2017届高三上学期期中考试理科数学试卷及答案4

2017届高三上学期期中考试理科数学试卷及答案4

高三年级期中考试 理科数学试卷 ‎ 命题人 郭晓蕾 ‎ 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（　　）‎ A．{1} B．{2} C．1 D．2‎ ‎2．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（　　）‎ A．2 B． C．1 D．3‎ ‎3．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞4‎ ‎4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20‎ ‎6．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（，2] ‎ ‎ C．（，2] D．（2，4]‎ ‎7．数列{an}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2等于（　　）‎ A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．‎ ‎8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何 ‎ 体的体积为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（　　）‎ A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）‎ C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）‎ ‎10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，﹣1） B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2） D．（﹣，﹣2]‎ ‎12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）ex﹣1，若 g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）‎ 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值　　　　．‎ ‎14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=　　　　．‎ ‎15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是 　　　　．‎ X ‎﹣2‎ ‎0‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎﹣1‎ ‎1‎ ‎16. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为　　　　　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．‎ ‎（1）求∠C的大小；‎ ‎（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎19. （本小题满分12分） 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．‎ ‎（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；‎ ‎（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；‎ ‎（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．‎ ‎（1）求直线AB的极坐标方程；‎ ‎（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 高三年级期中考试 理科数学参考答案 一．选择题 ‎1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．‎ ‎　二．填空题 ‎13．﹣8 14. ． 16. ．‎ ‎　三．解答题 ‎17．解：（1）依题意：，即，‎ 又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分 ‎（2）由三角形是锐角三角形可得， ‎ 即由正弦定理得 ‎∴，‎ ‎，，‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎==，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即...............12分 ‎18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，‎ 知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）‎ ‎（Ⅱ）∵（n≥1）①‎ ‎∴②（4分）‎ ‎②﹣①得：，‎ bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）‎ ‎（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，‎ ‎∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）‎ 令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①‎ 则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②‎ ‎①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）‎ ‎∴数列{cn}的前n项和…（12分）‎ ‎19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，‎ 又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，‎ 即，解得：a=﹣1或a=3，‎ 当截距为零时，设y=kx，同理可得或，‎ 则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分 ‎（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．‎ ‎∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．‎ ‎∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．‎ 而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，‎ ‎∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分 ‎20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．‎ 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，‎ 从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）‎ 解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．‎ 因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．‎ 由AD=3，可知，．‎ 则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），‎ 所以，．‎ 设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．‎ 令，则=．‎ 因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．‎ 所以cos．‎ 因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）‎ ‎（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．‎ 因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．‎ 此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）‎ ‎21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，‎ 所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分 ‎（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．‎ 若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．　‎ 若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；‎ 当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；‎ ‎ 当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．‎ 故[f（x）]min==．‎ 若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），‎ 故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．‎ 综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；‎ 当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；‎ 当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分 ‎（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．‎ ‎∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，‎ 因而（x∈[1，e]）‎ 令（x∈[1，e]），又，‎ 当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，‎ 从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，‎ 故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分 ‎22.解：（1）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，‎ 极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ 曲线C1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x2+y2=﹣4y，‎ ‎∴曲线C1：x2+y2+y=0，∴直线AB的普通方程为：（x2+y2﹣4x）﹣（x2+y2+4y）=0，‎ ‎∴y=﹣x，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣，‎ ‎∴直线AB极坐标方程为：．.............5分 ‎（2）根据（1）知，直线AB的直角坐标方程为y=﹣x，‎ 根据题意可以令D（x1，y1），则 ‎，又点D在直线AB上，所以t1=﹣（2+t1），‎ 解得 t1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t1|=，‎ 同理，令交点E（x2，y2），则有，‎ 又点E在直线x=0上，令2+t2=0，∴t2=﹣，∴|CE|=|t2|=，‎ ‎∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分 ‎23.解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，‎ ‎∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），‎ ‎∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分 ‎（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立 ‎⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，‎ 解得：a≥6或a≤0．..............10分