2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书:第二章第八讲 函数模型及其应用

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2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书:第二章第八讲 函数模型及其应用

第八讲 函数模型及其应用 ‎                   ‎ ‎1.[改编题]下列说法正确的是(  )‎ A.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大 B.不存在x0,使ax‎0‎‎<‎x‎0‎n1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度 D.“指数爆炸”是对指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)的增长速度越来越快的形象比喻 ‎2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )‎ x ‎1.992‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5.15‎ ‎6.126‎ y ‎1.517‎ ‎4.041 8‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ A.y=2x - 2 B.y=‎1‎‎2‎(x2 - 1) C.y=log2x D.y=log‎1‎‎2‎x ‎3.下列函数中,随着x的增大,y也增大,且增长速度最快的是(  )                  ‎ A.y=0.001ex B.y=1 000ln x C.y=x1 000 D.y=1 000·2x ‎4.某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如下表所示:‎ 销售单价/元 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 日均销售量/件 ‎400‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ 请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,则此商品的销售单价应为(  )‎ A.4 B.5.5 C.8.5 D.10‎ ‎5.[2017北京高考]根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(  )‎ ‎(参考数据:lg 3≈0.48)‎ A.1033 B.1053 C.1073 D.1093‎ 考法1 利用函数图象刻画实际问题 ‎1[2017全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图2 - 8 - 1所示的折线图.‎ 图2 - 8 - 1‎ 根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 根据折线图可知,2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少,所以A错误.‎ A ‎1.[2015北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.图2 - 8 - 2描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(  )‎ 图2 - 8 - 2‎ A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 考法2 已知函数模型求解实际问题 ‎2候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3Q‎10‎(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候耗氧量为30个单位,而耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.‎ ‎(1)求出a,b的值;‎ ‎(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?‎ ‎(1)根据已知列出方程组解方程组求a,b的值 ‎(2)由(1)列出不等式解不等式求Q的最小值 ‎(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog3‎30‎‎10‎=0,即a+b=0;‎ 当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则a+blog3‎90‎‎10‎=1,整理得a+2b=1.‎ 解方程组a+b=0,‎a+2b=1,‎得a=-1,‎b=1.‎ ‎ ‎(2)由(1)知,v=a+blog3Q‎10‎= - 1+log3Q‎10‎.‎ 所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v≥2,‎ 所以 - 1+log3Q‎10‎≥2,即log3Q‎10‎≥3,解得Q‎10‎≥27,即Q≥270.‎ 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.‎ ‎2. [2015四川高考]某食品的保鲜时间y(单位:时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 ‎   小时. ‎ 考法3 构造函数模型求解实际问题 命题角度1 构造一次函数、二次函数、分段函数模型 ‎3某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120‎6t吨(0≤t≤24).‎ ‎(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?‎ ‎(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.‎ ‎(1)根据题意,先设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,写出蓄水池中的存水量的函数表达式,再利用换元法求此函数的最小值即可;(2)根据题意列不等式求解.‎ ‎(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,‎ 则y=400+60t - 120‎6t,‎ 令‎6t=x,则x2=6t,即t=x‎2‎‎6‎,所以y=400+10x2 - 120x=10(x - 6)2+40,(构建二次函数)‎ 所以当x=6,即t=6时,y取得最小值,ymin=40,‎ 即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.‎ ‎(2)由(1)及题意得400+10x2 - 120x<80,即x2 - 12x+32<0,‎ 解得4200,即1.12x>‎2‎‎1.3‎⇒x>lg‎2‎‎1.3‎lg1.12‎‎=‎lg2-lg1.3‎lg1.12‎≈‎0.30-0.11‎‎0.05‎=3.8,所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.‎ B ‎5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:时)之间近似满足如图2 - 8 - 5所示的曲线. ‎ ‎(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f (t);‎ ‎(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.‎ ‎1.C 当x=2时,函数y=2x的函数值与y=x2的函数值相等,排除A;当a=x0=‎1‎‎2‎,n=‎1‎‎4‎时,不等式成立,排除B;“指数爆炸”是对指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)的增长速度越来越快的形象比喻,排除D.选C.‎ ‎2.B 由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.‎ ‎3.A 在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,当底数大于1时,底数越大,函数的增长速度就越快,故选A.‎ ‎4.C 由题意可设销售单价为x元,利润为y元,则y=(x - 3)[400 - 40(x - 4)]=40( - x2+17x - 42),故当x=8.5时,y取得最大值,故选C.‎ ‎5.D 因为lg 3361=361×lg 3≈361×0.48≈173,所以M≈10173,则MN≈‎10‎‎173‎‎10‎‎80‎=1093,故选D.‎ ‎1.D 对于A选项,从题图中可以看出乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米,所以A错误.对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车消耗汽油最少.对于C选项,甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80千米,消耗8 L汽油,所以C错误.对于D选项,最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以D正确.‎ ‎2.24 由题意得eb‎=192,‎e‎22k+b‎=48,‎即eb‎=192,‎e‎11k‎=‎1‎‎2‎,‎所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=‎(e‎11k)‎‎3‎·eb=(‎1‎‎2‎)3×192=24.‎ ‎3.(1)由图象可知,线段OA所在直线的方程是v=3t(0≤t≤10).‎ 当t=4时,v=12,所以s=‎1‎‎2‎‎×‎4×12=24. ‎ ‎(2)当0≤t≤10时,s=‎1‎‎2‎‎×‎t×3t=‎3‎‎2‎t2; ‎ 当100,‎得2≤x<6.所以y=BC+2x=‎18‎x‎+‎‎3x‎2‎≥2‎18‎x‎·‎‎3x‎2‎=6‎3‎,当且仅当‎18‎x‎=‎‎3x‎2‎,即x=2‎3‎时取等号.故所求防洪堤横断面的腰长为2‎3‎米.‎ ‎5.(1)由题图,设y=‎kt,0≤t≤1,‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎t-a,t>1.‎ 当t=1时,由y=4,得k=4,‎ 由(‎1‎‎2‎)1 - a=4,得a=3.所以y=‎‎4t,0≤t≤1,‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎t-3‎,t>1.‎ ‎(2)由y≥0.25得‎0≤t≤1,‎‎4t≥0.25‎或t>1,‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎t-3‎≥0.25,‎解得‎1‎‎16‎≤t≤5.‎ 故服药一次后治疗疾病有效的时间是5 - ‎1‎‎16‎‎=‎‎79‎‎16‎(时).‎
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