湖北省襄阳市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖北省襄阳市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年上学期高二期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.过两点的直线的倾斜角是，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用直线的斜率的定义和公式可得，由此求得的值．‎ ‎【详解】解：过两点，的直线的倾斜角是，‎ ‎，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题．‎ ‎2.设是不同的直线，是两个不同的平面. 下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别由线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质可求解；‎ ‎【详解】解：：由线线平行，线面平行，面面垂直知正确；‎ ‎：若，，，则或或、是异面直线，故错误；‎ ‎，，，，则或，或，故错误；‎ ‎：若，，，则，或、是异面直线，故错误；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质，属于基础题。‎ ‎3.若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用直线平行的充要条件的应用求出直线的方程，进一步利用平行线间的距离公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：直线与直线平行，‎ 则，解得，‎ 当时，直线与直线重合，故舍去．‎ 当时，直线与直线平行，‎ 故两平行线间的距离．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，直线平行的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎4.向量，若，且，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出的值，再根据得出，列方程求出的值，即可计算的值．‎ ‎【详解】解：向量，若，‎ 则，解得；‎ 又向量，且，‎ 则，解得；‎ 所以．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．‎ ‎5.在一个平面上，机器人到与点的距离为8的地方绕点顺时针而行，它在行进过程中到经过点与的直线的最近距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离．‎ ‎【详解】解：机器人到与点距离为8的地方绕点顺时针而行，‎ 在行进过程中保持与点的距离不变，‎ 机器人的运行轨迹方程为，如图所示；‎ 与，‎ 直线的方程为，即为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 最近距离为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎6.圆的半径为4，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段 的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数形结合利用垂直平分线的定义得到动点到定点、的距离之和为定值4（大于两定点间的距离，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程．‎ ‎【详解】解：如图，直线为线段的垂直平分线，‎ 连接，由线段垂直平分线的性质得：，‎ 而半径，且、两点为定点，‎ ‎，‎ 由椭圆定义得：点轨迹是以、两点为焦点的椭圆，且，，‎ ‎，，，‎ 椭圆方程为：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．‎ ‎7.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.‎ 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,‎ 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎8.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心到距离为10，可得圆上的点到点的距离的最大值为11，再由，可得，可得，则答案可求．‎ ‎【详解】解：圆的圆心，半径为1，‎ 圆心到的距离为10，‎ 圆上的点到点的距离的最大值为11．‎ 再由可得，以为直径的圆和圆有交点，‎ 可得，故有，‎ 的最大值为11．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆上的点到点的距离的最大值是解题的关键，属于中档题．‎ ‎9.已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设向量，，；由此求出向量、，再设，列方程组求出、和即可．‎ ‎【详解】解：设向量，，；‎ 则向量，，‎ 又向量， ‎ 不妨设，‎ 则， ‎ 即，‎ 解得，‎ 所以向量在下的坐标为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．‎ ‎10.已知，从点射出的光线被直线反射后，再射到直线上，最后经反射后回到点，则光线所经过的路程是（ ）‎ A. B. 6 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求得和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程．‎ ‎【详解】解：点关于轴的对称点坐标是，设点关于直线的对称点 ‎，解得，，‎ 光线所经过的路程，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为的长度，属于中档题．‎ ‎11.已知点在椭圆上，点为平面上一点，为坐标原点，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 点在椭圆上，可得，为平面上一点，，根据柯西不等式得到，关系，代入即可．‎ ‎【详解】解：点在椭圆上，可得，‎ 为平面上一点，，‎ 所以，当且仅当时，取等号，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．‎ ‎12.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设，分析可得是圆与以为直径的两圆的公共弦，据此可得以为直径的圆的方程，又由圆的方程，分析可得直线的方程，变形可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，点为直线上一动点，则设，‎ ‎，是圆的切线，‎ ‎，，‎ 是圆与以为直径的两圆的公共弦，‎ 可得以为直径的圆的方程为，①‎ 又圆的方程为：，②，‎ ‎①②，得，‎ 即，则该直线必过点， ‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，根据平行四边形法则，对角线，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长．‎ ‎【详解】解：设，，，‎ 因为，‎ 所以 ‎，‎ 所以对角线．‎ 故答案为:．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．‎ ‎14.椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由椭圆的方程分析可得、的值，计算可得的值，由椭圆的定义可得的值，在△中，通过，，，由勾股定理分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，椭圆，‎ 其中，，‎ 则，‎ 点在椭圆上，若，则，‎ 在△中，，，，‎ 则，‎ 则有，‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的定义分析得到的值，是中档题．‎ ‎15.直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程可知直线恒过点，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出，再结合图形求出当直线经过点，时，实数的取值，即可的的取值范围．‎ ‎【详解】解：如图，‎ 由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方，‎ 直线恒过点，‎ 因为直线与曲线只有一个交点，‎ 由圆心到直线距离等于半径得，解得，‎ 由图，当直线经过点时，直线的斜率为，‎ 当直线经过点时，直线的斜率不存在，‎ 综上，实数的取值范围是，或，‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题 ‎16.在正方体中，分别为棱、的中点，为棱（含端点）上的任一点，则直线与平面所成角的正弦值的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面的法向量为，直线与平面所成角为，，因为，，所以当时，取到最小值，代入即可．‎ ‎【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，，‎ 则，0，，，，，，0，，，2，，‎ 设平面的法向量为，，，‎ ‎，‎ 由，，得，令，，故，0，，‎ 由，‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎，‎ 因为，，所以当时，‎ 的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.若直线的方程为.‎ ‎（1）若直线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.‎ ‎【答案】（1）1；（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线与直线垂直，可得，解得．‎ ‎（2）当时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）直线与直线垂直，‎ ‎，解得．‎ ‎（2）当时，直线化为：．不满足题意．‎ 当时，可得直线与坐标轴的交点，．‎ 直线在两轴上的截距相等，，解得：．‎ 该直线的方程为：，．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎18.椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，直线. ‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小，最小距离是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得，得椭圆的方程．‎ ‎（2）直线与椭圆相离，设直线，且直线与椭圆相切时，直线与椭圆的公共点到直线 的距离最小．‎ ‎【详解】解：（1）焦点在轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 椭圆的方程为：．‎ ‎（2）由图象可知，直线与椭圆相离，设直线，且直线与椭圆相切，‎ 则直线方程为：，‎ 联立 得，，‎ ‎，‎ ‎ 或，‎ 当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，‎ 此时直线，最小距离为．‎ ‎【点睛】考查椭圆标准方程以及最值，会用到转化思想，属于中档题．‎ ‎19.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点，动点满足. ‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）45.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入法求轨迹方程，设，根据题意得到方程。‎ ‎（2）由再转化代入求最大值 ‎【详解】（1）设，由题意可知 即 整理得，即为点的轨迹方程 ；‎ ‎（2），‎ 由（1）得：，将其代入上式得 ‎，‎ 又∵‎ ‎∴当时，最大，最大值为45.‎ ‎【点睛】本题考查了求轨迹方程，以及考查求最值，中档题．‎ ‎20.设圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为. ‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与圆交于两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）能，或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆心，，半径为，由垂径定理列关于与的方程，结合点在圆上联立求得与的值，则圆的方程可求；‎ ‎（2）设，，，是直线与圆交点，联立直线方程与圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可得的中点的坐标，假如以为直径的圆过原点，则，由此列式求解值，则直线的方程可求．‎ ‎【详解】（1）设圆心，半径为，由垂径定理得 且 解得，‎ ‎∴圆的方程为 ；‎ ‎（2）设是直线与圆的交点，‎ 将代入圆的方程得：‎ ‎∴，‎ ‎∴的中点为. ‎ 以为直径的圆能过原点，则，‎ ‎∵圆心到直线的距离为，‎ ‎∴. ‎ ‎∴，解得 ，‎ 经检验时，直线与圆均相交，‎ ‎∴的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，. ‎ ‎（1）若为棱的中点，求证：平面；‎ ‎（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取线段的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，建立分别以，，所在直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：取线段的中点，连接. ‎ 在中，为中位线 ‎∴且，‎ ‎∵且，‎ ‎∴且 ‎∴四边形为平行四边形. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面. ‎ ‎（2）解：如图所示以点为坐标原点，建立分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，‎ 于是 设平面的一个法向量为，则，‎ 将坐标代入并取，得. ‎ 另外易知平面的一个法向量为，‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎22.已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点. ‎ ‎（1）求椭圆的方程. ‎ ‎（2）过点作一条斜率存在的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线和圆相切的等价条件求出切线方程，即可得到结论；‎ ‎（2）设直线，．联立利用韦达定理，弦长公式可得．令，，利用基本不等式求最值即可 ‎【详解】（1）∵‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，即 ‎∴椭圆. ‎ ‎（2）设直线的方程为：，代入椭圆的方程为：‎ ‎，‎ 又 ‎∴，‎ 令，则 此时，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，三角形面积的最值，利用直线和椭圆的位置关系，联立方程组，利用设而不求思想结合直线和椭圆相交的弦长公式是解决本题的关键．‎ ‎ ‎