2020届二轮复习(文)第2部分专题5第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质学案

2020届二轮复习(文)第2部分专题5第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质学案

第 2 讲 圆锥曲线的定义、方程及性质 [做小题——激活思维] 1．椭圆 C：x2 25 ＋y2 16 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为( ) A．12 B．16 C．20 D．24 C [△F1AB 的周长为 |F1A|＋|F1B|＋|AB| ＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B| ＝2a＋2a＝4a. 在椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 中，a2＝25，a＝5， ∴△F1AB 的周长为 4a＝20，故选 C.] 2．已知点 F 1 4 ，0 ，直线 l：x＝－1 4 ，点 B 是 l 上的动点．若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( ) A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 D [由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为 焦点，直线 l 为准线的抛物线．] 3．设 P 是双曲线x2 16 －y2 20 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点， 若|PF1|＝9，则|PF2|＝________. 17 [由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以 P 点在双曲线的左支，则有|PF2|－ |PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.] 4．设 e 是椭圆x2 4 ＋y2 k ＝1 的离心率，且 e＝2 3 ，则实数 k 的值是________． 20 9 或36 5 [当 k＞4 时，有 e＝ 1－4 k ＝2 3 ，解得 k＝36 5 ；当 0＜k＜4 时，有 e ＝ 1－k 4 ＝2 3 ，解得 k＝20 9 .故实数 k 的值为20 9 或36 5 .] 5．双曲线x2 a2 －y2 9 ＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝3 5x，则 a＝________. 5 [∵双曲线的标准方程为x2 a2 －y2 9 ＝1(a＞0)， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3 ax. 又双曲线的一条渐近线方程为 y＝3 5x，∴a＝5.] 6．抛物线 8x2＋y＝0 的焦点坐标为________． 0，－ 1 32 [由 8x2＋y＝0，得 x2＝－1 8y. ∴2p＝1 8 ，p＝ 1 16 ， ∴焦点为 0，－ 1 32 .] [扣要点——查缺补漏] 1．圆锥曲线的定义及标准方程 (1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如 T3. (2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离， 一般可以利用定义进行转化．如 T1 ，T2. (3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”． 2．圆锥曲线的几何性质 (1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于 a，b，c 的方 程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，如 T4. (2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 圆锥曲线的定义与标准方程(5 年 4 考) [高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆 锥曲线的性质进行综合考查. 1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( ) A.x2 2 ＋y2＝1 B.x2 3 ＋y2 2 ＝1 C.x2 4 ＋y2 3 ＝1 D.x2 5 ＋y2 4 ＝1 切入点：|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|. 关键点：挖掘隐含条件，确定点 A 的位置，求 a，b 的值． B [设椭圆的标准方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB| ＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|， ∴|AF1|＋2|AB|＝4a. 又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝3 2|AF2|， ∴|AF1|＋3|AF2|＝4a. 又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a， ∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设 A(0，b)， 又 F2(1,0)，AF2 → ＝2F2B → ，∴B 3 2 ，－b 2 . 将 B 点坐标代入椭圆方程x2 a2 ＋y2 b2 ＝1，得 9 4a2 ＋ b2 4b2 ＝1， ∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆 C 的方程为x2 3 ＋y2 2 ＝1. 故选 B.] 2．(2015·全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－y2 8 ＝1 的右焦点，P 是 C 的左支 上一点，A(0,6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 切入点：△APF 的周长最小． 关键点：根据双曲线的定义及△APF 周长最小，确定 P 点坐标． 12 6 [由双曲线方程 x2－y2 8 ＝1 可知，a＝1，c＝3，故 F(3,0)，F1(－3，0)．当 点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋ 2，从而△APF 的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|. 因为|AF|＝ 32＋6 62＝15 为定值， 所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在 线段 AF1 与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线 AF1 的方程为 y＝2 6x＋6 6， 由 y＝2 6x＋6 6， x2－y2 8 ＝1， 得 y2＋6 6y－96＝0， 解得 y＝2 6或 y＝－8 6(舍去)， 所以 S△APF＝S△AF1F－S△PF1F ＝1 2 ×6×6 6－1 2 ×6×2 6＝12 6.] [教师备选题] 1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y ＝±1 2x，则该双曲线的标准方程为________． x2 4 －y2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为 y＝±1 2x， ∴可设双曲线的方程为 x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4， 3)， ∴λ＝16－4×( 3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x2 4 －y2＝1. 法二：∵渐近线 y＝1 2x 过点(4,2)，而 3<2， ∴点(4， 3)在渐近线 y＝1 2x 的下方，在 y＝－1 2x 的上 方(如图)． ∴双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线方程为 x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得 b a ＝1 2 ， 16 a2 － 3 b2 ＝1， 解得 a2＝4， b2＝1， ∴双曲线的标准方程为x2 4 －y2＝1.] 2．(2018·天津高考)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦 点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐 近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x2 3 －y2 9 ＝1 B.x2 9 －y2 3 ＝1 C.x2 4 －y2 12 ＝1 D.x2 12 －y2 4 ＝1 A [设双曲线的右焦点为 F(c,0)． 将 x＝c 代入x2 a2 －y2 b2 ＝1，得c2 a2 －y2 b2 ＝1， ∴ y＝±b2 a . 不妨设 A c，b2 a ，B c，－b2 a . 双曲线的一条渐近线方程为 y＝b ax，即 bx－ay＝0， 则 d1＝ |b·c－a·b2 a | b2＋－a2 ＝|bc－b2| c ＝b c(c－b)， d2 ＝|b·c＋a·b2 a | b2＋－a2 ＝|bc＋b2| c ＝b c(c＋b)， ∴ d1 ＋d2 ＝b c·2c＝2b＝6，∴ b＝3. ∵ c a ＝2，c2＝a2＋b2，∴ a2＝3， ∴ 双曲线的方程为x2 3 －y2 9 ＝1. 故选 A.] 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d 为 M 点到准线的距离)． 易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准 方程； (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2 或 p.另外，当焦点位置无 法确定时，抛物线方程常设为 y2＝2ax 或 x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为 mx2＋ ny2＝1(m＞0，n＞0，且 m≠n)，双曲线方程常设为 mx2－ny2＝1(mn＞0)． 1．(椭圆的定义)设 F1，F2 为椭圆x2 9 ＋y2 5 ＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若 线段 PF1 的中点在 y 轴上，则|PF2| |PF1| 的值为( ) A. 5 14 B.5 9 C.4 9 D. 5 13 D [如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2 的中 点，所以 OM∥PF2，可得 PF2⊥x 轴，|PF2|＝b2 a ＝5 3 ， |PF1|＝2a－|PF2|＝13 3 ， 所以|PF2| |PF1| ＝ 5 13.故选 D.] 2．(双曲线的标准方程)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 4 5，渐 近线方程为 2x±y＝0，则双曲线的方程为( ) A.x2 4 －y2 16 ＝1 B.x2 16 －y2 4 ＝1 C.x2 16 －y2 64 ＝1 D.x2 64 －y2 16 ＝1 A [易知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程 为 2x±y＝0，得b a ＝2，因为双曲线的焦距为 4 5，所以 c＝2 5.结合 c2＝a2＋b2， 可得 a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x2 4 －y2 16 ＝1.] 3．(抛物线的定义)过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则 p＝________. 4 [设直线 AB 的方程为 x＝my＋p 2 ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＞x2，将直线 AB 的方程代入抛物线方程得 y2－2pmy－p2＝0，所以 y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物 线的准线为 l，过 A 作 AC⊥l，垂足为 C(图略)，过 B 作 BD⊥l，垂足为 D，因为 |AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋p 2 ＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋p 2 ＝3，所以 x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即 18p －72＝0，解得 p＝4.] 圆锥曲线的性质(5 年 17 考) [高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、 双曲线的渐近线，难度适中. 1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x2 3p ＋y2 p ＝1 的一个 焦点，则 p＝( ) A．2 B．3 C．4 D．8 切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点． 关键点：正确用 p 表示抛物线和椭圆的焦点． D [抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为 p 2 ，0 ， 椭圆x2 3p ＋y2 p ＝1 的焦点坐标为(± 2p，0)． 由题意得p 2 ＝ 2p，∴p＝0(舍去)或 p＝8. 故选 D.] 2．(2019·全国卷Ⅱ)设 F 为双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|， 则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C．2 D. 5 切入点：以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 相交且|PQ|＝|OF|. 关键点：正确确定以 OF 为直径的圆的方程． A [令双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点 F 的坐标为(c,0)，则 c＝ a2＋b2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQ⊥OF.设垂足为 M，连 接 OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝c 2 ，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2， 得 c 2 2 ＋ c 2 2 ＝a2，∴c a ＝ 2，即离心率 e＝ 2. 故选 A.] 3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：x2 3 ＋y2 m ＝1长轴的两个端点．若 C 上存在点 M 满足∠AMB＝120°，则 m 的取值范围是( ) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， 3]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， 3]∪[4，＋∞) 切入点：C 上存在点 M 满足∠AMB＝120°. 关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于 m 的不等 式． A [法一：设焦点在 x 轴上，点 M(x，y)． 过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N， 则 N(x,0)． 故 tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) ＝ 3＋x |y| ＋ 3－x |y| 1－ 3＋x |y| · 3－x |y| ＝ 2 3|y| x2＋y2－3. 又 tan∠AMB＝tan 120°＝－ 3， 且由x2 3 ＋y2 m ＝1 可得 x2＝3－3y2 m ， 则 2 3|y| 3－3y2 m ＋y2－3 ＝ 2 3|y| 1－3 m y2 ＝－ 3. 解得|y|＝ 2m 3－m. 又 0<|y|≤ m，即 0＜ 2m 3－m ≤ m，结合 0＜m＜3 解得 0＜m≤1. 对于焦点在 y 轴上的情况，同理亦可得 m≥9. 则 m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选 A. 法二：当 03 时，焦点在 y 轴上， 要使 C 上存在点 M 满足∠AMB＝120°， 则a b ≥tan 60°＝ 3，即 m 3 ≥ 3，解得 m≥9. 故 m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选 A.] [教师备选题] 1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线 方程为( ) A．y＝± 2x B．y＝± 3x C．y＝± 2 2 x D．y＝± 3 2 x A [因为双曲线的离心率为 3，所以c a ＝ 3，即 c＝ 3a.又 c2＝a2＋b2，所以 ( 3a)2＝a2＋b2，化简得 2a2＝b2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax， 所以 y＝± 2x.故选 A.] 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－y2 3 ＝1 的右焦点，P 是 C 上一点， 且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 2 D [因为 F 是双曲线 C：x2－y2 3 ＝1 的右焦点，所以 F(2,0)． 因为 PF⊥x 轴，所以可设 P 的坐标为(2，yP)． 因为 P 是 C 上一点，所以 4－y2P 3 ＝1，解得 yP＝±3， 所以 P(2，±3)，|PF|＝3. 又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1， 所以 S△APF＝1 2 ×|PF|×1＝1 2 ×3×1＝3 2. 故选 D.] 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D.1 3 A [由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为 a. 又直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切， ∴圆心到直线的距离 d＝ 2ab a2＋b2 ＝a，解得 a＝ 3b，∴b a ＝ 1 3 ， ∴e＝c a ＝ a2－b2 a ＝ 1－ b a 2 ＝ 1－ 1 3 2 ＝ 6 3 . 故选 A.] 1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求c a 的值． 2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b 的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． 1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭 圆中心到 l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 B [法一：如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|·|OF| ＝|AF|·|OB|，即 bc＝a·b 2 ，所以 e＝c a ＝1 2.故选 B. 法二：设椭圆的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，由题意可取直线 l 的方程为 y＝ b a2－b2x＋b，椭圆中心到 l 的距离为b a2－b2 a ，由题意知b a2－b2 a ＝1 4 ×2b，即 a2－b2 a ＝1 2 ，故离心率 e＝1 2.] 2．(双曲线的离心率)设 F1 ，F2 分别是双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、 右焦点，M 为双曲线右支上一点，N 是 MF2 的中点，O 为坐标原点，且 ON⊥MF2,3|ON|＝2|MF2|，则 C 的离心率为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 B [连接 MF1(图略)，由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2a，因为 N 为 MF2 的中点，O 为 F1F2 的中点，所以 ON∥MF1，所以|ON|＝1 2|MF1|，因为 3|ON|＝2|MF2|， 所以|MF1|＝8a，|MF2|＝6a，因为 ON⊥MF2 ，所以 MF1 ⊥MF2 ，在 Rt△MF1F2 中， 由勾股定理得(8a)2＋(6a)2＝(2c)2，即 5a＝c，因为 e＝c a ，所以 e＝5，故选 B.] 3．(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为1 2 ，E 的 右焦点与抛物线 C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|＝( ) A．3 B．6 C．9 D．12 B [抛物线 C：y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x＝－2.从而椭圆 E 的半焦距 c＝2.可设椭圆 E 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，因为离心率 e＝c a ＝1 2 ， 所以 a＝4，所以 b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝2b2 a ＝2×12 4 ＝6.故选 B.] 直线与圆锥曲线的综合问题(5 年 5 考) [高考解读] 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线 与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基 本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养. 角度一：直线与圆锥曲线的位置关系 1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝2x，点 A(2,0)，B(－2,0)，过点 A 的直 线 l 与 C 交于 M，N 两点． (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. 切入点：①直线 l 过点 A；②l 与 C 交于 M，N 两点；③l 与 x 轴垂直． 关键点：将问题转化为证明 kBM 与 kBN 具有某种关系． [解] (1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x＝2，可得点 M 的坐标为(2,2)或(2， －2)．所以直线 BM 的方程为 y＝1 2x＋1 或 y＝－1 2x－1. (2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1 ，y1)，N(x2 ，y2)， 则 x1>0，x2>0. 由 y＝kx－2， y2＝2x 得 ky2－2y－4k＝0， 可知 y1＋y2＝2 k ，y1y2＝－4. 直线 BM，BN 的斜率之和为 kBM＋kBN＝ y1 x1＋2 ＋ y2 x2＋2 ＝x2y1＋x1y2＋2y1＋y2 x1＋2x2＋2 .① 将 x1＝y1 k ＋2，x2＝y2 k ＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4ky1＋y2 k ＝－8＋8 k ＝0. 所以 kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN. 综上，∠ABM＝∠ABN. 角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M(1，m)(m>0)． (1)证明：k<－1 2 ； (2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP → |＝|FA → | ＋|FB → |. 切入点：①直线 l 与椭圆 C 相交；②AB 的中点 M(1，m)． 关键点：根据FP →＋FA →＋FB →＝0 及点 P 在 C 上确定 m，并进一步得出|FP → |，|FA → |， |FB → |的关系． [证明] (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21 4 ＋y21 3 ＝1，x22 4 ＋y22 3 ＝1. 两式相减，并由y1－y2 x1－x2 ＝k 得x1＋x2 4 ＋y1＋y2 3 ·k＝0. 由题设知x1＋x2 2 ＝1，y1＋y2 2 ＝m，于是 k＝－ 3 4m. 由题设得 0

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