福建省莆田九中2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷

福建省莆田九中2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷

数学（文科）‎ 第I卷（共80分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎ 1．已知全集，则集合CuA等于（ ）‎ A.{1，4} B.{4，5} C.{1，4，5，7} D.{2，3，6，7}‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A.［0，1］ B.［-1，1］ ‎ C.（-1，1） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）‎ ‎3. 已知是实数，则“2，，8成等比数列”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在等差数列{}中，，则=（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等 于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（ ） ‎ A. 平行 B. 相交 C. ABÌa D. 平行或相交 ‎7．函数的图像大致是（ ）‎ ‎8、已知数列{}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（ ）‎ A B C 2 D ‎ ‎9、已知函数 ，则、、的大小关系（ ）‎ A >> B >>‎ C >> D >> ‎ ‎10.函数 ‎ 的部分图象如图，则（ ）‎ A . B. ‎ C. D. ‎ 11. 设两个平面、、直线,下列三个条件① ②∥ ③ 若以其中两个 ‎ ‎ 做为前题,另一个做为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的个数是( )‎ ‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎12. 已知为与中较小者，其中，若的值域为，则 的值是( )‎ A．0 　　 　 B．　　　　C． 　 D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答13．已知，，若，则 .‎ ‎14．已知变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 ‎ ‎15．如图所示，函数的图象在点P处的切线 方程是，则 。‎ ‎16. 设的定义域为R，若存在常数M>0，使对一切实数成立，则称为F函数，给出下列函数. ①=0；②=；③；④‎ ‎；⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有，其中为F函数的有 .（请填写序号）‎ 第II卷（共70分）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17、（本题10分）‎ 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列{}的通项; （Ⅱ）求数列{}的前n项和 ‎18. （本题12分）‎ 已知函数f(x)＝ax2＋bx+8(a≠0)，当x∈(－1，8)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－1)∪(8，＋∞)时，f(x)<0.‎ ‎(1)求f(x)在[0，1]内的值域；‎ ‎(2)m为何值时，不等式ax2＋bx＋m≥0在[1，4]上恒成立？‎ ‎19、（本题12分）‎ 已知函数其中为实常数，‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设集合已知当时，的最小值为，当时，求的最大值。‎ A E B F G C D ‎20、（本题12分）‎ 如图所示，四边形ABCD是矩形，，F为CE上的点，且BF平面ACE，AC与BD交于点G。‎ （1） 求证：AE平面BCE （2） 求证：AE//平面BFD （3） 求三棱锥C-BGF的体积 ‎21、（本题12分）‎ 已知函数． ‎ ‎（1）若处取得极值，求实数a的值 ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）当时，设斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：．‎ ‎22. (本题12分)选修4—4；坐标系与参数方程 ‎ 已知直线（为参数），. ‎ （1） 当时，求与的交点坐标；‎ （2） 以坐标原点为圆心的圆与相切，切点为，为的中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎ ‎ 一、选择题：‎ ‎1．（ C ）‎ ‎2．（ C ）‎ ‎3. ( B )‎ ‎4．（ D ）‎ ‎5．（ A ）‎ ‎6．（ D ） ‎ ‎7．（ A ）‎ ‎8、（ B ）‎ ‎9、（ A ）‎ ‎10.（ C ）‎ ‎11. ( B )‎ ‎12. ( C )‎ 二、填空题：‎ ‎ 13． 8 .‎ ‎14． ‎ ‎15． 2 。‎ ‎16. ①④⑤ ‎ 第II卷（共70分）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17、（本题10分）‎ 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列{}的通项; （Ⅱ）求数列{}的前n项和 解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，‎ ‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，.................2分 ‎ 解得d＝1，d＝0（舍去）， ............................3分 ‎ 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n. ............................5分 ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，‎ ‎ 设 ‎ ∴b1＝2，. ............................8分 ‎ ∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎ 由等比数列前n项和公式得 ‎ Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2. ............................10分 ‎18. （本题12分）‎ 已知函数f(x)＝ax2＋bx+8(a≠0)，当x∈(－1，8)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－1)∪(8，＋∞)时，f(x)<0.‎ ‎(1)求f(x)在[0，1]内的值域；‎ ‎(2)m为何值时，不等式ax2＋bx＋m≥0在[1，4]上恒成立？‎ 解(1)　由题意得x＝－1和x＝8是函数f(x)的零点且a≠0，‎ 则 ………………………………2分 解得 ………………………………3分 ‎∴f(x)＝－x2+7x＋8.‎ 由图象知开口朝下，对称轴，∴函数在[0，1]内单调递增，……4分 ‎∴当x＝0时，f(x)＝8；当x＝1时，f(x)＝14，‎ ‎∴f(x)在[0，1]内的值域为[8，14]．………………………………6分 ‎(2)法一　由（1）令g(x)＝－x2＋7x＋m.‎ ‎∵g(x)在上单调递增，在上单调递减，………………8分 又 ………………………10分 要使g(x) ≥0在[1，4]上恒成立，‎ 则需要g(x)min＝g(1) ≥0，‎ 解得m≥-6. ………………………………12分 法二　不等式－x2＋7x＋m≥0在[1，4]上恒成立，‎ 即m≥x2－7x在[1，4]上恒成立． ……………………………8分 令g(x)＝x2－7x，‎ ‎∵x∈[1，4]，且g(x)在上单调递减，在上单调递增…………10分 又 ‎∴g(x)max＝g(1)＝－6，∴m≥-6. … ……………………………12分 ‎19、（本题12分）‎ 已知函数其中为实常数，‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设集合已知当时，的最小值为，当时，求的最大值。‎ ‎（1）‎ ‎……………………………3分 由 得 ‎ ……………………6分 ‎（2）由（1）‎ ‎ …………………8分 ‎ ……………………10分 依题 ‎ ……………………12分 ‎20、（本题12分）‎ A E B F G C D 如图所示，四边形ABCD是矩形，，F为CE上的点，且BF平面ACE，AC与BD交于点G。‎ （1） 求证：AE平面BCE （2） 求证：AE//平面BFD （3） 求三棱锥C-BGF的体积 ‎21、（本题12分）‎ 已知函数． ‎ ‎（1）若处取得极值，求实数a的值 ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）当时，设斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：．‎ 解：（1） …………………………………2分 ‎（2）， ‎ ‎ 当时，，在上是增函数；………………4分 ‎ 当时，由，得（取正根），…………5分 ‎ 在区间内，是增函数；‎ 在区间内，是减函数．‎ 综上，当时，的增区间为，没有减区间；‎ 当时，的减区间是，增区间是．……7分 ‎（3）当时，， ………8分 ‎ 今证明 ， ‎ ‎ 先证明 ‎ ‎ 设 ‎ ‎ 则 ，‎ ‎ ∵ ，∴，在上是减函数． ‎ ‎ ∵ ，∴，‎ ‎ 即 ‎ ‎ ∴， ………………11分 同理可证 ．‎ ‎∴ ………………12分 ‎22. (本小题满分12分)选修4—4；坐标系与参数方程 ‎ 已知直线（为参数），. ‎ （1） 当时，求与的交点坐标；‎ （2） 以坐标原点为圆心的圆与相切，切点为，为的中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.‎ 解：（1）当时，的普通方程为，的普通方程为 联立方程组 ‎ 解得与的交点为，…………………………………………6分 ‎（2）的普通方程为 A点坐标为.∴当变化时，点轨迹的参数方程为 ‎（为参数）点轨迹的普通方程为 故点轨迹是圆心为，半径为的圆. ………………………………12分