2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二上学期期中考试模拟数学（理）试题 解析版

2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二上学期期中考试模拟数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试模拟数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合M与集合N的公共元素构集合M∩N，由此利用集合M={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x<﹣1或x>2}，N={x|}，能求出M∩N．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合M={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x<﹣1或x>2}，‎ N={x|}，‎ ‎∴M∩N={x|2＜x}．‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集及其运算，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，是基础题．‎ ‎2．已知中，，则等于（ ）‎ A． B． 或 C． D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理可得出，结合即可得出最后结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，，∴或，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理解三角形的基本元素，在解题过程中注意出现两解的情形，属于基础题.‎ ‎3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2， ，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样可知抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，得，由，进而求解即可.‎ ‎【详解】‎ 若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，则需要分为组，每组20人，若第一组抽到的号码为，则以后每组有抽取的号码分别为，‎ 所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，‎ 此等差数列的通项公式为.‎ 由题意可知，落在区间[1521,2000]的有：.‎ 解得：.，所以 编号落入区间的有（人），‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. ‎ 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.‎ ‎4．已知等比数列中，，，则（ ）‎ A． 2 B． C． D． 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等比数列的性质得到和，再根据可求得的大小，解题时要注意对的符号的处理．‎ ‎【详解】‎ 由等比数列的性质可得，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴，‎ 又与和同号，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题时注意两点：一是注意等比数列中项的下标和性质的应用，应用时可简化运算，提高解题的速度．二是注意在等比数列中，下标为奇数的项与下标为偶数的项的符号分别相等，而奇数项和偶数项的符号不一定相同，这是在解题中容易出现错误的地方．‎ ‎5．设，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A． 若，，，则 B． 若，，，则 C． 若，，，则 D． 若，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．‎ ‎【详解】‎ 选择支C正确，下面给出证明．‎ 证明：如图所示：‎ ‎∵，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴．‎ 故C正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键.‎ ‎6．已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A． 5 B． 3 C． 1 D． -4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（2，﹣1）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．‎ 代入目标函数z=2x﹣y，‎ 得z=5．即z=2x﹣y的最大值为5．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎7．已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给条件有：以及求出所求角的余弦值，再根据余弦值即可求出向量之间的夹角．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以1﹣1××cos＜＞=0，‎ 解得cos＜＞=，即＜＞=45°，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积表示两个向量的夹角和数量积的相关运算．‎ ‎8．已知直线平行，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．‎ ‎【详解】‎ 当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；‎ 当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；‎ 当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，‎ ‎∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．‎ 综上可得：m=﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．‎ ‎9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为，高为，故三棱锥的外接球与以棱长为的正方体的外接球相同，由此可得结论 ‎【详解】‎ 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，‎ 底面是斜边上的高为的等腰直角三角形，‎ 与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为，高为，‎ 故三棱锥的外接球与以棱长为的正方体的外接球相同，其直径为，半径为 三棱锥的外接球体积为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题。‎ ‎10．执行如图所示的程序框图．如果输入，则输出的（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为输入，，.所以 第1步：，；‎ 第2步：，；‎ 第3步： ，；‎ ‎……‎ 以此类推，第2018步： ，，所以输出，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属基础题．‎ ‎11．已知数列的通项公式，则（ ）‎ A． 150 B． 162 C． 180 D． 210‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由通项公式，首先判断数列的单调性，去掉要求和式的绝对值，再进行计算。‎ ‎【详解】‎ 由对勾函数的性质可知：‎ 当时，数列为递减；当时，数列为递增。‎ 所以 ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=162‎ ‎【点睛】‎ 数列问题常见的方法和注意点：‎ ‎（1）求和常常要根据数列的通项公式的形式和特点，灵活选择方法，不可以用固定的思维模式去考虑问题。如含绝对值的求和问题的关键点在于先把绝对值去掉，再求和。‎ ‎（2）常见的求和方法有：倒序求和，错位相消，裂项法，分组求和法，公式法等。‎ ‎12．若的内角满足,则的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件求得cosC＜0，确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=﹣2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），化简得到tanC=﹣3tanA，将tanB化简为﹣tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=﹣3tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC中，∵sinA＞0，sinB＞0，∴=2cos（A+B）=﹣2cosC＞0，即cosC＜0，‎ ‎∴C为钝角，sinB=﹣2sinAcosC．‎ 又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC，即cosAsinC=﹣3sinAcosC，‎ ‎∴tanC=﹣3tanA，‎ ‎∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=≤=，‎ 当且仅当=3tanA时，即tanA=时取等号，‎ 则tanB的最大值为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．直线的倾斜角为________________.‎ ‎【答案】150°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．‎ ‎【详解】‎ 设直线x+y﹣2=0的倾斜角为α，‎ 由x+y﹣2=0，得：，‎ 故直线的斜率k=tanα=﹣，‎ ‎∵0°≤α＜180°，‎ ‎∴α=150°.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．‎ ‎14．已知等差数列的前项和为,若，则=____________.‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出公差d，由a8+a10=28求出公差d，求利用前n项和公式求解S9得答案．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的首项为a1=2，设公差为d，‎ 由a8=a1+7d，a10=a1+9d，‎ ‎∵a8+a10=28‎ 即4+16d=28‎ 得d=，‎ 那么S9==72．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．‎ ‎15．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，底面圆的直径为，故底面周长等于π，‎ 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，‎ 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，π=α，‎ 解得：α=，‎ 所以∠APB=，‎ 所以BC=．‎ ‎【点睛】‎ 考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．‎ ‎16．已知函数，若集合含有个元素，则实数的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），‎ ‎=2sin（ωx﹣），‎ 令2sin（ωx﹣）=﹣1，‎ 解得：，或（k∈Z），‎ 所以：或（k∈Z），‎ 设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第四个交点为A第五个交点为B，‎ 则：，．‎ 由于方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，‎ 则：xA＜π≤xB，‎ 即：，‎ 解得：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质及函数零点的应用．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若都是从集合中任取的一个数，求函数有零点的概率；‎ ‎（2）若都是从区间上任取的一个数，求成立的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知本题为古典概型的概率，计算基本事件数，‎ 求出“函数f（x）有零点”的概率值；‎ ‎（2）由题意知本题为几何概型的概率，计算对应区域的面积比即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）a，b都是从集合{0，1，2，3}中任取的一个数，‎ ‎∴本题为古典概型且基本事件总数为4×4=16个，‎ 设“函数f（x）有零点”为事件A，‎ 则A⇔△=a2﹣4b≥0，即a2≥4b，‎ 包含（0，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）7个基本事件，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵a，b都是从区间[0，3]上任取的一个数，‎ ‎∴本题为几何概型且所有基本事件的区域为如图所示矩形OABC，‎ 设“”为事件B，‎ 则事件B⇔f（1）=1﹣a+b＞0，即b＞a﹣1，‎ ‎∴B包含的基本事件构成的区域为图中阴影部分，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率与几何概型的概率计算问题，关键是区分两个概念，是综合题．‎ ‎18．已知直线l：‎ ‎1若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎2若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x﹣2y+4=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意，从而可解得k的取值范围；‎ ‎（2）依题意可求得A（﹣，0），B（0，1+2k），S=（4k++4），利用基本不等式即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：k≥0‎ ‎（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：﹣，在y轴上的截距为1+2k，‎ ‎∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，‎ ‎∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时取等号，‎ 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0‎ ‎【点睛】‎ 本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎19．在△中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内角和定理，化简即可求出结果.‎ ‎（2）根据同角三角关系，确定和，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定；再利用正弦定理确定，进而由即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，由余弦定理，得 ‎，所以，‎ 由正弦定理，得， ‎ 又，，‎ 所以，， ‎ 所以 ． ‎ ‎（2）由，，得，， ‎ 所以， ‎ 由正弦定理，得 ‎， ‎ 所以△的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；‎ 第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.‎ ‎20．如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点.‎ ‎(1)求证:MN∥BC;‎ ‎(2)若M,N分别为PB,PC的中点,‎ ‎①求证:PB⊥DN;‎ ‎②求直线AM和直线CD所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）略；（2）①略；②;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）推导出BC∥AD，从而BC∥平面ADNM，由此能证明MN∥BC．‎ ‎（2）①推导出PB⊥MA，DA⊥AB，从而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能证明PB⊥DN．‎ ‎②以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值 ‎【详解】‎ 证明：（I）因为底面ABCD为直角梯形，所以BC∥AD．‎ 因为BC⊄平面ADNM，AD⊂平面ADNM，‎ 所以BC∥平面ADNM． ‎ 因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，‎ 所以MN∥BC．‎ ‎（2）①因为M，N分别为PB，PC的中点，PA=AB，‎ 所以PB⊥MA． ‎ 因为∠BAD=90°，所以DA⊥AB．‎ 因为PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．‎ 因为PA∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA． ‎ 因为AM∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，‎ 因为DN⊂平面ADNM，所以PB⊥DN．‎ ‎②如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．M（1，0，1）‎ ‎=（1，0，1）， ‎ 所以cos＜＞===．‎ 所以直线AM和直线CD所成角的余弦值为． ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线平行、线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎21．已知数列满足 ，且，．‎ ‎⑴求数列的前三项，，；‎ ‎⑵数列为等差数列，求实数的值；‎ ‎⑶求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），，；（2）；（3）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，直接求得的值，然后求出的值；‎ ‎（2）通过数列为等差数列，按照等差数列的定义，公差是常数，可求得的值；‎ ‎（3）利用（2），求出通项公式，然后通过乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和．‎ ‎【详解】‎ ‎⑴由 ，且得 ‎ ，得 同理，得，‎ ‎⑵对于，且， ‎ ‎∵ ‎ 又数列为等差数列，‎ ‎∴ 是与无关的常数，‎ ‎∴ ，‎ 解得． ‎ ‎⑶由⑵知，等差数列的公差为1，‎ ‎ ∴，‎ 得． ‎ ‎∴‎ ‎ ，‎ ‎ 记，‎ 则有，‎ 两式相减，得 ‎ ‎ ‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等．‎ ‎22．已知圆,直线 ‎（1）若直线与圆相交于两点，弦长等于，求的值；‎ ‎（2）已知点，点为圆心，若在直线上存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数．‎ ‎【答案】(1) 或；(2)在直线上存在定点，使得为常数．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）圆心C（4，1）到直线l的距离d=．根据d2+=22‎ ‎，解得d．即可得出m．‎ ‎（2）由题知，直线MC的方程为：x=4，假设存在定点N（4，t）满足题意，设P（x，y），=λ，得|PM|2=λ2•|PN|2（λ＞0），且（x﹣4）2=4﹣（y﹣1）2，整理得：[（2﹣2t）λ2+8]y+（3+t2）λ2﹣28=0，由于上式对于任意y∈[﹣1，3]恒成立，可得（2﹣2t）λ2+8=0，且（3+t2）λ2﹣28=0，解得t与λ．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆心C（4，1）到直线l的距离d==．‎ ‎∵d2+=22，解得d=1．‎ ‎∴=1．‎ 平方化为：m（3m+1）=0，‎ 解得m=0或m=﹣．‎ ‎（2）由题知，直线MC的方程为：x=4，假设存在定点N（4，t）满足题意，‎ 设P（x，y），=λ，‎ 得|PM|2=λ2•|PN|2（λ＞0），且（x﹣4）2=4﹣（y﹣1）2，‎ ‎∴4﹣（y﹣1）2+（y﹣5）2=4λ2﹣λ2（y﹣1）2+λ2（y﹣t）2，‎ 整理得：[（2﹣2t）λ2+8]y+（3+t2）λ2﹣28=0，‎ 由于上式对于任意y∈[﹣1，3]恒成立，‎ ‎∴（2﹣2t）λ2+8=0，且（3+t2）λ2﹣28=0，‎ 解得：t2﹣7t+10=0，‎ ‎∴t=2，或t=5（舍去，与M重合），‎ λ2=4，λ＞0，解得λ=2．‎ 综上可知，在直线MC上存在定点N（4，2），使得为常数2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎