内蒙古第三中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题

内蒙古第三中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题

北重三中2018～2019学年度第一学期 高二年级期中考试数学试题（文科）‎ 第一部分 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知变量和满足关系，变量与正相关． 下列结论中正确的是（ ）‎ A. 与负相关，与负相关 B. 与正相关，与正相关 C. 与正相关，与负相关 D. 与负相关，与正相关 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为变量和满足关系，一次项系数为，所以与负相关；变量与正相关，设，所以，得到 ，一次项系数小于零，所以与负相关，故选A.‎ ‎2. 阅读边的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c 分别是（ ）‎ A. 32、21、75 B. 21、32、75‎ C. 75、21、32 D. 75、32、21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 程序执行，输出的a的值是原来c的值，输出的b的值是原来a的值，‎ 输出的c的值是原来b的值.所以输出的结果为75,21,32.应选C ‎3.设复数z满足=i，则|z|=（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，所以，故选A.‎ 考点：复数的运算与复数的模.‎ ‎4.重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：‎ 则这组数据的中位数是 (　　)‎ A. 19 B. 20‎ C. 21.5 D. 23‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题已知茎叶图，读取数据共有12个，中位数为；20,20；则可得：‎ 考点：中位数的概念.‎ ‎5.设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（ ）‎ A. 原点在圆上 B. 原点在圆外 C. 原点在圆内 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：将原点坐标代入圆的方程得：，（因为），所以原点在圆外，故选B.‎ 考点：点与圆的位置关系.‎ ‎6.某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：‎ ‎ ‎ 高一年级 ‎ 高二年级 ‎ 高三年级 ‎ 跑步 ‎ a ‎ b ‎ c ‎ 登山 ‎ x ‎ y ‎ z ‎ 其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取(　)．‎ A. 36人 B. 60人 C. 24人 D. 30人 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36.‎ ‎7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）‎ 表1‎ 表2‎ 成绩 不及格 及格 总计 视力 好 差 总计 性别 性别 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ 表4‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，得到答案.‎ 详解】计算得到：；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎；故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎8.在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：在上符合的区间为,因为区间的区间长度为且区间的区间长度为,所以根据几何概型的概率计算公式可得,故选B.‎ 考点：几何概型 ‎9.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）‎ A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由样本的数字特征一一排除即可．‎ ‎【详解】A样本数据为：42,43,46,52,42,50，其平均数为：，众数为：42，中位数为：，‎ 由题可得，B样本数据为：34,35,38,44，34,42，其平均数为：，众数,34，中位数：，‎ 所以A、B两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，属于基础题．‎ ‎10.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则所得到的统计学结论是：有（ ）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．‎ P（k2≥k0） ‎ ‎0.100 ‎ ‎0.050 ‎ ‎0.025 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.001 ‎ k0 ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎10.828 ‎ A. 0.1‎‎% B. 1% C. 99% D. 99.9%‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据，所以犯错误率低于，所以应该有的把握，认为“学生性 别与支持该活动有关系” ，故选C．‎ 考点：独立性检验．‎ ‎11. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：样本中心点坐标为，所以，所以回归直线方程为，经验证可知有个点位于回归直线左下方，其概率为，故选B.‎ 考点：回归直线方程.‎ ‎12.已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，计算，，得到，得到答案.‎ ‎【详解】，则，（），画出图像，如图所示：‎ ‎，故，作，故，‎ 故，故直线的倾斜角为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据直线和半圆关系求倾斜角，画出图像是解题的关键.‎ 第二部分 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.为了解名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔为_______; ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：抽样间隔为,故填.‎ 考点：系统抽样.‎ ‎14.经过点，且圆心是两直线与的交点的圆的方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与的交点为，设圆方程为，计算得到答案.‎ ‎【详解】直线与的交点为，设圆方程为，‎ 代入点，得到，故圆方程为.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第 个图形中小正方形的个数是___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 根据图像得到当 时，个数为 ，当 时，个数为 ‎ 当时，个数为 .当 时，个数为 ‎ 综上归类为.‎ 故答案为.‎ ‎16.已知复数，且，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数z的几何意义以及的几何意义，由图象得出最大值.‎ ‎【详解】复数且，复数z的几何意义是复平面内以点为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率 由图可知：‎ 即的最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17.一个袋中装有四个形状大小完全相同球，球的编号分别为1，2，3，4.‎ ‎（1）从袋中随机取两个球，写出所有的基本事件；‎ ‎（2）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.‎ ‎【答案】（1）基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接写出基本事件得到答案.‎ ‎（2）满足条件有2种，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.‎ ‎（2）从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个.因此所求事件的概率.‎ ‎【点睛】本题考查了基本事件，概率的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.已知圆，直线.‎ ‎（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）圆的圆心半径，由直线与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出的值．‎ ‎（2）直线与圆相交于、两点，且时，，再由圆心到直线的距离，列出方程，求出，由此能求出直线方程．‎ ‎【详解】解：将圆C的方程配方得标准方程为，‎ 则此圆的圆心为，半径为2.‎ ‎（1）若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离等于2，‎ 即：，； ‎ ‎（2）直线l与圆C相交于A，B两点，且，‎ 圆心到直线的距离，‎ 而，即，‎ 或7. ‎ 故所求直线方程为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长以及直线方程和点到直线的距离公式的应用，同时考查学生运算求解能力．‎ ‎19.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)‎ ‎（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，‎ 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为………8分 ‎（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;‎ 受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为 考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型.‎ ‎【名师点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.‎ ‎20.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.‎ ‎（1）请完成上面的列联表;‎ 优秀 ‎ 非优秀 ‎ 合计 ‎ 甲班 ‎ ‎10 ‎ 乙班 ‎ ‎30 ‎ 合计 ‎ ‎110 ‎ ‎（2）根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;‎ 参考公式与临界值表 .‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）不能认为“成绩与班级有关系”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=30﹣10=20，甲班非优秀的人数=110﹣（10+20+30）=50．即可完成表格．‎ ‎（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K2，和临界值表比对后即可得到答案．‎ ‎【详解】（1）‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎（2）根据列联表中的数据，计算得到.‎ 因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表、独立性检验，独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．‎ ‎21.‎ 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽数之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了明天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎4月30日 温差x/℃‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均不小于‎25”‎的概率；‎ ‎（2）从这5天中任选2天，若选取的是‎4月1日与‎4月30日的两组数据，请根据这5填中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程，.‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）用数组表示选出2天的发芽情况，用列举法可得的所有取值情况，分析可得均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案； （2）根据所给的数据，先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．‎ 详解：‎ ‎（1）所有的基本事件为;，;;，共个．‎ 设“均不小于”为事件，则事件包含的基本事件为，，，共个．‎ 故由古典概型公式得. ‎ ‎（2）由数据得，另天的平均数，‎ ‎，所以，‎ ‎，所以关于的线性回归方程为.‎ 点睛：本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．‎ ‎22.过点Q作圆C：的切线，切点为D，且QD＝4．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y 轴于点B，设，求的最小值(O为坐标原点).‎ ‎【答案】(1) 3;‎ I9sujcik34r5ttg(2) 最小值6.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由题设知，是以D为直角顶点的直角三角形,结合勾股定理得到r的值．‎ ‎（2）根据线与圆相切以及均值不等式和向量的坐标关系得到．‎ 解：(1) 圆C：的圆心为O(0，0)，于是 由题设知，是以D为直角顶点的直角三角形，‎ 故有 ‎（2）设直线的方程为即 则 直线与圆C相切 当且仅当时取到“=”号 取得最小值为6．‎ 考点：本试题主要考查了直线与圆的位置关系的运用．‎ 点评：解决该试题的关键是利用线圆相切则有圆心到直线的距离于圆的半径．‎