四川省泸县第二中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学（理）试题

四川省泸县第二中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第二中学高二第一学月考试 理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．直线的倾斜角是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“”的否定是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知命题“设、、，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为4，则 A．6 B．‎8 ‎C．12 D．16‎ 6． 若圆的半径为，则实数 A． B．‎-1 ‎C．1 D．‎ ‎7．已知圆，圆，则圆和圆的位置关系为 A．相切 B．内含 C．外离 D．相交 ‎8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则锐角的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积 A． B． C． D．‎ ‎11．若点（m，n）在椭圆9x2+y2＝9上，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为左顶点，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则该双曲线的离心率是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．不等式的解集用区间表示为______.‎ ‎14．抛物线的焦点坐标是___________．‎ ‎15．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9，那么点到另一个焦点的距离等于_____.‎ ‎16．已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为__________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）给定如下两个命题：命题“曲线是焦点在轴上的椭圆，其中为常数”；命题“曲线是焦点在轴上的双曲线，其中为常数”．已知命题“”为假命题，命题“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（III）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.‎ ‎19．（12分）已知动点到定点的距离比到定直线的距离小，其轨迹为.‎ ‎（I）求的方程 ‎（II）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.‎ ‎20．（12分）足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：‎ 年份x ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 足球特色学校y（百个）‎ ‎0.30‎ ‎0.60‎ ‎1.00‎ ‎1.40‎ ‎1.70‎ ‎（I）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.‎ ‎（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较）：‎ ‎（II）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.‎ 参考公式和数据：，‎ ‎，.‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点．‎ ‎（I）证明：直线∥平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有，求a的取值范围．‎ ‎2020年春四川省泸县第二中学高二第一学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1．C 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 11．D 12．B ‎13． 14． 15．3或15 16．‎ ‎17．若命题为真命题，则，若命题为真命题，则，‎ 由题知与一真一假，若真假，则，此时无解.‎ 若假真，则，得，‎ 综上：实数的取值范围是．‎ ‎18：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，‎ 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．‎ ‎（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．‎ 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 ‎300 000×0.12="36" 000．‎ ‎（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，‎ 所以2.5≤x<3．‎ 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ ‎19．解：（1）由题意知，动点到与定直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线的方程为：.‎ ‎（2）由题意知直线存在斜率，设直线的方程为，，，中点，‎ 则由得，‎ 所以，，‎ 则线段的中垂线的方程为，则，‎ 又，即，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎20．（1）由题得 所以，‎ y与x线性相关性很强.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，‎ 关于的线性回归方程是.‎ 当时，，即该地区2020年足球特色学校有244个.‎ ‎21．(1)取的中点,连,是的中点, ‎ ‎,又 四边形是平行四边形 ‎∥又平面,平面 ‎ ‎∥平面 ‎(2)在平面内作于,不妨令,则 由是等边三角形,则,为的中点,‎ 分别以、所在的直线为轴和轴,以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系, ‎ 则,,,‎ ‎,, ‎ 设平面的法向量为,平面的法向量为,‎ 则 则 ‎ 则 ‎ 经检验,二面角的弦值的大小为 ‎22．（1）设为短轴的两个三等分点，为正三角形，‎ 所以，，解得．，所以椭圆方程为．‎ ‎（2）设 ‎（ⅰ）当直线与轴重合时，‎ ‎．‎ ‎（ⅱ）当直线不与轴重合时，设直线的方程为：‎ 整理得 因恒有，所以恒为钝角，‎ 即恒成立．‎ 又，所以对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 当时， 最小值为0，所以，，‎ 因为，即，解得或（舍去），‎ 即，综合（i）（ii），的取值范围为．‎