2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-9函数模型及其应用课件新人教B版
第九节
函数模型及其应用
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b
为常数
,a≠0)
反比例函数模型
f(x)= +b(k,b
为常数且
k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax
2
+bx+c(a,b,c
为常数
,a≠0)
指数函数模型
f(x)=ba
x
+c(a,b,c
为常数
,b≠0,a>0
且
a≠1)
对数函数模型
f(x)=blog
a
x+c(a,b,c
为常数
,b≠0,a>0
且
a≠1)
幂函数模型
f(x)=ax
n
+b (a,b
为常数
,a≠0)
2.
三种函数模型的性质
函数
性质
y=a
x
(a>1)
y=log
a
x(a>1)
y=x
n
(n>0)
在
(0,+∞)
上的增减性
单调
_____
单调
_____
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的
变化
随
x
的增大
,
逐渐表
现为与
____
平行
随
x
的增大
,
逐渐表
现为与
____
平行
随
n
值变化而各
有不同
值的比较
存在一个
x
0
,
当
x>x
0
时
,
有
log
a
x
0)
的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)
该函数在
(-∞
，
- ]
和
[
，
+∞)
上单调递增，在
[-
，
0)
和
(0
，
]
上
单调递减
.
(2)
当
x>0
时，
x=
时取最小值
2
，
当
x<0
时，
x=-
时取最大值
-2 .
【知识点辨析】
(
正确的打“
√”,
错误的打“
×”)
(1)
函数
y=2
x
的函数值比
y=x
2
的函数值大
. (
)
(2)“
指数爆炸”是指数型函数
y=a
·
b
x
+c(a≠0,b>0,b≠1)
增长速度越来越快的
形象比喻
. (
)
(3)
幂函数增长比直线增长更快
. (
)
(4)
不存在
x
0
,
使
(
)
提示
:
(1)×.
当
x=-1
时
,2
-1
<(-1)
2
.
(2)×.“
指数爆炸”是针对
b>1,a>0
的指数型函数
y=a·b
x
+c.
(3)×.
幂函数增长速度是逐渐加快的
,
当变量较小时
,
其增长很缓慢
,
题目说的太
绝对
,
也没有任何条件限制
.
(4)×.
当
a∈(0,1)
时存在
x
0
,
使
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
忽略图象的横纵坐标的意义
考点一、
T1
2
忽略图象的变化趋势
考点一、
T2
、
4
3
忽略函数的表示方法
(
列表
)
考点二、
T3
4
忽略自变量的取值
考点三、角度
1
5
忽略基本不等式成立的条件
考点三、角度
2
【教材
·
基础自测】
1
.(
必修
1P67
例
4
改编
)
某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示
,
则下列说法中错误的是
(
)
A.
收入最高值与收入最低值的比是
3∶1
B.
结余最高的月份是
7
月
C.1
至
2
月份的收入的变化率与
4
至
5
月份的收入的变化率相同
D.
前
6
个月的平均收入为
40
万元
【解析】
选
D.
由题图可知
,
收入最高值为
90
万元
,
收入最低值为
30
万元
,
其比是
3∶1,
故
A
正确
;
由题图可知
,7
月份的结余最高
,
为
80-20=60(
万元
),
故
B
正确
;
由题
图可知
,1
至
2
月份的收入的变化率与
4
至
5
月份的收入的变化率相同
,
故
C
正确
;
由
题图可知
,
前
6
个月的平均收入为
×(40+60+30+30+50+60)=45(
万元
),
故
D
错误
.
2.(
必修
1P69
习题
2-3AT7
改编
)
生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本
,
某
企业一个月生产某种商品
x
万件时的生产成本为
C(x)= x
2
+2x+20(
万元
).
一万件
售价为
20
万元
,
为获取更大利润
,
该企业一个月应生产该商品数量为
______
万件
.
【解析】
利润
L(x)=20x-C(x)=- (x-18)
2
+142,
当
x=18
时
,L(x)
有最大值
.
答案
:
18
3
.(
必修
1P120
巩固与提高
T9
改编
)
某动物繁殖量
y(
只
)
与时间
x(
年
)
的关系为
y=alog
3
(x+1),
设这种动物第
2
年有
100
只
,
则到第
8
年繁殖到
________
只
.
【解析】
依题设知
a
lo
g
3
3=100,a=100.
当
x=8
时
,y=100
lo
g
3
9=200.
答案
:
200
【核心素养】
数学建模
——
解决实际问题中的函数模型的应用
【素养诠释】
数学建模是对现实问题进行数学抽象
,
用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题
.
在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤
:
(1)
审题
:
弄清题意
,
分清条件和结论
,
理顺数量关系
,
初步选择函数模型
.
(2)
建模
:
将自然语言转化为数学语言
,
将文字语言转化为符号语言
,
利用数学知识
,
建立相应的函数模型
.
(3)
解模
:
求解函数模型
,
得出数学结论
.
(4)
还原
:
将数学结论还原为实际意义的问题
.
【典例】
牧场中羊群的最大蓄养量为
m
只
,
为保证羊群的生长空间
,
实际蓄养量不能达到最大蓄养量
,
必须留出适当的空闲量
.
已知羊群的年增长量
y
只和实际蓄养量
x
只与空闲率的乘积成正比
,
比例系数为
k(k>0).
(1)
写出
y
关于
x
的函数关系式
,
并指出这个函数的定义域
.
(2)
求羊群年增长量的最大值
.
(3)
当羊群的年增长量达到最大值时
,
求
k
的取值范围
.
【解析】
(1)
根据题意
,
由于最大蓄养量为
m
只
,
实际蓄养量为
x
只
,
则蓄养率为
故空闲率为 由此可得
(2)
由
(1)
知
即当 时
,y
取得最大值
(3)
由题意知为给羊群留有一定的生长空间
,
则实际蓄养量与年增长量的和小
于最大蓄养量
,
即
00,
所以
0
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