2019-2020学年江苏省扬州大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省扬州大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省扬州大学附属中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由交集的定义，结合集合A,B，即可写出.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以B中整数有0,1,2，又，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，掌握集合交集的定义是解题的关键，属于简单题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】开偶次方根，被开方数要非负，求函数的定义域，只需要解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，只需，，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求已知函数的定义域，难度较易.常见函数求定义域需要注意：分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零、对数的真数大于零、中.‎ ‎3．终边在直线上的角的取值集合是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在到内终边在直线上的角是，由终边相同的角的表示方法可得出终边在直线上的角的集合,可得解.‎ ‎【详解】‎ 当的终边在直线（）时， ，，‎ 当的终边在直线（）时，，，所以角的取值集合是 ‎=，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同的角的表示方法，掌握终边相同的角的表示是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）．‎ A．48 B．24 C．12 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为扇形的弧长l＝3×4＝12，则面积S＝ ×12×4＝24，选B.‎ ‎5．已知函数则的值是(　　)‎ A．0 B．1 C． D．－‎ ‎【答案】C ‎【解析】先确定函数自变量的取值范围再代入分段函数解析式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵.‎ ‎∴，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6．设为偶函数，且当时，，则当时，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由为偶函数，则，结合已知，即可求出时函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ 因为为偶函数，所以，因为时，，所以 时，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式;(5)由函数的奇偶性，求分段函数的解析式.‎ ‎7．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；‎ ‎②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；‎ ‎③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；‎ ‎④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；‎ 综上所述，可选的序号为②③，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.‎ ‎8．函数的零点所在区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．‎ ‎【详解】‎ ‎∵连续减函数，‎ ‎∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，‎ ‎∴函数的零点所在的区间是 （3，4），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．‎ ‎9．已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过，得出和异号，观察图像可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 和异号，‎ 由为奇函数如图 可得：‎ 当，，‎ 当，，‎ 所以不等式的解集为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．‎ ‎10．若方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，则实数的取值范围是（ ）‎ A．（3，4） B．（2，3） C．（1，3） D．（1，2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据二次函数图像列不等式，通过解一元二次不等式可解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，所以①当时，，，；‎ ‎②令，，方程另一解为，不适合；‎ ‎③令，，方程另一解为，不适合.‎ 综上的取值范围是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据二次函数零点分布求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11．已知函数，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过讨论和1的关系，即可去绝对值，再结合等式即可得到，代入即可求值.‎ ‎【详解】‎ 因为，若，所以，，即，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数函数的图像，考查函数的图像和单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）‎ A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】由值域可求得所有可能的取值；则定义域中元素分别为个，个和个，列举出所有可能的结果即可求得个数.‎ ‎【详解】‎ 由得：；由得：‎ 所求“孪生函数”的定义域分别为：，，，，，，，，‎ 共有个“孪生函数”‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义的问题，涉及到函数定义域的求解；易错点是将值域误认为是无限集，造成求解错误.‎ 二、填空题 ‎13．的值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】直接利用对数指数运算法则得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数对数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14．幂函数的图象过点（4，2），则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先设出幂函数的解析式，代入点(4,2),进而求出解析式，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，因为的图象过点（4，2），所以，，‎ ‎，所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的求值，形如的函数是幂函数，注意幂函数的系数为1，考查了运算求解能力.‎ ‎15．当且时，函数的图象一定过点______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据指数函数的性质可知，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以函数的图象一定过点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的概念和性质，注意到是解本题的关键，属基础题.‎ ‎16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由函数的单调性的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，因为函数在上单调递减，则.‎ ‎∴‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点两函数的单调性与整体保持一致.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），或;（2）.‎ ‎【解析】(1)由补集的定义和集合，即可求出和；(2)由，可知集合是的子集，分两种情况：和，分别讨论即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，或 ；‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 因为，所以时，，得；‎ 时，，‎ 综上的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性并证明；‎ ‎（2）解方程.‎ ‎【答案】（1）为奇函数;（2）‎ ‎【解析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于的不等式组，求解即可得函数的定义域关于原点对称，由函数的解析式和奇偶性的定义即可确定函数的奇偶性;‎ ‎（2） 根据题意结合对数函数的单调性,解方程进行求解，即可得出方程的解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为奇函数.‎ 使函数有意义，只需，，，‎ 由，得，所以为奇函数.‎ ‎（2），，，，，检验知适合，所以原方程的解为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的相关知识，掌握对数函数真数大于零以及对数函数的单调性，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎19．已知二次函数的最大值为-2，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为-6，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）;（2）或 ‎【解析】（1）由等式可得出函数的对称轴，设出二次函数的解析式，由最大值为-2，即可求得解析式；‎ ‎（2）由（1）的结论，讨论对称轴和a,a+1的关系，结合最大值为-6，即可求得实数a的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，可知函数的对称轴为，设，，因为，所以，‎ ‎，所以；‎ ‎（2）因为在区间上的最大值为-6，最大值没有在顶点处取到，‎ 所以①时，在区间上递减，，‎ 所以，，（舍），得；‎ ‎②时即时，在区间上递增，，所以，，（舍），得；‎ 时，不适合条件.‎ 综上或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的解析式以及二次函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20．某市今年出现百年不遇的旱情，市自来水厂观察某蓄水池供水情况以制定未来12小时的供水措施.现发现某蓄水池中有水450吨，水厂每小时可向蓄水池中注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，小时内供水量为，假设蓄水池容量足够大，现在开始向水池注水并向居民小区供水.‎ ‎（1）请将蓄水池中存水量S表示为时间的函数；‎ ‎（2）根据蓄水池使用要求，当蓄水池水量低于60吨时，蓄水池必须停止供水.请你判断该居民小区是否会停水，阐述你的理由.‎ ‎【答案】(1)，其中.‎ ‎(2) 小区在要停水 ‎【解析】（1）设t小时候水池中存水量为S吨，利用题设条件能将S表示为时间t的函数；‎ ‎（2）令，解不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由开始时蓄水池中有水450吨，又水厂每小时可向蓄水池中注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，小时内供水量为，所以经过t小时蓄水池中存水量 ‎，其中.‎ ‎（2）由（1）令，，，‎ ‎，又，所以，‎ 所以小区在要停水.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的应用，考查了建模能力和一元二次不等式的解法，属于中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）试判断并证明函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数在区间上是增函数 ‎(2) ‎ ‎【解析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性； （2）利用换元法，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数在区间上是增函数.‎ 设，，，由，‎ 得，‎ 因为，所以，得，，‎ 所以函数在区间上是增函数.‎ ‎（2）由（1）知在区间上是增函数,，，‎ 又，所以为偶函数，所以在的值域为.‎ 因为对任意恒成立，，‎ ‎，令，‎ 所以不等式在恒成立，，‎ 由在递减，所以，所以，故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了二次函数的最值，解题的关键是确定函数的单调性，从而确定参数的范围，属于中档题．‎ ‎22．已知函数，若对于给定的正整数，在其定义域内存在实数，使得，则称此函数为“保值函数”.‎ ‎（1）若函数为“保1值函数”，求；‎ ‎（2）①试判断函数是否是“保值函数”，若是，请求出；若不是，请说明理由；‎ ‎②试判断函数是否是“保2值函数”，若是，求实数的取值范围；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）①函数不是“保值函数”‎ ‎②当时函数是“保2值函数”；‎ 当时函数不是“保2值函数”.‎ ‎【解析】（1函数为“保1值函数”，列方程即可求解；（2）①由“保值函数”的定义，转化为二次函数是否有解问题，即可进行判断；②由题意可得，再由，解不等式即可进行判断.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为函数为“保1值函数”，所以存在使，‎ ‎，，.‎ ‎(2) ①若函数是“保值函数”，则存在实数，使得，，，时，方程无解；时，与不符.‎ 综上，函数不是“保值函数”.‎ ‎②若函数是否是“保2值函数”，则在其定义域内存在实数，使得，即，即 ‎，‎ 可得，化简可得，由，解得，‎ 故当时，函数是“保2值函数”，又，所以当时函数不是“保2值函数”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的新定义等综合知识，考查了二次函数有解问题，考查指数非负，求解一元二次不等式问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题.‎