河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

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河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

石家庄二中2018——2019学年第二学期期末考试 高二数学(理)试卷 一、选择题:(每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知全集,集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:,‎ 所以 .‎ 考点:集合的交集、补集运算.‎ ‎2.复数的虚部为()‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则,化简复数,即可得到复数的虚部,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,复数,‎ 所以复数的虚部为,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的概念的应用,其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎3.命题“,使是”的否定是()‎ A. ,使得 B. ,使得.‎ C. ,使得 D. ,使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与特称命题的关系,准确改写,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,根据全称命题与特称命题的关系,可得命题“,使是”的否定为“,使得”故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定,其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎4.已知,则()‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式,化为齐次式,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,可得 ‎,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式,以及三角函数的基本关系式的化简、求值,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎5.在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数在上单调递增,由,利用零点存在定理可得结果.‎ ‎【详解】因为函数在上连续单调递增,‎ 且,‎ 所以函数的零点在区间内,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注意两点:(1)函数是否为单调函数;(2)函数是否连续.‎ ‎6.已知命题:若,则;:“”是“”的必要不充分条件,则下列命题是真命题的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:命题为假命题,比如,但,命题为真命题,不等式的解为,所以,而,所以“”是“”的必要不充分条件,由命题的真假情况,得出为真命题,选B.‎ 考点:命题真假的判断.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题,为假命题,容易判断,对于命题,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则是的充分不必要条件,若,则是的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出为真命题.‎ ‎7.设在定义在上的偶函数,且,若在区间单调递减,则()‎ A. 在区间单调递减 B. 在区间单调递增 C. 在区间单调递减 D. 在区间单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件得到函数是以2为周期的周期函数,同时关于对称的偶函数,根据对称性和周期性,即可求解.‎ ‎【详解】由函数满足,所以是周期为2的周期函数,‎ 由函数在区间单调递减,可得单调递减,所以B不正确;‎ 由函数在定义在上的偶函数,在区间单调递减,可得在区间单调递增,所以A不正确;‎ 又由函数在定义在上的偶函数,则,即,‎ 所以函数的图象关于对称,可得在区间单调递增,在在区间单调递增,所以C 不正确,D正确,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用,以及函数的周期性的判定,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎8.若,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式和余弦的倍角公式,化简得,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,可得 ‎,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题,其中解答中合理配凑,以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎9.函数的图象大致是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为2、4是函数零点,所以排除B、C;‎ 因为时,所以排除D,故选A ‎10.已知函数,如果,则实数的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数,求得函数的单调性和奇偶性,把不等式,转化为,即可求解.‎ ‎【详解】由函数,可得,所以函数为单调递增函数,‎ 又由,所以函数为奇函数,‎ 因为,即,‎ 所以,解得,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用,其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性,合理转化不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎11.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”,如果函数的“新驻点”分别为那么的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知得到:,‎ 对于函数h(x)=lnx,由于h′(x)= ‎ 令,可知r(1)<0,r(2)>0,故1<β<2 ‎ ‎, ‎ 且,选D.‎ ‎12.设函数,若不等式恰有两个整数解,则实数的取值范围是()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域、化简不等式,构造新函数,结合函数的图象,从而可得的范围,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,函数的定义域为,‎ 不等式,即,即,‎ 两边除以,可得,‎ 又由直线恒过定点,‎ 若不等式恰有两个整数解,‎ 即函数图象有2个横坐标为整数的点落在直线的上方,‎ 由图象可知,这2个点为,可得,‎ 即,解得,‎ 即实数的取值范围是,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用,其中解答中把不等式的解,转化为函数的图象的关系,合理得出不等式组是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.‎ 二、填空题:(每小题5分,共20分)‎ ‎13.= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令=y≥0,则(y≥0),∴表示的是上半圆在第一象限的部分的面积,其值等于,,‎ 所以=+=.‎ 考点:定积分.‎ ‎14.若函数,则不等式的解集为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论,分别求解不等式,即可求得不等式的解集,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,当时,令,解得,当时,令,解得,‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,以及指数函数的图象与性质的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎15.已知,,则的值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式,求得,再由两角差的余弦函数的公式,即可求解.‎ ‎【详解】由,即,‎ 则,‎ 又由,所以,‎ 又由.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式,以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎16.已知函数,,若存在两切点,,,使得直线与函数和 的图象均相切,则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得点处的切线方程,联立方程组,根据判别式,令,得,构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,点在函数的图象上,令,则点,‎ 又由,则,‎ 所以切线方程,即,‎ 联立方程组 ,整理得,‎ 则,‎ 令,整理得,且,‎ 构造函数,‎ 则,,‎ 可得当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以,‎ 即在上恒成立,所以函数在单调递减,‎ 又由,‎ 所以,解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性与,以及函数单调性,求解参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.‎ 三、解答题:(70分)‎ ‎17.已知直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数)‎ ‎(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)若过且与直线垂直的直线与曲线相交于两点,,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求得直线的直角坐标方程,消去参数,即可求得曲线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)求得直线的参数方程,代入椭圆的方程,利用直线参数的几何意义,即可求解.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由直线极坐标方程,‎ 根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得直线直角坐标方程:,‎ 由曲线的参数方程为(为参数),则,‎ 整理得,即椭圆普通方程为.‎ ‎(Ⅱ)直线的参数方程为,即(为参数)‎ 把直线的参数方程代入得:,‎ 故可设,是上述方程的两个实根,则有 又直线过点,故由上式及的几何意义得:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,以及参数方程与普通方程的互化,以及直线参数的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎18.选修4-5:不等式选讲 设函数,‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)利用零点分段法去绝对值,将函数化为分段函数,由此求得不等式的解集为;(II)由(I)值,函数的最小值为,即,由此解得.‎ 试题解析:‎ ‎(I),‎ 当,,,‎ 当,,,‎ 当,,,‎ 综上所述.‎ ‎(II)易得,若,恒成立,‎ 则只需,‎ 综上所述.‎ 考点:不等式选讲.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎19.已知函数,是偶函数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)解不等式.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数是偶函数,可知,根据对数的运算,即可求解;‎ ‎(2)由题,根据对数的运算性质,得,令,转化为,利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由函数是偶函数,可知,‎ 所以恒成立,‎ 化简得,即,解得.‎ ‎(2)由题,即,整理得,‎ 令得,‎ 解得或者,‎ 从而或,解得或,‎ 原不等式解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,指数函数、对数函数的运算性质,以及一元二次不等式的解法的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)求曲线在原点处的切线方程.‎ ‎(2)当时,求函数的零点个数;‎ ‎【答案】(1)(2)函数零点个数为两个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据导数的几何意义,即可求解曲线在原点处的切线方程;‎ ‎(2)由(1),求得函数的单调性,分类讨论,即可求解函数的零点个数.‎ ‎【详解】(1)由题意,函数,则,则,‎ 从而曲线在原点处的切线方程为.‎ ‎(2)由(1)知,令得或,‎ 从而函数单调增区间为,单调减区间为,‎ 当时,恒成立,所以在上没有零点;‎ 当时,函数在区间单调递减,且,存在唯一零点;‎ 当时,函数在区间单调递增,且,存在唯一零点.‎ 综上,当时,函数零点个数为两个.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程,以及利用导数研究函数的单调性及其应用,着重考查了分类讨论思想,推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)当为何值时,轴为曲线的切线;‎ ‎(2)若存在(是自然对数的底数),使不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设曲线与轴相切于点,利用导数的几何意义,列出方程组,即可求解;‎ ‎(2)把不等式成立,转化为,构造函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.‎ ‎【详解】(1)设曲线与轴相切于点,则,,‎ 即,‎ 解得,即当时,轴为曲线的切线.‎ ‎(2)由题意知,即,‎ 设,则,‎ 当时,,此时单调递减;‎ 当时,,此时单调递增.‎ 存在,使成立,等价于,即,‎ 又,,故,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)当时,证明:;‎ ‎(3)设函数的图象与直线的两个交点分别为,,的中点的横坐标为,证明:.‎ ‎【答案】(1)取得极大值,没有极小值(2)见解析(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数求得函数的单调性,再根据极值的定义,即可求解函数的极值;‎ ‎(2)由,整理得整理得,设,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.‎ ‎(3)不妨设,由(1)和由(2),得,利用单调性,即可作出证明.‎ ‎【详解】(1)由题意,函数,则,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减,‎ 所以当时,取得极大值,没有极小值;‎ ‎(2)由得 整理得,‎ 设,‎ 则,‎ 所以在上单调递增,‎ 所以,即,‎ 从而有.‎ ‎(3)证明:不妨设,由(1)知,则,‎ 由(2)知,‎ 由在上单调递减,所以,即,‎ 则,所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎
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