四川省内江市2020届高三3月网络自测试题 数学（理）
内江市高中 2020 届自测试题
数 学(理工类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 4 页。全卷满分 150 分。考试时
间 120 分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试
结束后，将答题卡交回。
第 I 卷(选择题，共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{－1，0，1，2，3}，则 A∩B＝
A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0.1} D.{0.1.2}
2.设 a
， e
均为单位向量，当 a
， e
的夹角为
4
时， a
在 e
方向上的投影为
A. 2
2
B. 1
2 C. 2
2 D. 3
2
3.已知复数 1 3
1
i iz i
，则其共轭复数 z 的虚部为
A.－1 B.1 C.－i D.i
4.已知等差数列{an}满足 a1＋a5＋a9＝8π，则 cos(a2＋a8)＝
A.－ 1
2 B.－ 3
2 C. 1
2 D. 3
2
5.已知 a＝log0.2π，b＝π0.2，c＝0.2π，则
A.a
0)个单位长度，
得到函数 g(x)的图像，若 g(x)为偶函数，则φ的最小值为
A.
6
B.
3
C. 2
3
D. 5
6
9.数列：1，1，2，3，5，8，13，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多
斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”。该数列前两项均为 1，从第三项开始，
每项等于其前相邻两项之和，某同学设计如图所示的程序框图，当输入正整数 n(n≥3)时，输
出结果恰好为“兔子数列”的第 n 项，则图中空白处应填入
A.b＝a＋b B.b＝a＋c C.a＝b＋c D.c＝a＋c
10.某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体的外
接球的表面积积为
A.3π B. 81
4
C.9π D.12π
11.已知双曲线 C：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右焦点为 F(c，0)，若存在过点 F 的直线 l 与双
曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A，且|AF|＝c，则
双曲线 C 的离心率的取值范围是
A.(2，＋∞) B.[ 2 ，2) c.(1， 3 ] D.(1，2)
12.已知函数 f(x)＝x，g(x)＝ax2－x，其中 a>0，若 x1∈[1，2]， x2∈[，2]，使得 f(x1)f(x2)
＝g(x1)g(x2)成立则 a＝
A. 3
2 B. 2
3 C. 1
2 D.1
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若施化肥量 x 与小麦产量 y 之间的回归直线方程为 y＝250＋4x，当施化肥量为 50kg 时，
预计小麦产量为 kg。
14.函数 y＝axex 的图象在 x＝0 处的切线与直线 y＝－x 互相垂直，则 a＝ 。
15.已知 sinα＋4cosα＝ 17 ，则 tan2α＝ 。
16.已知梯形 ABCD 中，BC＝2AD，AB＝AD＝CD，AD//BC，若平面内一点 P 满足：
0PB PC ， PB xPA yPC ，其中 x>0，y>0，则 x＋y 的最小值为 。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本题满分 12 分)己知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝ 2
4
n
n
a
a (n∈N*)。
(1)证明：数列 2 1
na
为等比数列；。
(2)求数列 1
na
的前 n 项和。
18.(本题满分 12 分)《中国诗词大会》是由 CCTV－10 自主研发的一档大型文化益智节目，以
“赏中华诗词，寻文化基因品生活之美”为宗旨，带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲
取营养、涵养心灵，节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则：每场比赛，106 位挑战者全
部参赛，分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂
主进行比拼，竞争该场比赛的擂主擂主争霸赛以抢答的形式展开，共九道题，抢到并回答正
确者得一分，答错则对方得一分，先得五分者获胜，成为本场擂主，比赛结束已知某场擂主
争霸赛中，攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是 1
2
，攻擂者与
守擂擂主正确回答每道题的概率分别为 3
5
， 4
5
，且两人各道题是否回答正确均相互独立。
(1)比赛开始，求攻擂者率先得一分的概率；。
(2)比赛进行中，攻擂者暂时以 3：2 领先，设两人共继续抢答了 X 道题比赛结束，求随机变量
X 的分布列和数学期望。
19.(本题满分 12 分)如图，在多面体 ABCDE 中，AE⊥平面 ABC，平面 BCD⊥平面 ABC，△
ABC 是边长为 2 的等边三角形，BD＝CD＝ 5 ，AE＝2。
(1)证明：平面 EBD⊥平面 BCD；
(2)求平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值。
20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点
为 M，离心率为 3
2
，且 MF1F2 的面积为 3 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 P(0， 2 )的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且点 A，B 位于 x 轴的同侧，设直线 l
与 x 轴交于点 Q， 1 2PQ QA BQ ，若λ1＋λ2＝－2 6 ，求直线 l 的方程。
21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2＋2。
(1)若 k＝0，求 f(x)的极值；。
(2)若 x∈[0，＋∞)，都有 f(x)≥1 成立，求 k 的取值范围。
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按
所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本题满分 10 分)[选修 4－4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C1 的
极坐标方程为ρ＝1，，圆 C2 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1。
(1)求 C1 与 C2 在第一象限的交点的极坐标；
(2)若点 A，B 分别为圆 C1，C2 上位于第一条限的点，且∠AOB＝
3
，求|AB|的取值范围。
23.(本题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 f(x)＝|x－3＋|x－1|。
(1)若 f(x)≥x＋m 对任意 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围；
(2)记函数 f(x)的最小值为 s，若 a，b，c>0，且 a＋b＋c＝s，证明：4ab＋bc＋ac≥8abc。
