2019-2020学年上海市建平中学高一上学期9月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年上海市建平中学高一上学期9月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年上海市建平中学高一上学期9月月考数学试题 一、单选题 ‎1．若“不积硅步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ）‎ A．积硅步一定可以至千里 B．不积硅步也可能至千里 C．要想至千里一定要积硅步 D．不想至千里就不用积硅步 ‎【答案】C ‎【解析】根据命题与逆否命题的真假关系,即可判断.‎ ‎【详解】‎ 命题“不积硅步,无以至千里”‎ 则其逆否命题为“至千里,积硅步”‎ 可知C为正确选项.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了命题与逆否命题的真假关系应用,对抽象问题的分析与理解能力,属于基础题.‎ ‎2．若为全集，为非空集合，下面四个命题：‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）.‎ 其中与命题等价的命题个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】D ‎【解析】根据集合与集合的关系及运算,可判断四个选项是否正确.‎ ‎【详解】‎ 对于（1）,若则A为B的子集,即,所以（1）与命题等价;‎ 对于（2）,若,则A为B的子集,即,所以（2）与命题等价;‎ 对于（3）,若,由韦恩图可知,则A为B的子集,即,所以（3）与命题等价;‎ 对于（4）若,由韦恩图可知,则A为B的子集,即,所以（4）与命题等价;‎ 综上可知,与命题等价的命题为（1）（2）（3）（4）‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与并集和补集运算,韦恩图在研究集合关系时是常用方法,属于基础题.‎ ‎3．已知集合，，，又，，则必有（ ）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】利用列举法,写出集合A、集合B、集合C的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可.‎ ‎【详解】‎ 集合,则 集合则 集合则 又,‎ 当时, ,所以A错误;‎ 当时, ,所以C错误;‎ 因为集合,集合 又,‎ 则 所以表示奇数,而集合B表示奇数 所以 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.‎ 二、填空题 ‎4．已知，那么满足条件的集合A的个数是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知条件可知,集合A为集合的真子集与的并集.即可求得满足条件的集合A的个数.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以满足条件的集合A为集合的真子集与的并集.‎ 即分别为 所以共有个 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合与集合的关系,集合子集与真子集的关系及个数,属于基础题.‎ ‎5．将集合在图中用阴影部分表示出来.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据集合的交集与补集运算,即可求得.‎ ‎【详解】‎ 由交集与补集的运算可知,阴影部分如下图所示:‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集与补集的运算,韦恩图表示集合关系的方法,属于基础题.‎ ‎6．命题“若且，则.”的否命题是_____‎ ‎【答案】若或，则 ‎【解析】根据复合命题中且命题的否定,及否命题的定义即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据复合命题中且命题的否定,及否命题的定义可知 ‎“若且,则.”的否命题是若或,则 故答案为: 若或,则 ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题否命题的的写法,四种命题的关系,属于基础题.‎ ‎7．已知，，若，则实数的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据集合的表示形式可知,集合A与集合B为两条直线.当时,两条直线平行.由直线平行的斜率关系即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 则集合A与集合B为两条直线 若 则两条直线平行 所以两条直线的斜率相等,即 ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两条直线平行的斜率关系,根据直线平行求参数,属于基础题.‎ ‎8．设集合，其中，且. 若 ‎，则用列举法表示集合________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据且,结合集合的互异性原则可知,进而求得和的值,即可表示集合.‎ ‎【详解】‎ 集合,其中,且. ‎ 若,则当时, 由集合的互异性可知不符合要求 所以,即 则或 当时,, 由集合的互异性可知不符合要求 因而,此时 ‎ 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.‎ ‎9．设集合，，则满足的实数的值所组成的集合为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先化简集合，因为，对和分别讨论，得到的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ 当时，，，符合题意.‎ 当时，，因为，‎ 所以或，解得：，或.‎ 综上：，或，或.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合间的子集关系，解本题时，容易忽略对空集的讨论，属于简单题.‎ ‎10．已知A、B均为集合的子集，且，，则集合________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据集合的交集与补集运算,即可求得集合A中的元素.再判定其他元素是否符合要求.‎ ‎【详解】‎ A、B均为集合的子集 若,则 ‎ 若,则 ‎ 假设,因为,则.所以,则必含有1,不合题意,所以 同理可判断 综上可知, ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素与集合的关系,集合与集合的交集与补集运算,对于元素的分析方法,属于基础题.‎ ‎11．建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________‎ ‎【答案】人 ‎【解析】根据集合的交集运算,结合韦恩图即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设为建平中学高一某班全体学生 集合参加大舞台的学生 集合参加风情秀的学生 两个节目都参加的人数为,只参加风情秀的人数为.‎ 两个节目都不参加的人数为,只参加大舞台的人数为 则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三可知 ‎ ‎ 解得 所以总的人数为人 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的基本运算在实际问题中的应用,常常借助韦恩图来分析各量间的关系,属于基础题.‎ ‎12．已知集合，，令表示数集E中所有元素的和，对集合B中所有元素均求，则这些的值的和为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据,可列举出集合E. 对集合B中所有元素均求即可求得这些的值的和.‎ ‎【详解】‎ 因为集合,且 则E集合的所有可能为:,,,,,,,‎ 则 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的包含关系及集合各个子集,由题意求集合子集中各元素的和,属于基础题.‎ 三、解答题 ‎13．证明：“已知、，若，则.”为真命题.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】根据原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可.‎ ‎【详解】‎ 由原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可.‎ ‎ “已知、,若,则.‎ 其逆否命题为“已知、,若,则.‎ 证明如下:若 则 所以 “已知、,若,则.成立 即原命题“已知、,若,则.”为真命题 得证.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了原命题与逆否命题的真假关系及简单应用,利用等价关系证明简单的命题,属于基础题.‎ ‎14．已知全集为，集合，，或.若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】根据集合的并集与补集运算,由集合的关系即可求得参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 集合,‎ 则 则 因为 则.而或 所以或 解得或 ‎ 故实数的取值范围为或 ‎【点睛】‎ 本题考查了集合并集与补集的基本运算,集合与集合的基本关系,属于基础题.‎ ‎15．已知命题关于的不等式的解集为A，且；命题关于的方程有两个不相等的正实数根. ‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的范围；‎ ‎（2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）根据不等式的解集且,代入即可根据命题为真命题求得数的范围.‎ ‎（2）先求得命题和命题都为真命题时的范围,根据补集思想即可求得命题和命题中至少有一个是假命题时的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）命题关于的不等式的解集为A,且 因为命题为真命题 所以 解得 ‎（2）命题关于的方程有两个不相等的正实数根 当命题为真命题时,‎ 解得 ‎ 当命题和命题都为真命题 所以 所以若命题和命题中至少有一个是假命题 则或 ‎ 所以实数的范围为或 ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.‎ ‎16．称正整数集合具有性质：如果对任意的、，与两数中至少有一个属于A. ‎ ‎（1）分别判断集合与是否具有性质；‎ ‎（2）设正整数集合具有性质，证明：对任意（），都是的因数；‎ ‎（3）求时的最大值 ‎【答案】（1）不具有性质；具有性质；（2）见解析（3）4‎ ‎【解析】（1）根据定义,验证给定的集合与即可判断是否具有性质.‎ ‎（2）根据性质P的定义,利用反证法即可证明.‎ ‎（3）由（2）可知, 都是的因数,即可求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据定义如果对任意的、,与两数中至少有一个属于A.‎ 可知对于集合,与都不属于 所以集合不具有性质.‎ 对于集合,或都属于 所以集合具有性质.‎ ‎（2）证明: 正整数集合具有性质 即对于任意、与两数中至少有一个属于A.‎ 假设存在一个数不是的因数 即有或都不属于A.这与性质P矛盾 所以假设不成立 则对任意（）,都是的因数成立 得证.‎ ‎（3）由（2）可知, 都是的因数 而 则的因数分别为 因而的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义的理解和应用,反证法的应用,对分析问题、解决问题的能力要求较高,属于中档题.‎