2019-2020学年浙江省宁波市效实中学高二上学期期中考试数学(数理班)试题

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文档介绍

2019-2020学年浙江省宁波市效实中学高二上学期期中考试数学(数理班)试题

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分. ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共30分) ‎ 参考公式: ‎ ‎ 柱体的体积公式 ‎ ‎ 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高 锥体的体积公式 ‎ ‎ 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高 ‎ 球的表面积公式 ‎ 球的体积公式 ,其中表示球的半径 台体的体积公式 ‎ 其中,分别表示台体的上、下底面积, 表示台体的高 ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.空间中,已知是直线,是平面,且,则的位置关系是 ( )‎ ‎ A. 平行 B. 相交 C.异面 D.平行或异面 ‎2.已知椭圆的焦点在轴上,若其离心率为,则的值是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列命题不正确的是 ( )‎ A. 若,且,则 B. 若,且,则 C. 若直线直线,则直线与直线确定一个平面 D. 三点确定一个平面.‎ ‎4. 将半径为的圆形铁皮,剪去后,余下部分卷成一个圆锥的侧面,则此 圆锥的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为 的中点,则异面直线所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 如图所示,已知三棱台的体积为,其中,截去三棱锥,则剩余部分的体积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 有下列说法:‎ ‎①若,则与,共面;②若与,共面,则;‎ ‎③ 若,则 共面;④ 若共面,‎ 则. 其中正确的是 ( )‎ A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎8. 等腰梯形中,,沿对角线将平面 折起,折叠过程中,与夹角的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 从空间一点作条射线,使得任意两条射线构成的角均为钝角,最多为( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎10. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,中点为,若直线与直线AB的中垂线交于点,当最大时点的横坐标为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ 卷(非选择题 共70分)‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题4分,单空题每小题3分,共25分.‎ ‎11. 已知正方体中,,若,‎ 则 ▲ , ▲ .‎ ‎12. 已知球的表面积为,则它的半径等于 ▲ cm,它的内接长方体的表 正视图 ‎2‎ ‎2‎ 侧视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 俯视图 面积的最大值为 ▲ .‎ ‎13. 一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的 俯视图的面积为 ▲ ,体积为 ▲ .‎ ‎14.椭圆的弦的中点为点,‎ 则弦所在的直线方程为 ▲ ;点为椭圆上 的任意一点,为左焦点,则的取值范围 为 ▲ .‎ ‎15.直线与双曲线的左、右支分别交于两点,,为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为 ▲ .‎ ‎16. 平面//平面,直线,点与面夹角为,,与的夹角为,则与的夹角为 ▲ .‎ ‎17. 已知正方体的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ▲ .‎ 三、解答题:本大题共5小题,共45分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(本题共7分)已知椭圆焦点为,且过点,椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)求的内切圆方程.‎ ‎19. (本题共9分)在所有棱长都为的三棱柱中,‎ ‎,. ‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正切值. ‎ ‎20. (本题共9分)如图,四棱锥的底面是 边长为的正方形,四条侧棱长均为.点 ‎ 分别是棱上共面的四点,平面.‎ ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎(Ⅱ)若,且二面角大小为,‎ 求与平面所成角的正弦值.‎ ‎21. (本题共10分)如果四面体的四条高交于一点,则该点称为四面体的垂心,该四面体称为垂心四面体.‎ ‎(Ⅰ)证明:如果四面体的对棱互相垂直,则该四面体是垂心四面体;反之亦然.‎ ‎(Ⅱ)给出下列四面体 ‎①正三棱锥;②三条侧棱两两垂直;‎ ‎③高在各面的射影是所在面的垂心;‎ ‎④对棱的平方和相等.‎ 其中是垂心四面体的序号为 .(多选、少选或错选均扣分)‎ ‎22. (本题共10分)平面直角坐标系中,已知椭圆,抛物线的焦点是的一个顶点,设是上的动点,且位于第一象限,记在点处的切线为. (I)求的值和切线的方程(用表示)‎ ‎(II)设与交于不同的两点 ,‎ 线段的中点为,直线与过 且垂直于轴的直线交于点.‎ ‎(i)求证:点在定直线上;‎ ‎(ii)设与轴交于点,记 的面积为,的面积为,求 的最大值.‎ 高二期中考(数理班)数学参考答案 一.选择题 ‎1.D 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7. C 8.B 9.B 10. A 二.选择题 ‎ 11. 1,; 12. 1,8 ; 13. ;‎ ‎14. ;15. ; 16.; 17. .‎ 三. 解答题 ‎18. (Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)由,‎ 故内切圆半径,‎ 所以内切圆方程为:‎ ‎19. (Ⅰ)取BC中点D,由题设得均为等边三角形,‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎,‎ ‎20. (Ⅰ)平面,‎ 同理由 ‎(Ⅱ)取BC,AD的中点M,N,设,‎ ‎,‎ 又 ‎,‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. (Ⅰ)先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体.‎ 作,则 ‎,‎ ‎, ‎ ‎ 此时两条高线 ‎ ‎ 连接,下证 ‎ ‎ ‎. 连接 ‎ 综上可知,四条高线交于点,故该四面体为垂心四面体;‎ 反之,若该四面体为垂心四面体,即四条高线交于点. ‎ ‎,,,故,‎ 同理可证 ‎(Ⅱ)①②③④均符合要求.‎ ‎22.解:(I)由题意可得,抛物线的焦点F为,则,,直线方程为 (Ⅱ)(i)证明:设, ‎ 由点差法可得,, 即有,‎ 直线OD的方程为,当时,可得 即有点M在定直线上; (ii)直线l的方程为,令,可得 ,‎ 则 ‎ 则 令 ,‎ 则 当,即时,取得最大值
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