2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 A. B. C. A D. B ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意分别求得集合A和集合B，然后结合集合的关于求解交集即可.‎ 详解：求解一元二次不等式可得，‎ 求解函数的值域可得，‎ 很明显集合A是集合B的子集，‎ 由交集的定义可得.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．若复数的值为 A. B. 0 C. 1 D. －1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：不妨设，则：，‎ 由复数相等的充分必要条件可得：，即，‎ 即实数的值为1.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．设等差数列的前项和为 、是方程的两个根，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据韦达定理可得：，‎ ‎，故选D.‎ ‎【考点】等差数列的性质 ‎【方法点睛】本题考查了等差数列的性质以及和的问题，重点说说等差数列求和公式的使用问题，（1），通过设等差数列的基本量首项和公差，联立方程组，求解数列，（2）或是变形为，当时，将数列的前n项和看成没有常数项的二次函数，,可以结合二次函数的图像以及对称性的问题，考察数列的性质问题，（3），这个公式使用的时候，经常结合等差数列的性质整体求，比如时，，时， ，这样就整体求得,再求和就比较简单了.‎ ‎4．已知，，，则在方向上的投影为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：应用首先求得的值，然后求得两向量夹角的余弦值，最后求解在方向上的投影即可.‎ 详解：由题意可得：，‎ 则，设向量的夹角为，则，‎ 则在方向上的投影为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量投影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．已知函数，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意首先构造出新函数为奇函数，然后结合新构造的函数整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：令函数，则函数为奇函数，‎ 且，‎ 则，即，‎ 据此可得.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查奇函数的性质，转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．某单位有名职工， 现采用系统抽样方法抽取人做问卷调查， 将人按随机编号， 则抽取的人中， 编号落入区间的人数为 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意结合系统抽样的概念首先求得抽样间隔，然后结合所给的区间整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得抽样间隔为，且，，‎ 据此可得编号落入区间的人数为：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：系统抽样的特征表现为：‎ ‎(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．‎ ‎(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．‎ ‎(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先确定几何体的空间结构，然后结合三棱锥的体积公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，‎ 该三视图对应的几何体为三棱锥，‎ 其中为其所在棱的中点，该几何体的体积：‎ ‎.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎8．程序框图如下：‎ 如果上述程序运行的结果的值比2018小，若使输出的最大，那么判断框中应填入 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先确定流程图的功能，然后结合组合数公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：流程图的功能为计算，使得：，而 由组合数公式可知：,‎ 据此可得：判断框中应填入.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎9．已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.‎ 详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则 ，，‎ 据此可得：，，‎ 设平面的法向量为，则：，‎ 据此可得平面的一个法向量为，‎ 而，据此有：，‎ 则点到平面的距离为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是 A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：‎ ‎，‎ 计算的数值如下表所示：‎ 底数 指数 幂值 ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎125‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎625‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3125‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎15625‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎78125‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎390625‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎1953125‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎9765625‎ 据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，‎ 所给选项中，只有2017除以8的余数为1，‎ 则的值可以是2017.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知，函数在上单调减，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用排除法选择特殊值排除错误的选项即可求得最终结果.‎ 详解：利用排除法：‎ 当时，，‎ 若，则，‎ 据此可知函数在区间上单调递增，不合题意，选项BC错误；‎ 当时，，‎ 若，则，‎ 据此可知函数在区间上单调递减，符合题意，选项A错误；‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的性质，排除法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直， 有两个不同的解，即得有两个不同的解，设，则， 在上递减，在上递增时，函数取得极小值又因为当时总有，所以可得数的取值范围是，故选D.‎ 二、填空题 ‎13．已知数列的前项和为，，，_____．‎ ‎【答案】18.‎ ‎【解析】分析：由题意首先求得，然后利用前n项和与通项公式之间的关系求解的值即可.‎ 详解：由递推关系可得：，‎ 整理可得：，且，‎ 据此可知数列是首项为3，公比为3的等比数列，即，‎ 故.‎ 点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎14．已知实数满足，则最小值是__________．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，‎ 其最小值为：.‎ 故答案为：1．‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎15．设△的内角 ， ，所对的边长分别为，，，若，则 的值为_____．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】分析：由题意首先利用正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由及正弦定理可得：‎ sinAcosB−sinBcosA=sinC，‎ 即sinAcosB−sinBcosA=sin(A+B)，‎ 即5(sinAcosB−sinBcosA)=3(sinAcosB+sinBcosA)，‎ 即2sinAcosB=8sinBcosA，‎ 因此tanA=4tanB， 的值为4.‎ 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且为直角，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则的值为_________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】分析：由题意设出椭圆的长轴和双曲线的实轴长，然后结合双曲线、椭圆的定义和勾股定理整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2，‎ 则根据椭圆及双曲线的定义得：|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|−||PF2|=2a2，‎ ‎∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1−a2,设|F1F2|=2c,为直角，‎ 在△PF1F2中由勾股定理得,4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2，‎ ‎∴化简得：，该式可变成：.‎ 故答案为：2.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，，，且 ， ，分别为△的三边所对的角． ‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，且， 求边c的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)6.‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得，则；‎ ‎(Ⅱ)由等比数列的性质结合正弦定理可得c2=ab，由向量及其数量积的运算法则可得abcosC=18，结合(Ⅰ)的结论可得c=6.‎ 详解：(Ⅰ)∵，，，‎ ‎∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C，‎ 即，‎ 又因为，所以sinC=sin2C，‎ ‎∴cosC=，‎ 又C为三角形的内角，∴.‎ ‎(Ⅱ)∵sinA,sinC,sinB成等比数列，‎ ‎∴sin2C=sinAsinB，‎ 由正弦定理可得c2=ab，‎ 又,即，‎ ‎∴abcosC=18，‎ ‎∴ab=36故c2=36∴c=6.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎18．如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 见解析.(Ⅱ) 60°.‎ ‎【解析】分析：由题意，以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．则：‎ ‎ (Ⅰ)由空间向量的运算法则可得：,，据此可得平面；‎ ‎(Ⅱ)由题意可得平面EAB的一个法向量为，平面EBC的一个法向量为 ‎，据此计算可得：二面角的大小为60°.‎ 详解：∵四边形是正方形 ，‎ ‎，∵平面平面，‎ 平面，‎ ‎∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设，则，‎ ‎∵是正方形的对角线的交点，．‎ ‎ (Ⅰ)，，，‎ ‎，‎ ‎ 平面． ‎ ‎(Ⅱ)设平面的法向量为，‎ 则且，‎ 且．‎ ‎ 即 ‎ 取，则， 则． ‎ 又∵为平面的一个法向量，且， ‎ ‎，‎ 设二面角的平面角为，则，．‎ ‎∴二面角等于．‎ 点睛：本题主要考查线面垂直的判定，利用空间向量求解二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．某地区年至年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入．‎ 注：， ‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元；预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元.‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)由题意可得，结合回归方程计算公式可得回归方程为；‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元；预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元.‎ 详解：（Ⅰ）由已知可知，故 ‎ ‎ ‎，所以所求的线性回归方程为．‎ ‎（Ⅱ）有（Ⅰ）可知，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元；当时，，‎ 所以预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎20．已知椭圆经过点，且离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)过椭圆的右顶点做相互垂直的两条直线，，分别交椭圆于、（、异于点），问直线是否通过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)由题意计算可得，在椭圆方程为；‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知，据此分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线通过定点.‎ 详解：（Ⅰ）由题意，得，解得，．‎ 所以椭圆的方程是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 当直线的斜率不存在时，‎ 直线的方程设为．，‎ 由得，，解得或（舍去）.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程设为，设， ‎ 联立消去得，‎ 则有， ，‎ 又，‎ 由得，，‎ ‎ ，，‎ ‎，‎ 即或 ，‎ 若则直线的方程设为，过点，不在椭圆内，与题意不符.‎ 若，代入到判别式中，判别式恒大于0，则满足有两个交点.‎ 则直线的方程设为，过点得.‎ 综上，直线通过定点．‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎21．已知函数在处的切线与轴平行．‎ ‎（Ⅰ）试讨论在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设，求的最小值；‎ ‎（ⅱ）证明： ．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 答案见解析；(Ⅱ) （ⅰ）2.（ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得，满足题意时，则，据此分类讨论可得：‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由题意可得：，则函数的最小值为.‎ ‎（ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分析法可得题中的不等式等价于.由导函数的性质可得：，据此即可证得题中的结论.‎ 详解：（Ⅰ），‎ 当时，时时，‎ 在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，时时，‎ 在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）∵，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增∴．‎ ‎（ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎∴由，可得，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ 设，‎ ‎，‎ 在单调递减，在单调递增．‎ ‎，‎ 又∵在时，，‎ ‎∴成立．‎ 即成立．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），再以原点为极点，以正半轴为极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的值.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）运用直角坐标与极坐标之间的互化关系探求；（2）依据题设直线的参数方程中的参数的几何意义分析求解：‎ ‎（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为.‎ ‎（2）直线的普通方程为，点在直线上，‎ 过点的直线的参数方程为（为参数），‎ 代入圆方程得：.设对应的参数方程分别为，则，.‎ 于是.‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）当函数的定义域为时，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）函数的定义域满足>0，据此分类讨论求解绝对值不等式可得函数的定义域为.‎ ‎（Ⅱ）原问题等价于恒成立，由绝对值三角不等式的性质可得，则实数的取值范围是.‎ 详解：（Ⅰ）当时，要使函数有意义，‎ 有不等式①成立，‎ 当时，不等式①等价于，即，；‎ 当时，不等式①等价于，无解；‎ 当时，不等式①等价于，即，；‎ ‎ 综上，函数的定义域为.‎ ‎（Ⅱ）∵函数的定义域为，∴不等式恒成立，‎ ‎∴只要即可，‎ 又∵（当且仅当时取等号），‎ 即. 的取值范围是.‎ 点睛：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎