2019-2020学年吉林省吉林市朝鲜族四校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）
2019-2020学年吉林省吉林市朝鲜族四校高二上学期期末联考数学（理）试题
一、单选题
1．在数列2， 9， 23， 44， 72，…中，第6项是（ ）
A．82 B．107 C．100 D．83
【答案】B
【解析】根据数列每一项之间的关系确定第6项即可．
【详解】
解：，
，
，
，
设第6项为，
则，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查数列的概念和表示，利用后一项和前一项的差，得出相邻两项之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
2．若a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－a
b，则ac2>bc2 D．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】B
【解析】对于，，举反例即可判断，对于，根据不等式的性质即可判断．
【详解】
解：对于，例如，，，则不满足，故错误，
对于，若，则，则，成立，故正确，
对于，若，则不成立，故错误，
对于，例如，，，，则不满足，故错误，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.
3．设则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】等价于或，利用充分条件于必要条件的定义判断即可.
【详解】
因为等价于或，
所以能推出，不能推出，
则“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4．中，已知，则c等于（ ）
A．4 B．16 C．21 D．
【答案】A
【解析】根据面积公式可求得边．
【详解】
解：，
解得
故选：．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用，属于基础题．
5．双曲线－y2＝1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得、的值，进而由双曲线的几何性质可得的值，由离心率计算公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，双曲线的标准方程为：，
则其，，
故，
则其离心率；
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出、的值，属于基础题．
6．已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（ ）
A．非p是特称命题，且是真命题 B．非p是全称命题，且是假命题
C．非p是全称命题，且是真命题 D．非p是特称命题，且是假命题
【答案】A
【解析】直接利用特称命题与全称命题的定义以及命题的真假判断即可．
【详解】
解：由全称命题的否定是特称命题，可知
即非是特称命题，且是真命题，
例如：当时满足题意．
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假判断特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查，属于基础题．
7．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直接解出一元二次不等式的解集
【详解】
不等式，则
解得或
不等式的解集
故选
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的求解，利用因式分解结合其图像来求解，较为简单
8．已知为等差数列，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】在等差数列中，，利用公式直接求解即可.
【详解】
故选.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.
9．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A．k<1或k>3 B．11 D．k<3
【答案】B
【解析】由可得．
【详解】
由题意，解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程．方程，时，表示焦点在轴上椭圆，，表示焦点在轴上的椭圆．
10．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】根据余弦定理表示出，把，和的值代入即可求出的值，由的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的值．
【详解】
解：根据余弦定理得：
，
由，得到．
故选：．
【点睛】
本题考查了余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．
11．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
【答案】A
【解析】由抛物线的焦点坐标为，准线方程为可知，抛物线的焦点坐标为，故选A。
12．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A．y 2=－2x B．y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
【答案】C
【解析】试题分析：利用“直接法”。设圆心为（），由已知条件得，化简得y 2=－8x，故选C。也可利用抛物线的定义解答。
【考点】 本题主要考查抛物线的定义及求轨迹方程的直接法。
点评：本题解答思路明确，可选择不同解法，属基础题。
二、填空题
13．已知变量满足约束条件，则的最大值为_______________.
【答案】11
【解析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值
【详解】
解：画出可行域如图阴影部分，
由得
目标函数可看做斜率为的动直线，其纵截距越大，越大，
由图数形结合可得当动直线过点时，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题
14．观察下列的图形中小正方形的个数，猜测第n个图中有 个小正方形.
【答案】.
【解析】解：
解：由题意可得，f（1）=2+1
f（2）=3+2+1
f（3）=4+3+2+1
f（4）=5+4+3+2+1
f（5）=6+5+4+3+2+1
…
f（n）=（n+1）+n+（n-1）+…+1=(n+2)(n+1)/2=
15．在中，，最大边和最小边边长是方程的两实根，则边长等于__________.
【答案】7
【解析】由三角形内角和知不是此三角形的最大角也不是最小角．因此是方程的两实根，从而可得，再结合余弦定理可求得
．
【详解】
方程的两实根显然不相等，∴不是等边三角形，
∵，∴，不是最大角也不是最小角，∴最大边和最小边是．
∴是方程的两实根，∴，
，．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查余弦定理，解题关键是利用三角形内角和确定的角不是最大角也不是最小角，从而可得．
16．下列有关命题的说法正确的是__________________.
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0
②x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
④对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则非p：∀x∈R， 均有x2＋x＋1≥0
【答案】①②④
【解析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：①命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”，正确；
②若，则成立，即充分性成立；若，则或，此时不一定成立，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，正确；
③若为假命题，则、至少有一个为假命题，不正确
④对于命题使得，则，均有，正确．
故答案为：①②④
【点睛】
此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真假关系，特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题．
三、解答题
17．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程.
【答案】
【解析】将椭圆方程转化标准方程：，椭圆的焦点在轴，，设椭圆方程：，将代即可求得的值，即可求得椭圆方程．
【详解】
解：椭圆化成标准方程，得，
椭圆的焦点在轴，且，得，焦点为，．
所求椭圆经过点且与已知椭圆有共同的焦点，
设椭圆方程：，将代入，
解得：，
因此所求的椭圆方程为，
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点的求法，考查计算能力，属于中档题．
18．等差数列的前项和记为，已知．
（1）求通项；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）n=11.
【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，根据条件用基本量列方程求解即可；
（2）先求出，再令解方程即可.
试题解析：
1设等差数列的公差为，
由得方程组，解得
所以
2由得方程，
解得
19．已知中，a，b，c 为角A，B，C 所对的边，．
（1）求cos A的值；
（2）若的面积为，求b ，c 的长．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】试题分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sinB不为0求出cosA的值即可；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc=6，再利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出b+c=5，联立求出b与c的值即可．
试题解析：解：（1）由正弦定理得：
（2）由题意得：，即：
由余弦定理得：
联立上述两式，解得：或．
【考点】正弦定理．
20．已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】由,当时，；当时，，从而可得出结论；（2）由（1)可得，= =,利用“裂项相消”可求出数列的前项和.
【详解】
(1)当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=n2+2n-=2n+1.
当n=1时,也符合上式,
故an=2n+1.
（2）因为= =,
故Tn=
==.
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
21．在中，内角的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理把边的关系转化为角的关系，再由三角形中及三角函数的性质可求得．
（2）由正弦定理求得，为锐角，从而可得，这样可求得，然后可得面积．
【详解】
（1）由正弦定理及得，
为三角形内角，，∴，，∴；
（2）由得，
为锐角，∴，又，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式以及两角差的正弦公式等．考查的知识点较多，务必熟练掌握三角函数的公式，解题中根据条件选用恰当的公式运算求解．
22．已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
【答案】1；（Ⅱ）（，0）
【解析】（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e，由此求出椭圆的方程．（II）设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k≠0），联立方程，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0．由直线AB过椭圆的左焦点F，记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0），x1+x2，x0，垂直平分线NG的方程为y﹣y0，由此能求出点G横坐标的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e
解得：a，b＝1
故椭圆的方程为：1
（II）设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k≠0），
与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根．
记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）
则x1+x2
x0
垂直平分线NG的方程为y﹣y0，
令y＝0，得xG＝x0+ky0
．
∵k≠0，∴0
∴点G横坐标的取值范围为（，0）．
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理应用，解题时要注意合理地进行等价转化．
