2017-2018学年河南省信阳高级中学高二上学期第一次月考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年河南省信阳高级中学高二上学期第一次月考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年河南省信阳高级中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）‎ ‎1．（5分）已知，是不共线的向量，=，=+（λ﹣1），且A，B，C三点共线，则λ=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．﹣1或2‎ ‎2．（5分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（　　）‎ A．＞ B．＞1 C．a2＜b2 D．ab＜a+b ‎3．（5分）设集合，则A表示的平面区域的面积是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎4．（5分）已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.4‎ ‎4.5‎ ‎4.6‎ ‎6.5‎ A．2.64 B．2.84 C．3.95 D．4.35‎ ‎5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎6．（5分）若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　）‎ A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）‎ ‎7．（5分）已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an=（　　）‎ A．2n B．2n+1 C．（）n D．（）n+1‎ ‎8．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为（　　）‎ A． B．8 C．16 D．10‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎11．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）平面上点O为坐标原点，A（0，2），B（1，0），C是平面上任意一点且满足，则C点坐标是　 　．‎ ‎14．（5分）若x，y满足约束条件则的取值范围为　 　．‎ ‎15．（5分）sin40°（tan10°﹣）=　 　．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}满足则{an}的通项公式　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．‎ ‎18．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎19．（12分）已知，函数f（x）=，△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．‎ ‎（1）若，b=1，求△ABC的面积S；‎ ‎（2）若0＜α＜，求cos2α的值．‎ ‎20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设Tn=+++…+，求证：Tn＜．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设π＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的首项，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前n项和为Sn．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省信阳高级中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）‎ ‎1．（5分）已知，是不共线的向量，=，=+（λ﹣1），且A，B，C三点共线，则λ=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．﹣1或2‎ ‎【分析】A，B，C三点共线，可得存在实数k使得=k，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴存在实数k使得=k，‎ ‎∴=k，‎ ‎，解得λ=﹣1或2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三点共线、方程思想方法、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（　　）‎ A．＞ B．＞1 C．a2＜b2 D．ab＜a+b ‎【分析】A．取a＜0，即可判断出正误；‎ B．取a＜0，即可判断出正误；‎ C．取a=﹣3，b=2，则a2＞b2，即可判断出正误；‎ D．由于a＜1，b＞1，可得（a﹣1）（b﹣1）＜0，化为ab＜a+b﹣1＜a+b，即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：A．取a＜0，不成立；‎ B．取a＜0，不成立；‎ C．取a=﹣3，b=2，则a2＞b2，因此不成立；‎ D．∵a＜1，b＞1，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，∴ab＜a+b﹣1＜a+b，因此成立．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设集合，则A表示的平面区域的面积是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，结合图形计算三角形的面积．‎ ‎【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，‎ 联立，‎ 得A（0，1），‎ 联立，‎ 得B（﹣1，﹣2），‎ 联立，‎ 得C（，﹣）；‎ ‎∴又直线x﹣y﹣1=0交y轴于点D（0，﹣1）‎ ‎∴不等式组表示的平面区域面积为 S=S△ABD+S△ACD=×|AD|×xB+×|AD|×xC=×2×1+×2×=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了不等式组表示平面区域以及三角形的面积公式与应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.4‎ ‎4.5‎ ‎4.6‎ ‎6.5‎ A．2.64 B．2.84 C．3.95 D．4.35‎ ‎【分析】根据表中数据，算出数据中心点的坐标，由数据中心点在回归直线上，代入回归直线方程即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：由已知中的数据可得：‎ ‎=×（0+1+3+4）=2，‎ ‎=×（2.4+4.5+4.6+6.5）=4.5；‎ 且数据中心点（2，4.5）在回归直线上，‎ ‎∴4.5=0.83×2+a，‎ 解得a=2.84．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了线性回归方程的应用问题，数据中心点在回归直线上是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得a4+a5=18，‎ 由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，‎ ‎∴S8===72‎ 故选：D ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　）‎ A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）‎ ‎【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位得y=cos 2（x+）=cos（2x+）的图象，‎ 令2x+=kπ，‎ 求得x=﹣，故平移后函数的对称轴为 x=﹣，k∈Z，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1‎ ‎，则数列{an}的通项公式an=（　　）‎ A．2n B．2n+1 C．（）n D．（）n+1‎ ‎【分析】设等比数列的首项为a1，公比为q，由题意列关于a1和q的方程组，求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：设等比数列的首项为a1，公比为q，‎ 由a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，得 ‎，解得：（舍），．‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式的求法，训练了方程组的解法，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知结合正弦定理可得，，然后利用余弦定理可得，cosB==﹣，可求B ‎【解答】解：∵asinA+csinC+asinC=bsinB，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ 由余弦定理可得，cosB==﹣‎ ‎∵0＜B＜π ‎∴B=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为（　　）‎ A． B．8 C．16 D．10‎ ‎【分析】先画出满足约束条件件 的平面区域，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可．‎ ‎【解答】解：满足约束条件件 的平面区域如下图所示：‎ 因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，‎ 由图得当为A点时取得目标函数的最大值，‎ 可知A点的坐标为（1，3），‎ 代入目标函数中，可得zmax=32+12=10．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎【分析】根据不等式f（x）＞0的解集得出x的取值范围，再由f（﹣x）＜0得出﹣x的取值范围，从而求出不等式f（﹣x）＜0的解集．‎ ‎【解答】解；由题意，不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），‎ 所以f（x）＜0的解是：x＞3或x＜﹣1，‎ 于是由f（﹣x）＜0得：﹣x＞3或﹣x＜﹣1，‎ 解得x＜﹣3或x＞1；‎ 所以不等式f（﹣x）＜0的解集是 ‎（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解集与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：设水深为x尺，‎ 则（x+1）2=x2+52，‎ 解得x=12，‎ 即水深12尺．‎ 又葭长13尺，‎ 则所求概率，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．‎ ‎【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，‎ ‎∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==1，‎ 整理得：m+n+1=mn≤，‎ 设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，‎ ‎∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，‎ ‎∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，‎ 解得：x≥2+2或x≤2﹣2，‎ 则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．‎ 故选D ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）平面上点O为坐标原点，A（0，2），B（1，0），C是平面上任意一点且满足，则C点坐标是　（1，2）　．‎ ‎【分析】由已知条件结合向量的加法运算，可求出，设C（x，y），A（0，2），即可求出C点坐标．‎ ‎【解答】解：由平面上点O为坐标原点，A（0，2），B（1，0），C是平面上任意一点，‎ 得=（0，﹣2）+2（1，0）+（﹣1，2）=（1，0），‎ 设C（x，y），A（0，2），‎ 则=（x，y﹣2）=（1，0），‎ ‎∴x=1，y=2．‎ 则C点坐标是：（1，2）．‎ 故答案为：（1，2）．‎ ‎【点评】本题考查了向量的加法及其几何意义，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若x，y满足约束条件则的取值范围为　　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组约束条件对应的平面区域如图：z=，‎ 则z的几何意义为区域内的点（﹣1，0）的斜率，‎ 由图象知z的最小为DA的斜率：，z的最大值为BD的斜率：=，‎ 则≤z≤2，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）sin40°（tan10°﹣）=　﹣1　．‎ ‎【分析】首先切化弦，然后通分变形为两角差的正弦公式，逆用化简求值．‎ ‎【解答】解：原式=sin40°（）=sin40°=2sin40°sin（10°﹣60°）==﹣=﹣1；‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；一般首先切化弦，然后配凑两角差的正弦公式，逆用化简公式求值．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知数列{an}满足则{an}‎ 的通项公式　　．‎ ‎【分析】根据所给的关系式，仿写一个有n﹣1项的关系式，注意这个关系式的条件是n大于1，两个式子相减得到只含有第n项的式子，整理出结果，注意对于首相的验证，写成分段形式．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足，①‎ ‎∴当n≥2时，仿仿写一个式子②‎ ‎①﹣②得，‎ ‎∴an=2n+1n≥2，‎ 当n=1时，a1=6，‎ ‎∴{an}的通项公式 an=‎ 故答案为：an=‎ ‎【点评】本题考查递推式，仿写是解决本题的关键，注意题目最后对于首项的验证，当首项符合通项时，直接写出通项就可以，当不符合时要写成分段形式．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：an=2Sn﹣1+1（n≥2），所以an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2），又因为a2=3a1，故{an}是等比数列，进而得到答案．‎ ‎（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为Tn．‎ ‎【解答】解：（1）因为an+1=2Sn+1，…①‎ 所以an=2Sn﹣1+1（n≥2），…②‎ 所以①②两式相减得an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2）‎ 又因为a2=2S1+1=3，‎ 所以a2=3a1，‎ 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列 ‎∴an=3n﹣1．‎ ‎（2）设{bn}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，‎ 故可设b1=5﹣d，b3=5+d，‎ 又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，‎ 所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，‎ 解得d1=2，d2=﹣10‎ ‎∵等差数列{bn}的各项为正，‎ ‎∴d＞0，‎ ‎∴d=2，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC＞0，可求tanB=1，根据范围B∈（0，π），可求B的值．‎ ‎（2）由余弦定理可得BC2=5﹣4cosD，由△ABC为等腰直角三角形，可求，S△BDC=sinD，由三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．‎ ‎∴有sinA=sinB（sinC+cosC），‎ ‎∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），‎ ‎∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，‎ 则cosB=sinB，即tanB=1，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴则．‎ ‎（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，‎ ‎∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，‎ 又∵，‎ 则△ABC为等腰直角三角形，，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 当时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知，函数f（x）=，△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．‎ ‎（1）若，b=1，求△ABC的面积S；‎ ‎（2）若0＜α＜，求cos2α的值．‎ ‎【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式；通过，b=1，结合正弦定理求解即可．‎ ‎（2）利用角的变换以及两角和与差的三角函数求解即可．‎ ‎【解答】解：，函数f（x）=，‎ ‎∴，‎ ‎（1）由，结合A，B，C为三角形内角得而．由正弦定理得，所以．‎ ‎（2）由时，，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设Tn=+++…+，求证：Tn＜．‎ ‎【分析】（1）首先利用赋值法求出数列的首项，进一步建立数列an﹣1和an间的联系；‎ ‎（2）利用叠乘法求出数列的通项公式．‎ ‎（3）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．‎ 令n=1时，2S1=3a1﹣1，‎ 解得：a1=1‎ 由于：2Sn=（n+2）an﹣1①‎ 所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②‎ ‎②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，‎ 整理得：，‎ 则：，‎ 即：．‎ ‎（2）由于：，‎ 则：，…，，‎ 利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得：，‎ 即：‎ 当n=1时，a1=1符合上式，‎ 所以数列的通项公式是：．‎ ‎（3）证明：由于：，‎ 所以：，‎ 则：=2（），‎ 所以：…+‎ ‎=+++…++）‎ ‎=2（）=．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：递推关系式的应用，利用叠乘法求出数列的通项公式，放缩法和裂项相消法的应用，主要考查学生的应用能力和运算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设π＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．‎ ‎【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．‎ ‎（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和．‎ ‎【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，‎ 根据==﹣，求得ω=2．‎ 再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．‎ ‎（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，‎ 由图可知，当﹣2＜m＜0或＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．‎ ‎∴m的取值范围为：﹣2＜m＜0或＜m＜2； ‎ 当﹣2＜m＜0时，两根和为； 当＜m＜2时，两根和为．‎ ‎【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的特征，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的首项，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前n项和为Sn．‎ ‎【分析】（1）把已知数列递推式两边取倒数，可得，又，得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列；‎ ‎（2）求出数列得通项公式，得到，进一步得到数列 的通项公式，然后利用数列的分组求和及错位相减法求解．‎ ‎【解答】（1）证明：∵，∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列；‎ ‎（2）解：由（1）得，，即，‎ ‎∴‎ 设，①‎ 则，②‎ 由①﹣②得：，‎ ‎∴．‎ 又．‎ ‎∴数列的前n项和．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和与数列的分组求和，是中档题．‎ ‎　‎