2018届二轮复习数形结合思想课件（江苏专用）

2018届二轮复习数形结合思想课件（江苏专用）

专题 10 　数学思想 第 2 讲 　 数形结合思想 数形结合是一个数学思想方法，包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形： ① 借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质； ② 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 . 思想方 法解读 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决 . 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化 . 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围 . 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合 . 如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的 . 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 1.(2015· 北京改编 ) 如图，函数 f ( x ) 的图象为折线 ACB ，则不等式 f ( x ) ≥ log 2 ( x ＋ 1) 的解集是 ________________. { x | － 1 ＜ x ≤ 1} 解析　 令 g ( x ) ＝ y ＝ log 2 ( x ＋ 1) ，作出函数 g ( x ) 的图象如图 . ∴ 结合图象知不等式 f ( x ) ≥ log 2 ( x ＋ 1) 的解集 为 { x | － 1< x ≤ 1}. 1 2 3 2.(2015· 课标全国 Ⅱ 改编 ) 设函数 f ′ ( x ) 是奇函数 f ( x )( x ∈ R ) 的导函数， f ( － 1) ＝ 0 ，当 x >0 时， xf ′ ( x ) － f ( x ) ＜ 0 ，则使得 f ( x )>0 成立的 x 的取值范围是 ________________. 解析 答案 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (0,1) 1 2 3 解析　 因为 f ( x )( x ∈ R ) 为奇函数， f ( － 1) ＝ 0 ， 所以 f (1) ＝－ f ( － 1) ＝ 0. 故 g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为减函数，在 ( － ∞ ， 0) 上为增函数 . 所以在 (0 ，＋ ∞ ) 上， 解析 1 2 3 综上，得使 f ( x ) ＞ 0 成立的 x 的取值范围 是 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (0,1). 1 2 3 解析答案 3.(2015· 重庆 ) 若函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ 2| x － a | 的最小值为 5 ，则实数 a ＝ ________. 解析　 由于 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ 2| x － a | ， 当 a > － 1 时， 作出 f ( x ) 的大致图象如图所示，由函数 f ( x ) 的图象可知 f ( a ) ＝ 5 ， 即 a ＋ 1 ＝ 5 ， ∴ a ＝ 4. 同理，当 a ≤ － 1 时，－ a － 1 ＝ 5 ， ∴ a ＝－ 6. 4 或－ 6 返回 高考 必会题型 题型一　数形结合在方程根的个数中的应用 根据对称性可知，在第三象限也有 3 个交点，再加上原点，共 7 个交点， 7 解析答案 点评 点评 利用数形结合求方程解应注意两点 (1) 讨论方程的解 ( 或函数的零点 ) 可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解 . (2) 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合 . 解析 答案 ( － ∞ ， 0] 解析　 当 x >0 时， f ( x ) ＝ ln x 与 x 轴有一个交点， 即 f ( x ) 有一个零点 . 则两函数图象在 x ≤ 0 时只能有一个交点 . 解析 显然 k >0 不符合题意 . 综上，所求实数 k 的取值范围是 ( － ∞ ， 0]. 题型二　利用数形结合解决不等式函数问题 点评 解析 答案 (0,1) 此时 f ( x ) 在 [2 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 且 0< f ( x ) ≤ 1. 当 x <2 时， f ( x ) ＝ ( x － 1) 3 ，此时 f ( x ) 过点 (1,0) ， (0 ，－ 1) ，且在 ( － ∞ ， 2) 上单调递增 . 当 x → 2 时， f ( x ) → 1. 如图所示作出函数 y ＝ f ( x ) 的图象 ， 由 图可得 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 2) 上单调递增且 f ( x )<1 ， 点评 解析 点评 f ( x ) 在 [2 ，＋ ∞ ) 上单调递减且 0< f ( x ) ≤ 1 ， 故当且仅当 0< k <1 时，关于 x 的方程 f ( x ) ＝ k 有两个不等的实根， 即实数 k 的取值范围是 (0,1). 利用数形结合解不等式或求参数的方法 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，把两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 若存在正数 x 使 2 x ( x － a )<1 成立，则 a 的取值范围是 _______ _ ___. 在直角坐标系中，作出函数 f ( x ) ＝ x － a ， g ( x ) ＝ 2 － x 在 x >0 时的图象，如图 . 当 x >0 时， g ( x ) ＝ 2 － x <1 ，所以如果存在 x >0 ， 使 2 x ( x － a )<1 ，则有 f (0)<1 ，即－ a <1 ，即 a > － 1. ( － 1 ，＋ ∞ ) 题型三　利用数形结合求最值 点评 解析答案 例 3 　 已知 a ， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 ( a － c )·( b － c ) ＝ 0 ，则 | c | 的最大值是 ________. 解析　 如图， ∴ O 、 A 、 C 、 B 四点共圆 . 利用数形结合求最值的方法步骤 第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义 . 一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义 . 第二步：转化为几何问题 . 第三步：解决几何问题 . 第四步：回归代数问题 . 第五步：回顾反思 . 点评 点评 应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： (1) 比值 —— 可考虑直线的斜率； (2) 二元一次式 —— 可考虑直线的截距； (3) 根式分式 —— 可考虑点到直线的距离； (4) 根式 —— 可考虑两点间的距离 . 返回 变式训练 3 　 已知圆 C ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 1 和两点 A ( － m, 0) ， B ( m ， 0)( m >0) ，若圆 C 上存在点 P ，使得 ∠ APB ＝ 90° ，则 m 的最大值为 ________. 解析　 根据题意，画出示意图，如图所示， 则圆心 C 的坐标为 (3,4) ，半径 r ＝ 1 ，且 AB ＝ 2 m . 因为 ∠ APB ＝ 90° ，连结 OP ，易知 OP ＝ AB ＝ m . 要求 m 的最大值， 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 . 解析答案 即 m 的最大值为 6. 6 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1. 若过点 A (4,0) 的直线 l 与曲线 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 1 有公共点，则直线 l 的 斜率 的取值范围是 _____ _ ______. 解析　 设直线方程为 y ＝ k ( x － 4) ， 即 kx － y － 4 k ＝ 0 ， 若直线 l 与曲线 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 1 有公共点， 则圆心到直线的距离小于等于半径 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解析　 画出可行域如图 ， 所 求的 x 2 ＋ y 2 － 6 x ＋ 9 ＝ ( x － 3) 2 ＋ y 2 是点 Q (3,0 ) 到 可行域上的点的距离的平方 ， 由 图形知最小值为 Q 到射线 x － y － 1 ＝ 0( x ≥ 0) 的距离 d 的平方，最大值为 QA 2 ＝ 16. ∴ 取值范围是 [2,16]. [2,16] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3. 已知函数 f ( x ) 满足下列关系： ① f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ； ② 当 x ∈ [ － 1,1] 时， f ( x ) ＝ x 2 ，则方程 f ( x ) ＝ lg x 的解的个数是 ________. 解析　 由题意可知， f ( x ) 是以 2 为周期，值域为 [0,1] 的函数 . 方程 f ( x ) ＝ lg x 的解的个数即为函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x ) ＝ lg x 的图象的交点个数 . 画 出两函数图象， 由图象可知共 9 个交点 . 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 4. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，对任意 x ∈ R ，都有 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ，且当 x ∈ [ － 2,0] 时， f ( x ) ＝ ( ) x － 1 ，若在区间 ( － 2,6] 内关于 x 的方程 f ( x ) － log a ( x ＋ 2) ＝ 0( a >1) 恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是 ________. 解析　 作出 f ( x ) 在区间 ( － 2,6] 上的图象， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 5. 已知函数 f ( x ) ＝ |4 x － x 2 | － a ，当函数有 4 个零点时，则 a 的取值范围是 __________. 解析　 ∵ 函数 f ( x ) ＝ |4 x － x 2 | － a 有 4 个零点， ∴ 方程 |4 x － x 2 | ＝ a 有 4 个不同的解 . 令 g ( x ) ＝ |4 x － x 2 | 作出 g ( x ) 的图象，如图 ， 由 图象可以看出，当 h ( x ) ＝ a 与 g ( x ) 有 4 个交点时， 0< a <4 ， ∴ a 的取值范围为 (0,4). (0,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 作出图象如图， 在 y 1 ＝ x ＋ k 中， k 是直线的纵截距 ， 由 图知：方程有一个解 ⇔ 直线与上述半圆只有一个公共点 ⇔ k ＝ 或 － 1 ≤ k <1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 7. 设 f ( x ) ＝ |lg( x － 1)| ，若 0< a < b ，且 f ( a ) ＝ f ( b ) ，则 ab 的取值范围是 ________ _ __. 解析　 由于函数 f ( x ) ＝ |lg( x － 1)| 的图象如图所示 . 由 f ( a ) ＝ f ( b ) 可得－ lg( a － 1) ＝ lg( b － 1) ， (4 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示 . 根据图象可知，当 0< k <1 或 1< k <4 时有两个交点 . (0,1) ∪ (1,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对应的平面区域 Ω 为图中的四边形 ABCD ( 含边界 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 给出下列命题： ① 在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上，函数 y ＝ x － 1 ， y ＝ x ， y ＝ ( x － 1) 2 ， y ＝ x 3 中有三个是增函数； ② 若 log m 3

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