2018届二轮复习配凑法与构造法课件（江苏专用）

2018届二轮复习配凑法与构造法课件（江苏专用）

专题 11 　数学方法 第 3 讲 　配凑法与构造法 配凑法是通过将两个变量构成的不等式 ( 方程 ) 变形到不等号 ( 等号 ) 两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在 ( 有 ) 解和方程有解中参数取值范围的一种方法．两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知．构造法解题有时虽然经历了一条曲折迂回的道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独辟蹊径，顺利解决问题．这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯，有利于提高学生的创造性思维品质，从而提高创新意识，也有利于培养学生的研究能力． 题型 分析 高考 展望 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 高考 必会题型 题型一　配凑法 例 1 　 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax － 1 的导函数为 f ′ ( x ) ， g ( x ) ＝ f ′ ( x ) － ax － 3. (1) 若 x · g ′ ( x ) ＋ 6>0 对一切 x ≥ 2 恒成立，求实数 a 的取值范围； 解析答案 解　 ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 3 a ， ∴ g ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 3 a － ax － 3 ， ∴ g ′ ( x ) ＝ 6 x － a ， ∴ h ( x ) min ＝ h (2) ＝ 15 ， ∴ a <15. 解析答案 (2) 若对满足 0 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值，都有 g ( x )<0 ，求实数 x 的取值范围． 点评 解　 g ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 3 a － ax － 3 ＜ 0 对一切 0 ≤ a ≤ 1 恒成立， 若 x ＝ 3 ，则 g ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 3 a － ax － 3 ＝ 24 ＞ 0 不满足， ∴ x ∈ ∅ ， 点评 点评 高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见．与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，使得做题的正确率大大提高．随着分离变量的广泛使用，越来越多的压轴题都需要使用该思想方法． 解析答案 可知 ω 为 1 的立方虚根， 又由 a 2 ＋ ab ＋ b 2 ＝ 0 变形得 ( a ＋ b ) 2 ＝ ab ， 题型二　构造法 解析答案 点评 点评 证明　 构造函数 f ( x ) ＝ ln(1 ＋ x ) － x ( x >0) ， 解析答案 函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 所以当 x >0 时，有 f ( x )< f (0) ＝ 0 ， 即有 ln(1 ＋ x )< x ( x >0) ， 点评 构造法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分．是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数解决问题．首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径．其次数量关系是数学中的一种基本关系，现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性．因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否 “ 明朗化 ” 的关键所在 ． 点评 解析答案 返回 解析答案 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解析答案 解　 构造向量 a ＝ ( x ， a ) ， b ＝ ( c － x ， b ) ， 则 原函数就可化为 y ＝ | a | ＋ | b | ≥ | a ＋ b | 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 设 y － 2 x ＝ m ， 因 m 为直线 y ＝ 2 x ＋ m 在 y 轴上的截距， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 当直线 y ＝ 2 x ＋ m 与椭圆上半部分相切时， m 有最大值 . 令 Δ ＝ 4(52 － 9 m 2 ) ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解　 由根号下的式子看出 x ＋ 1 － x ＝ 1 且 0 ≤ x ≤ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (1) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 证明：当 x ＞ 1 时， f ( x ) ＜ x － 1 ； 证明　 令 F ( x ) ＝ f ( x ) － ( x － 1) ， x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， F ′ ( x ) ＜ 0 ， 所以 F ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 故当 x ＞ 1 时， F ( x ) ＜ F (1) ＝ 0 ， 即当 x ＞ 1 时， f ( x ) ＜ x － 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (3) 确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x 0 ＞ 1 ，当 x ∈ (1 ， x 0 ) 时，恒有 f ( x ) ＞ k ( x － 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解　 由 (2) 知，当 k ＝ 1 时，不存在 x 0 ＞ 1 满足题意 . 当 k ＞ 1 时，对于 x ＞ 1 ，有 f ( x ) ＜ x － 1 ＜ k ( x － 1) ， 则 f ( x ) ＜ k ( x － 1) ， 从而不存在 x 0 ＞ 1 满足题意 . 当 k ＜ 1 时，令 G ( x ) ＝ f ( x ) － k ( x － 1) ， x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 由 G ′ ( x ) ＝ 0 得，－ x 2 ＋ (1 － k ) x ＋ 1 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 由 G ′ ( x ) ＝ 0 得，－ x 2 ＋ (1 － k ) x ＋ 1 ＝ 0 ， 当 x ∈ (1 ， x 2 ) 时， G ′ ( x ) ＞ 0 ， 故 G ( x ) 在 (1 ， x 2 ) 内单调递增 . 从而当 x ∈ (1 ， x 2 ) 时， G ( x ) ＞ G (1) ＝ 0 ， 即 f ( x ) ＞ k ( x － 1). 综上， k 的取值范围是 ( － ∞ ， 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 构造合乎要求的几何图形如图所示： AD ＝ DF ＝ BC ＝ a ， AB ＝ BE ＝ CD ＝ 1 ， ∠ DAB ＝ 60° ， ∠ CBE ＝ 120° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 BC ＝ a ， BE ＝ 1 ， 则 S △ ECF ＝ S AECF － S △ AEF ＝ 3 S △ ABD ＋ S △ ABE ＋ S △ BCE － S △ AEF 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (1) 求椭圆 C 的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 若直线 l ： y ＝ kx ＋ m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点 ( A ， B 不是左，右顶点 ) ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 . 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 得 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 mkx ＋ 4( m 2 － 3) ＝ 0 ， Δ ＝ 64 m 2 k 2 － 16(3 ＋ 4 k 2 )( m 2 － 3)>0 ， 整理得 3 ＋ 4 k 2 > m 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 ∵ 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,0) ， ∴ y 1 y 2 ＋ x 1 x 2 － 2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 ＝ 0 ， 整理得 7 m 2 ＋ 16 mk ＋ 4 k 2 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 且满足 3 ＋ 4 k 2 － m 2 >0. 当 m ＝－ 2 k 时， l ： y ＝ k ( x － 2) ，直线过定点 (2,0) 与已知矛盾； 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 8. 已知函数 f ( x ) ＝ ln x － a ( x － 1) ， a ∈ R . (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性； 1 2 3 4 5 6 7 8 若 a ≤ 0 ，则 f ′ ( x ) ＞ 0 ， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 综上，当 a ≤ 0 时， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 令 g ( x ) ＝ x ln x － a ( x 2 － 1)( x ≥ 1) ，则 g ′ ( x ) ＝ ln x ＋ 1 － 2 ax ， 令 F ( x ) ＝ g ′ ( x ) ＝ ln x ＋ 1 － 2 ax ， ① 若 a ≤ 0 ， F ′ ( x )>0 ， g ′ ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上递增， g ′ ( x ) ≥ g ′ (1) ＝ 1 － 2 a >0 ， ∴ g ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上递增， g ( x ) ≥ g (1) ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 不符合题意 . 从而 g ′ ( x )> g ′ (1) ＝ 1 － 2 a ＞ 0 ， ∴ g ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上递增， g ( x ) ≥ g (1) ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 ∴ g ′ ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上递减， g ′ ( x ) ≤ g ′ (1) ＝ 1 － 2 a ≤ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵ x ≥ 1 ， ∴ h ′ ( x )>0 ， 即 h ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上是增函数 ， g ′ ( x ) ＝ a ， ∵ 当 a >0 时， g ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上是增函数 . 又 ∵ h (1) ＝ g (1) ＝ 0 ， h ( x ) ≤ g ( x )( x ≥ 1) 恒成立， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8