【数学】2020届一轮复习苏教版利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题学案

【数学】2020届一轮复习苏教版利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题学案

一、考情分析 不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考．‎ 二、经验分享 ‎(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．‎ ‎(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．‎ ‎(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值．‎ ‎(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解．‎ ‎(5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．‎ ‎(6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围．‎ 三、知识拓展 ‎1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．‎ ‎2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；‎ ‎(3)若,则（当且仅当时取“=”）．‎ ‎3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．‎ ‎4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．‎ ‎6．若,则（当且仅当时取“=”）．‎ ‎7．一个重要的不等式链：．‎ ‎8. ‎ ‎9．函数图象及性质 ‎(1)函数图象如右图所示：‎ ‎(2)函数性质：‎ ‎①值域：；‎ ‎②单调递增区间：；单调递减区间：．‎ ‎10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；‎ ‎(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；‎ ‎(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．‎ 四、题型分析 ‎(一) 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本．因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式．‎ 类型一 给出定值 ‎【例1】【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知实数，且 ‎，则的最小值为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，‎ 所以，，‎ 令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，‎ 所以，‎ 当且仅当，即当时，等号成立．‎ 因此，的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【小试牛刀】设是正实数,且,则的最小值是__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；‎ ‎【解析一】‎ ‎【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数．‎ ‎【解析二】设,,则, ‎ 类型二 未知定值 ‎【例2】已知为正实数,则的最小值为 ‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】,当且仅当时取等号.‎ ‎【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．‎ ‎【小试牛刀】已知函数在R上是单调递增函数,则的最小值是 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 由题意的,‎ ‎ 因为函数在上单调递增,所以满足,可得,且 ‎ 所以,当且仅当时等号成立,‎ 所以.‎ 技巧一：凑项 ‎【例3】设,则的最小值是 ‎ ‎【分析】拼凑成和为定值的形式 ‎【解析】‎ ‎(当且仅当和,即时取等号).‎ ‎【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型.‎ ‎【小试牛刀】【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】设为正实数，且，则的最小值为________.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】因为，所以 因此 当且仅当时取等号，即的最小值为27.‎ 技巧二：凑系数 ‎【例4】 当时,求的最大值．‎ ‎【分析】由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值．注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可．‎ ‎【解析】,当,即时取等号,∴当时,的最大值为8．‎ ‎【评注】本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值．‎ ‎【小试牛刀】设,求函数的最大值．‎ ‎【解析】∵,∴,∴,当且仅当,即时等号成立．‎ ‎【点评】总的来说,要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式．‎ 技巧三： 分离 ‎【例5】 求的值域．‎ ‎【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离．‎ ‎【解析一】,当,即时,（当且仅当时取“＝”号）．‎ ‎【小试牛刀】已知a,b都是负实数,则的最小值是 ‎ ‎【答案】2（﹣1）‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 技巧四：换元 ‎【例6】已知a,b为正实数,2b＋ab＋a＝30,求y＝的最小值．‎ ‎【分析】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行．‎ ‎【解法一】由已知得a＝,ab＝·b＝．∵a＞0,∴0＜b＜15．令t＝b+1,则 ‎1＜t＜16,∴ab＝＝－2（t＋）＋34．∵t＋≥2＝8,∴ab≤18,∴y≥,当且仅当t＝4,即a＝6,b＝3时,等号成立．‎ ‎【解法二】由已知得：30－ab＝a＋2b．∵a＋2b≥2,∴30－ab≥2．令u＝,则 u2＋2u－30≤0,－5≤u≤3,∴≤3,ab≤18,∴y≥．‎ ‎【点评】①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围．‎ ‎【小试牛刀】设正实数满足,则的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以 设,所以 当时,上式取得最大值 当时,上式取得最小值 所以的取值范围为 ‎【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解．‎ 技巧五：整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错．‎ ‎【例7】已知,且,求的最小值．‎ ‎【错解】,且,,故．‎ ‎【错因】解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是,即,取等号的条件的不一致,产生错误．因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法．‎ ‎【正解】, ,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,．‎ ‎【小试牛刀】【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】已知正实数满足，则 的最小值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正实数x，y满足1，‎ 则：x+y＝xy，‎ 则： 4x+3y，‎ 则： 437+4，‎ 故的最小值为．‎ 故答案为：.‎ 技巧六：取平方 ‎【例8】已知x,y为正实数,3x＋2y＝10,求函数W＝＋的最值．‎ ‎【解析】W＞0,W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20,∴W≤＝2． ‎ ‎【小试牛刀】求函数的最大值．‎ ‎【解析】注意到与的和为定值．‎ ‎,又, ,当且仅当=,即时取等号,故．‎ ‎【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件．‎ 技巧七：构造 要求一个目标函数的最值,我们利用基本不等式构造一个以为主元的不等式（一般为二次不等式）,解之即可得的最值．‎ ‎【例9】设为实数,若,则的最大值是 ．‎ ‎【分析】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式,再求的最大值．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】,可解得的最大值为 ‎．‎ ‎【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式．‎ ‎【小试牛刀】若正实数,,满足,则的最大值为 ‎ ‎【分析】构成关于的不等式,通过解不等式求最值 ‎ ‎【解析】由,得.即,‎ ‎.计算得出:.的最大值是.‎ 技巧八：添加参数 ‎【例10】若已知,则的最小值为 ．‎ ‎【解析】时可取得函数的最小值,此时,此时,最小值为．‎ ‎【小试牛刀】设是不全为零的实数,求的最大值．‎ ‎【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以找到相应的正参数满足：故依据取等号的条件得, ,参数就是我们要求的最大值．消去我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到．‎ ‎【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值．‎ ‎【小试牛刀】设是正实数,求的最小值．‎ ‎【解析】引进参数,使之满足,依据取等号的条件,有：,故的最小值4．‎ 综上所述,应用均值不等式求最值要注意：‎ 一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值．‎ ‎(二) 基本不等式与恒成立问题 ‎【例11】已知>0,>0,且,若恒成立,则实数的取值范围是 ．‎ ‎【分析】先求左边式子的最小值 ‎【解析】∵,,且,∴,当且仅当,即时取等号,又,∴,,∴,要使恒成立,只需,即,解得,故答案为.‎ ‎【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于等）,此时,函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件）,因此,适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数恒大于,就必须对进行限制--令,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较简单.‎ ‎【小试牛刀】若对任意的正实数恒成立,求的最小值．‎ ‎【解析】对任意的正实数恒成立,∴对任意的正实数恒成立．‎ 设,由取等号条件：,消去,可以得到：,解得：,因此的最小值为．‎ 题型二　基本不等式的实际应用 ‎【例12】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．‎ ‎(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；‎ ‎(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：当00)，即x＝80时“＝”成立．‎ ‎(2)年平均利润为＝－x－＋18‎ ‎＝－(x＋)＋18，‎ ‎∵x＋≥2＝10，‎ ‎∴＝18－(x＋)≤18－10＝8，‎ 当且仅当x＝，即x＝5时，取等号．‎