2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 焦点在轴上 B. 虚轴长为4‎ C. 渐近线方程为 D. 离心率为 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由焦点在轴可得错；由虚轴长为得错；由渐近线方程为知正确；由离心率为得错.‎ 详解：双曲线 的焦点在轴，错；双曲线 的虚轴长为，错；双曲线 的渐近线方程为，正确；双曲线 的离心率为，错.故选C.‎ 点睛：本题考查主要考查双曲线的方程及简单性质，属于简单题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎2．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若在 上单调递增，则函数的的导数恒成立，即，所以“ ”是“在 上单调递增”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎3．下列命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎①若是假命题，则、都是假命题；‎ ‎②命题“，”的否定是“，”‎ ‎③若：，:，则是的充分不必要条件.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由复合命题的真假判断判断①；写出全程命题的否定判断②；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③．‎ 详解：①若p∧q是假命题，则p，q中至少一个是假命题，故①错误；‎ ‎②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正确；‎ ‎③若x＞1＞0，则，反之，若，则x＜0或x＞1．‎ 又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要条件，故③正确．‎ ‎∴正确命题的个数是2个．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题．‎ ‎4．欧拉公式(为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由欧拉公式可求得，再由复数代数形式的乘法运算化简得结论.‎ 详解：，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎5．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，可得|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，从而可求方程．‎ 详解：：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，‎ ‎∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|‎ ‎∴|GN|+|GM|=|MP|=6，‎ 故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，‎ ‎∴短半轴长b=2，‎ ‎∴点G的轨迹方程是+=1．‎ 故选：D．‎ 点睛：在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用，这三个定义的应用主要体现在两个方面，一个是根据定义判断曲线的类型，为求曲线的方程做铺垫；二是在已知曲线类型的情况下，利用定义可将曲线上的到焦点的距离进行转化，为问题的解决带来新的方向和思路.‎ ‎6．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）‎ 广告费 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额 ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎59‎ ‎71‎ 由上表可得回归方程为，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ）‎ A. 118.2万元 B. 111.2万元 C. 108.8万元 D. 101.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】分析：平均数公式可求出与的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出，再将代入回归方程得出结论.‎ 详解：由表格中数据可得，，‎ ‎，解得，‎ 回归方程为，‎ 当时，，‎ 即预测广告费为10万元时销售额约为，故选B.‎ 点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎7．某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：‎ 做不到 能做到 高年级 ‎45‎ ‎10‎ 低年级 ‎30‎ ‎15‎ 则下列结论正确的是（ ）‎ 附参照表：‎ ‎0.10‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式：，其中 A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”‎ C. 有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”‎ D. 有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得，参照临界值表即可得到正确结论.‎ 详解：由公式 可得，参照临界值表，‎ ‎，‎ ‎ 以上的把握认为，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”，故选C.‎ 点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.‎ ‎8．若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.‎ ‎9．已知直线，，点为抛物线上的任一点，则到直线 的距离之和的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离．‎ 详解：抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为l1：x=2．‎ ‎∴P到l1的距离等于|PF|，‎ ‎∴P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F（﹣2，0）到直线l2的距离．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.‎ ‎10．已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.‎ 详解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，‎ 由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，‎ ‎∴tan≤≤tan，‎ ‎∴1≤≤，‎ ‎∴1≤≤3，‎ ‎∴2≤1+≤4，‎ 即2≤e2≤4，‎ 解得≤e≤2，‎ 故选：B．‎ 点睛：求离心率的常用方法有以下两种：‎ ‎（1）求得的值，直接代入公式求解；‎ ‎（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．‎ ‎11．设函数是的导函数，，，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：易得到fn（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f2008（x）= f2（x），进而得到答案 详解：∵f0（x）=ex（cosx+sinx），‎ ‎∴f0′（x）=ex（cosx+sinx）+ex（﹣sinx+cosx）=2excosx，‎ ‎∴f1（x）==excosx，‎ ‎∴f1′（x）=ex（cosx﹣sinx），‎ ‎∴f2（x）==ex（cosx﹣sinx），‎ ‎∴f2′（x）=ex（cosx﹣sinx）+ex（﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，‎ ‎∴f3（x）=﹣exsinx，‎ ‎∴f3′（x）=﹣ex（sinx+cosx），‎ ‎∴f4（x）=﹣ex（cosx+sinx），‎ ‎∴f4′（x）=﹣2excosx，‎ ‎∴f5（x）=﹣excosx，‎ ‎∴f6（x）=﹣ex（cosx﹣sinx），‎ ‎∴f7（x）=exsinx，‎ ‎∴f8（x）=ex（cosx+sinx），‎ ‎…，‎ ‎∴= f2（x）=，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎12．已知函数，其中，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ， ，，因为在区间内有两个零点，所以在 上有解，即 ，由零点存在定理可得 ，即，也即，‎ 解得 且，‎ 令则，当 时，当 时，因此，所以的取值范围是，因此选A.‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题 ‎13．若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：令y′≥0在（0，+∞）上恒成立可得a，根据右侧函数的值域即可得出a的范围．‎ 详解：y′=+2ax，x∈（0，+∞），‎ ‎∵曲线y=lnx+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，‎ ‎∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴a≥﹣恒成立，x∈（0，+∞）．‎ 令f（x）=﹣，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 又f（x）=﹣＜0，‎ ‎∴a≥0．‎ 故答案为：．‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，且轴，若的内切圆半径为，则其渐近线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c﹣a，结合条件和渐近线方程，计算即可得到所求．‎ 详解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，‎ 可得A在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，‎ 设Rt△AF1F2内切圆半径为r，‎ 运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|‎ ‎=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），‎ 由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，‎ 解得r=，‎ ‎，即 ‎∴渐近线方程是，‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题.‎ 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ ‎15．已知函数，使在上取得最大值3，最小值-29，则的值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：求函数的导数，可判断在上的单调性，求出函数在闭区间上的极大值，可得最大值，从而可得结果.‎ 详解：函数的的导数，‎ ‎，‎ 由解得，此时函数单调递减.‎ 由，解得或，此时函数单调递增.‎ 即函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 即函数在处取得极大值同时也是最大值，则，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.‎ ‎16．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出切线方程，可得三角形面积，利用基本不等式求出最小值时切点坐标，设，利用余弦定理结合椭圆的定义，由三角形面积公式可得，，根据与椭圆的定义即可的结果.‎ 详解：由题意，切线方程为，‎ 直线与轴分别相交于点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时，‎ 为坐标原点）的面积最小，‎ 设，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎，‎ ‎‘‎ ‎，，‎ 的内角平分线长度为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ 点睛：本题考查椭圆的切线方程、椭圆的定义、椭圆几何性质以及利用基本不等式求最值、三角形面积公式定义域、余弦定理的应用，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题.在解答与椭圆两个焦点有关的三角形问题时，往往综合利用椭圆的定义与余弦定理解答.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数(为常数，是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）1；（2）单调递增区间为，单调递减区间为 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用导函数与函数切线的关系得到关于实数k的方程，解方程可得k=1；‎ ‎(2)结合(1)的结论对函数的解析式进行求导可得，研究分子部分，令，结合函数h(x)的性质可得：的单调递增区间是（0，1）单调递减区间是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得 又，故 ‎(2)由（1）知，‎ 设，则 即在上是减函数，‎ 由知，当时，，从而 当时，，从而 综上可知，的单调递增区间是（0，1）单调递减区间是 ‎18．（1）已知命题:实数满足，命题:实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设命题:关于的不等式的解集是；:函数的定义域为.若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用一元二次不等式的解法化简，利用椭圆的标准方程化简，由包含关系列不等式求解即可；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ 详解：（1）由得：，即命题 由表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，即命题.‎ 因为是的充分不必要条件，所以或 解得：，∴实数的取值范围是. ‎ ‎（2）解：命题为真命题时，实数的取值集合为 对于命题:函数的定义域为的充要条件是①恒成立.‎ 当时，不等式①为，显然不成立；‎ 当时，不等式①恒成立的条件是，解得 所以命题为真命题时，的取值集合为 由“是真命题，是假命题”，可知命题、一真一假 当真假时，的取值范围是 当假真时，的取值范围是 综上，的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查根据命题真假求参数范围、一元二次不等式的解法、指数函数的性质、函数的定义域，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎19．如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）在梯形中，设，题意求得,再由余弦定理求得,满足,得则.再由平面得，由线面垂直的判定可.进一步得到丄平面;（Ⅱ）分别以直线为:轴，轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ,令 得到的坐标，求出平面的一法向量.由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当 时，有最小值为,此时点与点重合.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形中，∵,设，‎ 又∵,∴,∴‎ ‎∴.则.‎ ‎∵平面,平面，‎ ‎∴,而,∴平面.∵,∴平面.‎ ‎（Ⅱ）解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，令，‎ 则，‎ ‎∴‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由得，取，则，‎ ‎∵是平面的一个法向量，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴当时，有最小值为，‎ ‎∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.‎ ‎20．设椭圆经过点，其离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由经过点P，得，由离心率为得=，再根据a2=b2+c2联立解方程组即可；‎ ‎（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△‎ PAB的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足△＞0．‎ 详解：（1）解：由已知解得，，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：由得：‎ 由得：‎ 设，，则，‎ ‎∴‎ 又到的距离为，∴ ‎ 即，解得：.‎ 符合，故. ‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2‎ ‎【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2‎ ‎）问题等价于，令，问题转化为求出，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可.‎ 详解：（1）解：∵‎ ‎∴‎ ‎∴当即时，对恒成立 此时，的单调递增区间为，无单调递减区间 当，即时，由，得，由，得 此时，的单调递减区间为，单调递增区间为 综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；‎ 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎（2）解：由，得：‎ 当时，上式等价于 令 据题意，存在，使成立，则只需，‎ 令，显然在上单调递增 而，‎ ‎∴存在，使，即 又当时，，单调递减，当时，，单调递增 ‎∴当时，有极小值（也是最小值）‎ ‎∴‎ ‎∵ ，即，∴，∴‎ 又，且， ∴的最小值为2. ‎ 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎22．已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于、两个不同的点，点是的中点，求(为坐标原点)的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程，可得y的二次方程，解得，利用割补法表示的面积为，带入即可得到结果.‎ 详解：∵ 双曲线的左焦点的坐标为 ‎∴的焦点坐标为，∴，‎ 因此抛物线的方程为 设，，，则，‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点，所以，故 ‎∴直线的方程为 ‎∵ 直线过点， ∴，‎ 故直线的方程为，其与轴的交点为 由得：，，‎ ‎∴的面积为. ‎ 点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎