2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．如果，那么下列不等式成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
若，则，即，故错误；，故错误；在时，不成立，故错误；，故正确，故选D.
2．若x＞1，则有（ ）
A、最小值1 B、最大值1 C、最小值﹣1 D、最大值﹣1
【答案】A
【解析】
试题分析：若，则，当且仅当时，取等号．故有最小值为1．
考点：基本不等式．
【易错点睛】利用基本不等式求最值，前提各数均为正数，若两数都是负数，则乘以负一之后再利用基本不等式解决，不能确定正负时则需要进行分类讨论，利用基本不等式时，需要验证等号是否成立，连续使用基本不等式时，一定要保证等号的一致性，即最值能否取到，总之，利用不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件．
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
∴，
故选：A.
4．设，为常数,则的最小值是( )
A．4ab B．2(a2+b2)
C．(a+b)2 D．(a-b)2
【答案】C
【解析】
【分析】
把变形为，用基本不等式可以求的最小值.
【详解】
，
又，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为. 故选C.
【点睛】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
5．已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B子集的个数为( )
A．10 B．16 C．8 D．7
【答案】C
【解析】
因为A＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的个数为23＝8，故选C.
点睛：若集合有个元素，则的子集个数为，其中包括空集和集合本身．
6．若集合，且，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵
∴
∵集合
∴选项满足要求
故选A.
7．命题“若，都是偶数，则也是偶函数”的否命题是（ ）
A．若，都是偶数，则不是偶数
B．若，都不是偶数，则不是偶数
C．若，都不是偶数，则是偶数
D．若，不都是偶数，则不是偶数
【答案】D
【解析】
试题分析：条件和结论同时进行否定，则否命题为:若，不都是偶数，则不是偶数
考点：四种命题
8．若，，则是的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：因为得：，因此，反之不成立，所以是成立的充分不必要条件，由互为逆否命题的关系知，是的充分不必要条件，故选A．
考点：充分必要条件．
9．设命题p:函数y=2sin(x+π2)是奇函数；命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=π2对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真 B．¬q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真
【答案】C
【解析】
试题分析：因为y=2sin(x+π2)=2cosx是偶函数，所以命题p是假命题，由余弦函数的性质可知命题q是假命题，选项C正确.
考点：1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.
10．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解法求出集合B，由交集的运算即可求出。
【详解】
由，，知.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法以及交集的运算。
11．已知a,b为两个非零向量，设命题p:|a⋅b|=|a||b|，命题q:a与b共线，则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：由|a⋅b|=|a||b|⇔|a||b||cos
|=|a||b|⇔cos=±1⇔a//b，故是充要条件，故选C．
【考点】本题主要考查平面向量数量积与充分必要条件．
12．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真 B．￢q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真
【答案】D
【解析】
由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题
由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题
考查四个选项，C选项正确，
故选C
二、填空题
13．已知正四棱柱的底面边长为，高为，其所有顶点都在球的球面上，若该正四棱柱的侧面积为4，则球的表面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】
正四棱柱的侧面积为，体对角线长为外接球O的直径，所以
，所以，则球的表面积为，所以球的表面积的最小值为。
点睛：本题主要考查了正四棱柱的外接球的表面积和基本不等式的应用，属于中档题。应用基本不等式求球的表面积的最小值是解题的关键。
14．若，，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
当m=0时，符合题意。
当m≠0时,，则00，g(x)∈[5−2m,5+2m]，∴5−2m≤−1,5+2m≥3,解得m≥6；
③m<0，g(x)∈[5+2m,5−2m]，∴5+2m≤−1,5−2m≥3,解得m≤−3．
综上所述，m的取值范围为(−∞,−3]∪[6,+∞)．
考点：1.函数的零点；2.恒成立问题．
20．（本小题12分）已知函数
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）实数a的取值范围为[－8，0]；（3）实数m的取值范围为．
【解析】试题分析：（1）实为一元二次方程求解；（2）结合函数的图像，方程在上有实数根，需有求解即可；（3）若对任意的，总存在，使成立等价于函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．从而将问题转化为由集合间的关系求参数范围．
试题解析：（1）当时，方程为，
解得
（2）因为函数＝x2－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，
所以在区间[－1，1]上是减函数，
因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：
即，解得，
故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．…7分
（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．
＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g（x）＝mx＋5－2m的值域．
①当m＝0时，g（x）＝5－2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g（x）的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3] [5－m，5＋2m]，
需，解得m≥6；
③当m＜0时，g（x）的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3] [5＋2m，5－m]，
需，解得m≤－3；
综上，m的取值范围为．
考点：解一元二次方程；由有解问题求参数范围；由存在性、任意性求参数范围．
【方法点睛】由方程有解为条件求参数范围，常有两种方法：对于一元二次方程求参数范围，可考虑函数图像特征，由一元二次方程根的分布求解即可，如本题解法即是．对于任意方程有解求参数，常将参数移到一边，从而转化为函数值域问题．本题可另解，在上的值域即为所求．
21．21．(本小题满分16分，每小题8分)
解下列不等式：
(1) ； (2) log73x < log7(x2-4)．
【答案】（1）
（2） x>4
【解析】(1) 解：3x+1≥x-2，·················································································· 5分
．············································································ 8分
(2) 解：·················································································· 4分
分别得：x > 0；x <-2或x> 2；x <-1或x > 4，································ 6分
解得：x > 4．·········································································· 8分
22．某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．
（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；
（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．
【答案】（1）；（2）每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为.
【解析】
【分析】
（1）根据（利润）（总售价）（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.
【详解】
（1）因为每件产品售价为元，所以件产品售价为元；当时， ；当时，；
所以： ；
（2）当时，，当时有最大值；
当时，，取等号时，即时，有最大值；
且，所以当每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.
【点睛】
本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然后再比较每段最值的大小，取得最后的结果；运用基本不等式的时候，要注意取等号的条件.
