北京市东直门中学2020届高三上学期期中考试数学试题

北京市东直门中学2020届高三上学期期中考试数学试题

‎2019东直门中学高三上期中试题数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则 A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由得，由得，‎ 故，选D.‎ ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2.下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是 ‎①f（x）=-x3 ②f（x）=（）|x| ③f（x）=-sinx ④f（x）=‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由题意，①函数是奇函数，且在内单调递减，符合题意；‎ ‎②函数是偶函数，不符合题意；‎ ‎③函数是奇函数，且在内单调递减，符合题意；‎ ‎④函数是奇函数，当时，，且，‎ 所以函数在内单调递增，不符合题意，‎ 综上符合题意的函数为①③，故选A.‎ ‎3.已知向量，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出t，然后可得结果．‎ ‎【详解】因，所以，2t＝2，t＝1，‎ ‎（2,0）－（1,1）＝（1，－1），‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．‎ ‎4.以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由三角函数定义可得：.‎ ‎∴‎ 故选A ‎5.函数的图象如图所示,则的解析式可以为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用排除法：‎ 对于B,令得,,即有两个零点，不符合题意；‎ 对于C,当时，，‎ 当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；‎ 对于D,的定义域为，不符合题意；‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数图象识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎6.设，是非零向量，则“”是“2”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】因为是非零向量，‎ 所以若，则，即；‎ 若，则，可得或，‎ 所以是的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎7.在中，，，，则的面积为（）‎ A. B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用余弦定理求出，利用三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】由余弦定理可得：，‎ 化为：，解得，‎ ‎∴的面积，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.设函数 ，若函数恰有三个零点，， ，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据函数的对称性，可得，从而可得，进而可得结果.‎ ‎【详解】函数 ，‎ 故 ‎ 根据题意得到 ‎ ‎ ，‎ 化简得到=，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，以及转化与划归思想的应用，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.已知，，，则a，b，c的大小关系是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指对数的单调性与计算分别判断与的大小关系即可.‎ ‎【详解】,,.‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据指对数的单调性与运算判断指对数的函数值的大小问题,属于基础题.‎ ‎10.已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，那么数列的前10项和等于________.‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公差为,利用成等比数列列式求解,再求解即可.‎ ‎【详解】由题设公差为,则,即,又故.故. 故答案为：100‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比中项的运用与等差数列的基本量求解以及求和.属于基础题.‎ ‎11.已知，则=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平方关系可得，结合诱导公式可得结果.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为 点睛】本题考查同角基本关系式与诱导公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则φ=____________；ω=____________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察函数图像可得，由函数最值求A，由图象经过点（0，–1）可求φ=–，由，代入解析式可求ω=．‎ ‎【详解】由图可知A=2，根据f（x）的图象经过点（0，–1），‎ 得2sinφ=–1，sinφ=–，∵|φ|<，∴φ=–．‎ 由五点作图法的过程可得ω×+（–）=（），‎ 由图可得，ω=，故答案为– ．‎ ‎【点睛】由图像求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式通常从以下几点解决：由函数的最大（最小）值确定A；对称轴与对称轴之间的距离或对称轴与零点之间的距离或零点与零点之间的距离确定函数周期，再由周期确定ω，由图像与坐标轴交点，或某特殊点求φ，灵活应用图像，关注图像的对称性，一定可以找到问题的突破口．‎ ‎13.已知，，则的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的零点表达式,再求解的最小值即可.‎ ‎【详解】令有或.‎ 故当或时取最小值.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数与余弦函数的零点问题,需要根据题意求得零点满足的关系式再判断,属于基础题.‎ ‎14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，下列判断：①若，则角C有两个解；②若，则AC边上的高为；③可能是9.其中判断正确的序号是_____（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①,利用正弦定理判断即可.‎ 对②,利用数量积公式与面积公式判定即可.‎ 对③,利用余弦定理求解得,再根据基本不等式分析即可.‎ ‎【详解】对①,由正弦定理得.故无解.故①错误.‎ 对②, 若则.设边上的高为则由面积相等可知,即.故②正确.‎ 对③,若,则利用余弦定理有,即,化简得.因为,由基本不等式可知,即,‎ 但,矛盾.故不可能为9.故③错误.‎ 故答案为：②‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理以及与向量和基本不等式的综合运用,需要根据题意选用正弦或者余弦定理进行分析,在解决边的和与范围的问题时可考虑用基本不等式.属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知函数.‎ ‎（I）求f(x)的最小正周期；‎ ‎（II）求证：当时，．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为 ‎，最后根据公式求周期；（Ⅱ）先求的范围再求函数的最小值.‎ 试题解析:（Ⅰ）.‎ 所以的最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以当时，.‎ ‎【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.‎ ‎16.中， ，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而由正弦定理可得的值；（Ⅱ）在中，利用基本不等式及余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，根据三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）在中，因为，且，所以 根据正弦定理 代入，解得.‎ ‎（Ⅱ）在中，因为 根据余弦定理，得到 因为，所以 根据余弦定理和，‎ 得到 所以的面积 ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，基本不等式与余弦定理相结合在解三角形中的应用，构造完全平方式来解决三角形面积问题，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.‎ ‎17.设是等比数列 ，其前项的和为 ，且, . ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）； （2）6 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，结合等比数列的通项公式可求a1，q进而可求an.（Ⅱ）由等比数 列的求和公式可求Sn，代入解不等式可求n的范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设的公比为q 因为，所以 所以 又，所以 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为 所以 由，得，即 解得，所以n的最小值为6.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．‎ ‎18.如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点.‎ ‎（1）求证AFPC ‎ ‎（2）BD//平面PEC ‎ ‎（3）求二面角D-PC-E的大小 ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）150°.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，PA⊥平面ABCD．以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥PC．‎ ‎（2）取PC的中点M，连接EM．推导出BD∥EM，由此能证明BD∥平面PEC．‎ ‎（3）由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小．‎ ‎【详解】（1）依题意，平面ABCD，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 依题意，可得 A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4,0,0），‎ P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴..‎ ‎（2）取PC的中点M，连接EM.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵平面PEC，平面PEC，‎ ‎∴BD//平面PEC.‎ ‎（3）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，‎ 所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量． ‎ 设平面PCE法向量为，‎ 因为，，‎ 所以即 令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．‎ 所以，‎ 所以二面角D﹣PC﹣E的大小为． ‎ ‎【点睛】本题考查用空间向量解决线线垂直、线面平行的证明及二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19.已知椭圆E：的离心率，焦距为．‎ Ⅰ求椭圆E的方程；‎ Ⅱ若C，D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足，连接CM，交椭圆E于点证明：为定值为坐标原点．‎ ‎【答案】（1）；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，分析可得椭圆中c的值，结合椭圆的离心率公式可得a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，设lCM：x＝my﹣2，联立直线与椭圆的方程，用根与系数的关系分析，用m表示P的坐标结合直线的方程分析可得M的坐标，进而可以用m表示，分析可得答案．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆E的焦距为，‎ 则，所以，‎ 因为，所以ac＝2，；‎ 因为a2＝b2+c2，所以b2＝2；‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为直线CM不在x轴上，故可设lCM：x＝my﹣2．‎ 由得（m2+2）y2﹣4my＝0，‎ ‎∴，即．‎ 在直线x＝my﹣2中令x＝2，则，即．‎ ‎∴．‎ ‎∴为定值4．‎ 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题，‎ 所以故，，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）由题 ‎（1）当时，在上单调递增. 则函数在上的最小值是 ‎（2）当时，令，即，令，即 ‎（i）当，即时，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值是 ‎（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值是 ‎（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是 ‎（Ⅲ）当时，‎ 令，则是单调递减函数. ‎ 因为，，‎ 所以在上存在，使得，即 讨论可得在上单调递增，在上单调递减. ‎ 所以当时，取得最大值是 因为，所以由此可证 试题解析：（Ⅰ）因为函数，且， ‎ 所以，‎ 所以 所以，‎ 所以曲线在处的切线方程是，即 ‎（Ⅱ）因为函数，所以 ‎（1）当时，，所以在上单调递增. ‎ 所以函数在上的最小值是 ‎（2）当时，令，即，所以 令，即，所以 ‎（i）当，即时，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值是 ‎（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值是 ‎（iii）当，即时，在上单调递减，‎ 所以在上的最小值是 综上所述，当时，在上的最小值是 当时，在上的最小值是 当时，在上的最小值是 ‎ ‎（Ⅲ）因为函数，所以 所以当时，‎ 令，所以是单调递减函数. ‎ 因为，，‎ 所以在上存在，使得，即 所以当时，；当时，‎ 即当时，；当时，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减. ‎ 所以当时，取得最大值是 因为，所以 因为，所以 所以