高考数学复习高效演练 选修4-4

高考数学复习高效演练 选修4-4

‎ ‎ 高 效 演 练 ‎1.(2014·茂名模拟)已知直线l的参数方程是(t是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,圆C的极坐标方程为ρ=-6cosθ,则圆心C到直线l的距离为　　　　.‎ ‎【解题提示】由直线l的参数方程消去参数t可得直线l的普通方程,由圆C的极坐标方程,利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式即可得出.‎ ‎【解析】由直线l的参数方程是(t是参数),消去参数t可得直线l的普通方程x-y+1=0.‎ 由圆C的极坐标方程ρ=-6cosθ,可得ρ2=-6ρcosθ,所以x2+y2=-6x,化为(x+3)2+y2=9,可得圆心C(-3,0).所以圆心C到直线l的距离d==.‎ 答案:‎ ‎【加固训练】(2014·丰台模拟)在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离是　　　　.‎ ‎【解析】点A(1,π)与直线ρcosθ=2分别化为直角坐标系下的坐标与方程A(-1,0),直线x=2.‎ 因为点A(-1,0)到直线x=2的距离d=2-(-1)=3,‎ 所以点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离为3.‎ 答案:3‎ ‎2.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=,则点A到直线l的距离为　　　　.‎ ‎【解析】点A的直角坐标为(-,),直线l:ρsin=,即ρsinθ+ρcosθ=1,化为直角坐标方程为x+y-1=0.由点到直线的距离公式得d==.‎ 答案:‎ ‎3.(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为　　　　.‎ ‎【解析】由曲线C:得x-2=y-1,x-y-1=0.‎ 答案:x-y-1=0‎ ‎【加固训练】已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,那么,直线l与圆C的位置关系是　　　　.(填“相交”“相切”“相离”中的一个)‎ ‎【解析】把直线l的参数方程(t为参数),消去参数,化为普通方程为x-y+=0,‎ 把圆C的极坐标方程ρ=2sinθ化为直角坐标方程为x2+(y-)2=2,所以圆心(0,)到直线l的距离为d=<,故直线和圆相交.‎ 答案:相交 ‎4.在极坐标系中,直线ρcosθ=与曲线ρ=2cosθ相交于A,B两点,O为极点,则∠AOB的大小为　　　　.‎ ‎【解析】直线ρcosθ=,即x=,‎ 曲线ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ,即(x-1)2+y2=1,‎ 表示以C(1,0)为圆心,以1为半径的圆.如图.‎ Rt△ADC中,因为cos∠ACO==,所以∠ACO=,‎ 在△AOC中,AC=OC,‎ 所以∠AOC=,所以∠AOB=2∠AOC=.‎ 答案:‎ ‎5.(2014·湛江模拟)已知曲线C的参数方程是(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 ρcosθ=,则在曲线C上到直线l的距离为的点有　　　　　个.‎ ‎【解析】由曲线C的参数方程是(α为参数),消去参数α可得x2+y2=8,可得圆心C(0,0),半径r=2.‎ 直线l的极坐标方程为ρcosθ=,化为x=.‎ 可得圆的切线x=2,此切线平行于直线l,切点(2,0)到直线x=的距离为;‎ y轴平行于直线l,且两条直线的距离为,‎ 联立解得 则点(0,±2)到直线x=的距离为.‎ 综上可知:在曲线C上到直线l的距离为的点有3个.‎ 答案:3‎ ‎6.(2014·宜昌模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P为直线ρcos-=0上一点,点Q为曲线(t为参数)上一点,则|PQ|的最小值为　　　　　　.‎ ‎【解题提示】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,设出点Q的坐标,求出点Q到直线的距离的最小值即可.‎ ‎【解析】因为直线ρcos-=0,‎ 所以ρcosθ-ρsinθ-=0,‎ 化为直角坐标方程是x-y-2=0.‎ 因为点Q为曲线(t为参数)上一点,‎ 所以点Q到直线x-y-2=0的距离是 d==,‎ 当t=2时,|PQ|取得最小值为.‎ 答案:‎ ‎7.(2014·孝感模拟)以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的极坐标方程为ρsin=6,圆C的参数方程为(θ为参数),则直线l被圆C截得的弦长为　　　　.‎ ‎【解题提示】把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,再把圆C的参数方程化为普通方程;利用圆心到直线的距离与圆的半径,求出直线l被圆C截得的弦长.‎ ‎【解析】因为直线l的极坐标方程为ρsin=6,‎ 所以ρsinθcos-ρcosθsin=6,‎ 化为直角坐标方程是y-x=6,‎ 即x-y+12=0,‎ 又因为圆C的参数方程为(θ为参数),‎ 化为普通方程是x2+y2=100,‎ 所以圆心到直线的距离是d==6,‎ 又圆的半径是r=10,‎ 所以直线l被圆C截得的弦长为AB=2=2×8=16.‎ 答案:16‎ ‎8.(2014·珠海模拟)直线(m为参数)被抛物线(t为参数)所截得的弦长为4,则λ=　　　　　.‎ ‎【解析】由抛物线(t为参数),消去参数t化为y2=4x.‎ 由直线(m为参数),消去参数m可得x=λy+1,‎ 代入抛物线方程可得y2-4λy-4=0,‎ 所以y1+y2=4λ,y1y2=-4.‎ ‎4=,化为1+λ2=1,解得λ=0.‎ 答案:0‎ ‎9.(2014·汕头模拟)已知直线(t∈R)与圆(θ∈‎ ‎[0,2π))相交于A,B两点,则以AB为直径的圆的面积为　　　　　.‎ ‎【解析】由圆(θ∈[0,2π))消去参数θ得 ‎(x-2)2+y2=4,‎ 把直线(t∈R)代入上述圆的方程得(t-1)2+(4-2t)2=4,‎ 化为5t2-18t+13=0,解得t1=,t2=1.‎ 由t的几何意义可得|AB|==|t1-t2|=‎ ‎=.‎ 所以以AB为直径的圆的面积S=π×=.‎ 答案:‎ ‎10.(2014·广东高考)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=‎ sinθ与ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为　　　　　.‎ ‎【解析】2ρcos2θ=sinθ即2ρ2cos2θ=ρsinθ,‎ 则2x2=y,ρcosθ=1即x=1.‎ 联立解得,x=1,y=2.‎ 曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).‎ 答案:(1,2)‎ ‎【加固训练】(2014·益阳模拟)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=2,ρ=4cosθ,则曲线C1与C2交点的极坐标为　　　　　.‎ ‎【解析】由,解得即两曲线的交点为.‎ 答案:‎ ‎11.(2014·江门模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程是(t为参数);以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ+.由直线l上的点向圆C引切线,切线长的最小值为　　　　.‎ ‎【解析】由已知可得圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0,所以圆心为C,半径R为1.‎ 因为直线l的参数方程为(t为参数),‎ 所以直线l上的点P向圆C引切线长是 ‎=‎ ‎=≥2,‎ 所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2.‎ 答案:2‎ ‎12.(2014·长沙模拟)在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为C1:(t为参数);以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,过直线C1上的点向曲线ρ=1作切线,则切线长的最小值为　　　　.‎ ‎【解析】因为直线C1的参数方程为(t为参数),‎ 化为普通方程是x-y-2=0,‎ 曲线ρ=1的直角坐标方程是x2+y2=1,‎ 圆心(0,0)到直线的距离是d==,‎ 过直线上的点作圆的切线,设切线长的最小值是l,‎ 则l2=d2-r2=()2-12=2,所以l=.‎ 答案:‎ ‎13.(2014·怀化模拟)已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的参数方程为(φ为参数).点A,B是曲线C上两点,点A,B的极坐标分别为,.‎ ‎(1)曲线C的普通方程为　　　　,极坐标方程为　　　　.‎ ‎(2)|AB|=　　　　.‎ ‎【解析】(1)因为曲线C的参数方程为(φ为参数),‎ 消去参数φ,化为普通方程是x2+(y-2)2=4.‎ 由 所以曲线C的普通方程x2+(y-2)2=4可化为极坐标方程ρ=4sinθ.‎ ‎(2)方法一:由A,B是圆C上的两点,且知∠AOB=,所以AB为直径,所以|AB|=4.‎ 方法二:由两点A,B,‎ 化为直角坐标中点的坐标是A(,3),B(-,1),所以A,B两点间距离为|AB|=4.‎ 答案:(1)x2+(y-2)2=4　ρ=4sinθ　(2)4‎ ‎14.(2014·肇庆模拟)在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.点A,B的极坐标分别为(2,π),‎ ‎,曲线C的参数方程为(α为参数).直线AB被曲线C截得的弦长为　　　　.‎ ‎【解析】因为点A,B的极坐标分别为(2,π),,‎ 在直角坐标系中A(-2,0),B(2,2),‎ 所以直线AB的方程为x-2y+2=0,‎ 因为曲线C的参数方程为(α为参数),化为普通方程是x2+(y-1)2=1,‎ 所以曲线是圆心为C(0,1),半径r为1的圆,‎ 因为直线AB过圆心C(0,1),‎ 所以直线AB被曲线C截得的弦长为2r=2.‎ 答案:2‎ ‎15.(2014·天津高考)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为　　　　　　.‎ ‎【解析】圆的普通方程为x2+=4,直线为y=a.‎ 因为△AOB是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得a=3.‎ 答案:3‎ ‎【加固训练】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acosθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),若直线l与圆C相切,则实数a=　　　　.‎ ‎【解析】因为(t为参数),‎ 所以消去参数t得4x-3y-2=0,‎ 因为ρ=2acosθ,‎ 所以ρ2=‎2aρcosθ,则x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2,‎ 因为直线l与圆C相切,‎ 所以=|a|,解得,a=-2或,‎ 所以实数a的值为-2或.‎ 答案:-2或 ‎16.(2013·福建高考改编)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.‎ 圆C的参数方程为(α为参数),直线l与圆C的位置关系是　　　　.‎ ‎【解析】点A的极坐标代入到直线l的极坐标方程 cos=a,得a=,故直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ 由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,‎ 所以圆心为(1,0),半径r=1,‎ 因为圆心到直线的距离d==<1,所以直线与圆相交.‎ 答案:相交 ‎17.(2013·新课标全国卷Ⅱ改编)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.M的轨迹的参数方程为　　　　.‎ ‎【解题提示】借助中点坐标公式,用参数α表示出点M的坐标,可得参数方程.‎ ‎【解析】依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+‎ cos2α,sinα+sin2α).‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).‎ 答案:(α为参数,0<α<2π)‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=2acosθ+(a>0).直线l的参数方程是(t为参数),直线l被圆C截得的弦长为d,若d≥,则a的取值范围为　　　　.‎ ‎【解析】方法一:圆C的直角坐标方程为+=a2,‎ 直线l的普通方程为y=2x.‎ 所以圆心C到直线l的距离为,‎ 所以d=2=a.‎ 所以a≥,解得a≥.‎ 方法二:圆C的直角坐标方程为x2+y2-ax+ay=0,‎ 将化为标准参数方程 代入得m2+am=0,解得m1=0,m2=-a,‎ 所以d=|m1-m2|=a,所以a≥,解得a≥.‎ 方法三:圆C的直角坐标方程为x2+y2-ax+ay=0,‎ 直线l的普通方程为y=2x.‎ 联立 得5x2+ax=0,解得x1=0,x2=-a,‎ 所以d=|x1-x2|=a,‎ 所以a≥,解得a≥.‎ 答案:[,+∞)‎ ‎19.(2014·安徽高考改编)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为　　　　.‎ ‎【解析】由题意可得直线和圆的直角坐标方程分别为x-y-4=0,x2+y2=4x,所以圆心C(2,0),半径r=2,‎ 圆心到直线l的距离d=,由半径、圆心距、‎ 半弦长构成直角三角形,解得弦长为2.‎ 答案:2‎ ‎20.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于M,N两点,若|PM|,|MN|,‎ ‎|PN|成等比数列,则a=　　　　.‎ ‎【解析】曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0)的直角坐标方程为y2=2ax,‎ 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 代入y2=2ax,得到t2-2(4+a)t+8(4+a)=0,‎ 则有t1+t2=2(4+a),t1·t2=8(4+a).‎ 因为|MN|2=|PM|·|PN|,‎ 所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,‎ 解得a=1.‎ 答案:1‎ 关闭Word文档返回原板块