高考 2 (0) , (1) 1 , ( )2 4 a af b f a b f b       b 4 2 2 3 3 52 4 4a b    1 2 2 3 3 325 5 4c a    b a c 