2017-2018学年河南省林州市第一中学高二10月月考数学（理）试题（火箭班）

2017-2018学年河南省林州市第一中学高二10月月考数学（理）试题（火箭班）

‎2017-2018学年河南省林州市第一中学高二10月月考火箭班 数学（理）试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)‎ A．3 B．3或 C. D.或 ‎2．已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为(　　)‎ A．f(x)＝x2－lnx B．f(x)＝xex C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝＋ ‎3．有4个命题：‎ ‎①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面； ②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；‎ ‎③若＝x＋y，则P、M、A、B共面； ④若P、M、A、B共面，则＝x＋y.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1　　　　　B．2 C．3 D．4‎ ‎4．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5．直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.若|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|的值为(　　)‎ A．a＋b B.(a＋b) C．ab D. ‎6．已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点且过点P作椭圆，当点P在半圆上移动时，椭圆的离心率有(　　)‎ A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 ‎7．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(0,3) B．(3，) C．(0,3)∪(，＋∞) D．(0,2)‎ ‎8．(2014·东北三校一模)已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P、Q两点，PQ 的垂直平分线交x轴于点M，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若|k1k2|＝，则椭圆的离心率e＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎10、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎11. 如图，过抛物线y2＝4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x－1)2＋y2＝1于A、B、C、D四点，则|AB|·|CD|＝(　　)‎ A．4 B．2 C．1 D. ‎12、抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.‎ ‎14、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线经过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2p，则双曲线的离心率为________．‎ ‎15、已知两点A(1,0)，B(b,0)，若抛物线y2＝4x上存在点C使△ABC为等边三角形，则b＝________.‎ ‎16．若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则a的取值范围是________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17（10分）．求两条渐近线为x＋2y＝0和x－2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为 的双曲线的方程．‎ ‎18（12分）、已知两个命题r(x)：sinx＋cosx＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)∧s(x)为假，r(x)∨s(x)为真，求实数m的取值范围．‎ ‎19（12分）、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．‎ ‎20（12分）、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎21（12分）. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.‎ ‎(1)证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；‎ ‎(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．‎ ‎22（12分）．已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.‎ ‎(1)若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；‎ ‎(2)设P为椭圆上一点，且＋＝λ(O为坐标原点)．求当|AB|<时，实数λ的取值范围．‎ ‎2016级高二火箭班10月调研考试 数学（理）答案 ‎1、答案　B 解析　若焦点在x轴上，则有∴m＝3.‎ 若焦点在y轴上，则有∴m＝.‎ ‎2、答案　D ‎3、答案　B 解析　①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．‎ ‎4、答案　B 解析　当x＝2，y＝－3，z＝2时， 即＝2－3＋2，‎ 则－＝2－3(－)＋2(－)，即 ＝－3＋2，根据共面向量定理，知P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理＝m＋n， 即－＝m(－)＋n(－)， 即＝(1－m－n)＋m＋n， 即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故是充分不必要条件．故选B.‎ ‎5、答案　D 解析　根据抛物线的定义，有|PF|＝|PR|，|QF|＝|QS|.易知△RFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PRSQ中，容易求得 |RS|＝2. 故|FM|＝|RS|＝.‎ ‎6、答案　D 解析　椭圆的离心率e＝ ‎≥＝，当|PA|＝|PB|时“＝”成立．故选D.‎ ‎7、答案　C 解析　当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当00，解得a>.‎ ‎17、答案　－y2＝1 解析　渐近线方程为y＝±x， 可设双曲线方程为－＝1，则 可得3x2－24x＋36＋4m＝0， ∴x1＋x2＝8，x1x2＝. 由弦长公式|AB|＝·，得 |AB|＝·. 又∵|AB|＝，∴m＝1. ∴双曲线方程为－y2＝1.‎ ‎18、∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－， ∴当r(x)是真命题时，m＜－.‎ 又∵对∀x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1＞0恒成立， 有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2. ∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2. 当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2＜m＜2，即－≤m＜2. 综上，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m＜2.‎ ‎19、答案　y2＝8x 解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 其准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＋|BF|＝8， 所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.‎ 因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，所以QA＝QB， 即(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y. 又y＝2px1，y＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. 因为x1≠x2，所以x1＋x2＝12－2p.‎ 故8－p＝12－2p.所以p＝4. 所以所求抛物线方程是y2＝8x.‎ ‎20、解析　(1)因为e＝＝＝， 所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1. 设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点， |PQ|2＝x2＋(y－2)2＝－2(y＋1)2＋6＋3b2≤6＋3b2，y∈[－b，b]， 由题设知存在点P1满足|P1Q|＝3，则9＝|P1Q|2≤6＋3b2，所以b≥1. 当b≥1时，由于y＝－1∈[－b，b]，此时|PQ|2取得最大值6＋3b2， 所以6＋3b2＝9⇒b2＝1，a2＝3.故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大． 假设存在满足条件的点M，因为直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d＝<1. 因为点M(m，n)在椭圆C上，所以＋n2＝1，与题意不符． 当AB的方程为y＝kx＋3时， 由题设可得A、B的坐标是方程组的解， 消去y，得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0. 所以Δ＝(6k)2－20(4＋k2)>0，即k2>5. 则x1＋x2＝，x1·x2＝， y1＋y2＝(kx1＋3)＋(kx2＋3)＝. 因为|AB|＝<， 所以·<， 解得－

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