辽宁省大连海湾高级中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学（理）试卷

辽宁省大连海湾高级中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学（理）试卷

高三 数学(理科)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．‎ 考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．‎ ‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知表示虚数单位,则复数的模为 ‎ A. B. 1 C. D. 5‎ ‎3.数列是等差数列，，，则 ‎ A.16 B.-16 C.32 D.‎ ‎4．已知 ‎ A． B． C． D. ‎ ‎5.设为正实数，且满足，下列说法正确的是（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为2‎ C. 的最小值为4 D. 的最大值为 ‎6.两个非零向量，满足，则向量与的夹角为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道，则第一次用“调日法”后得的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数. 例如，.那么“”是“”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）‎ A. B.C. D.‎ ‎10.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（ ）‎ A．1 B．-5或3 C． D．-2‎ ‎11．球O与棱长为2的正方体的各条棱都相切，点M为棱的中点，则平面ACM截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为 ‎ A. B． C． D．‎ ‎12．已知偶函数满足 ‎，关于x的不等式上有且仅有200个整数解，则实数a的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置．‎ ‎13.命题“”的否定是__________________.‎ ‎14.设函数是定义在实数上不恒为的偶函数，且，则__________．‎ ‎15.已知，则__________．‎ ‎16．在锐角△ABC中， 分别为角A，B，C所对的边，满足的面积S=2，则的取值范围是____________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上是单调函数，求的最大值. ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知分别为三个内角的对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若为边上的中线，，‎ ‎，求的面积．‎ ‎19.(本小题满分12分)已知数列与满足。‎ ‎ （1）若，求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若且数列为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列也是等比数列；‎ ‎ （3）若且，数列有最大值M与最小值，求的取值范围。‎ ‎20.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.‎ ‎ (1)求证：EF⊥平面BCF；‎ ‎(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分)设函数．‎ ‎(1)若是函数的一个极值点，试求的单调区间；‎ ‎(2)若，是否存在实数a，使得在区间上的最大值为4?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．(本小题满分10分)在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为 ‎(为参数，)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若点P在直线l上，点Q在曲线C上，求的最小值．‎ ‎23．(本小题满分10分)已知函数，且关于x的不等式的解集为．‎ ‎(1)求实数a，b的值；(2)证明：．‎ 选择题：CADCB BCACD BA 填空题：13. 14.0 15. 16.( 8- 8 ,8 )‎ ‎17.解：（Ⅰ）‎ ‎.‎ 因为,‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）解法1：因为函数的增区间为.‎ 由，，‎ 所以，.‎ 所以函数的单调递增区间为，. ‎ 因为函数在上是单调函数，‎ 所以的最大值为. ‎ 解法2：因为，‎ 所以.‎ 因为是函数的增区间，‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以的最大值为. ‎ ‎18.（Ⅰ）∵，由正弦定理得：‎ ‎，即 ‎，化简得：，∴．在中，，∴，得．‎ ‎（Ⅱ）在中，，得，‎ 则，由正弦定理得．‎ 设，在中，由余弦定理得：，‎ 则，解得，即， ‎ 故．‎ ‎19.‎ ‎20.[解]　(1)证明：在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1，‎ ‎∵AB∥CD，∠BCD＝，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－‎ ‎2AB·BC·cos＝3.‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC.‎ ‎∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，‎ ‎∴AC⊥平面BCF.‎ ‎∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.‎ ‎(2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，‎ ‎∴＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)，‎ 设平面MAB的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则即 令x＝1，则n1＝(1，，－λ)，为平面MAB的一个法向量．‎ 易知n2＝(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，‎ 设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，‎ 则cosθ＝＝ ‎＝.‎ ‎∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，‎ ‎∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.‎ ‎21．解：（1）函数的定义域为（0,+∞）‎ ‎=‎ ‎∵x=1是函数的一个极值点，∴=0，即b=a+1………．2分 ‎=‎ ‎①当时，令>0得01，‎ 故f(x)的增区间为(0,1),减区间为（1,+∞）；……………………．3分 ‎②当时，令>0得0,令<0得10得01，令<0得 故的增区间为减区间……………………．．6分 ‎（2）当时，=‎ ‎∵,∴当，故为减函数 ‎∴当，最大值为,()中的较大者………………8分 设，‎ ‎<0，∴=1->0‎ 即在区间上为增函数，∴即>()‎ ‎∴,‎ 故存在实数,使得在区间上的最大值为4．…………………12分 ‎22．解：（1）由消去参数得：，‎ 直线的普通方程为．……………．2分 由消去参数得：，即：，‎ 化为极坐标方程为……………．．5分 ‎（2）因为圆心到直线的距离等于，且圆的半径等于，‎ 所以……………．．10分 ‎23．（1）解：由，‎ ‎ 且的解集为得：……………．5分 ‎（2）证明：‎ ‎ （当且仅当即时等号成立）‎ ‎ 故．…………．．10分