2019-2020学年吉林省长春市实验中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

2019-2020学年吉林省长春市实验中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

长春市实验中学2019-2020学年上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷 一：选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为(　　)‎ A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎2.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)‎ A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92‎ ‎4. 下列选项中，说法正确的是(　　)‎ A．命题“若am20”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”‎ ‎5．已知双曲线－＝1的一条渐近线的方程为y＝x，则双曲线的焦距为(　　)‎ A. B．10 C．2 D．2 ‎6.下列各数中，最小的是( 　)‎ A.101 010(2) B.111(5) C.32(8) D.54(6)‎ ‎7.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若如图所示的程序框图的功能是计算1××××的结果，则在空白的执行框中应该填入(　)‎ A．T＝T·(i＋1) B．T＝T·I C．T＝T· D．T＝T· ‎9．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得＝2，则M的轨迹方程是(　　)‎ A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋ C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－ ‎10.如图所示，双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M，连接MF2，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎12.设、是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二：填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.‎ ‎14．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎15．已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1外切，又与定直线l：x＝1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是________．‎ ‎16．已知中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________．‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(10分)‎ 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.‎ 求(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩．‎ ‎18.（12分）‎ 已知命题：方程表示焦点在轴的椭圆；命题：关于的不等式的解集是；若“”是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎19．(12分)‎ 某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)已知两变量线性相关，求y关于t的回归方程；‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎20.（12分）‎ 设有关于的一元二次方程 ‎（1）若是从0，1，2，3四个数中任意取一个数，是从0，1，2三个数中任意取一个，求上述方程有实根的概率 ‎（2）若，，求上述方程有实根的概率 ‎21.（12分）‎ 如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．‎ ‎(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；‎ ‎(2)求S△ABM的最大值．‎ ‎22.（12分）‎ 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1， ‎ 证明：l过定点．‎ ‎ ‎ ‎ 答案 一：选择题 DDADC CDCAB BC 二：填空题 ‎13. 答案　2‎ ‎14. 答案　[－3,0]‎ ‎15. 答案　y2＝－8x ‎16. ＋＝1‎ 三：解答题 ‎17. 解　(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又因为第一个小矩形的面积为0.3，前两个小矩形的面积和为0.3＋0.4＝0.7>0.5，所以设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，所以中位数为60＋5＝65.‎ ‎(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．‎ ‎18.‎ ‎19. 解　(1)由所给数据计算得 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，‎ ＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，‎ (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，‎ (ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，‎ ＝＝＝0.5，‎ ＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，‎ 故所求回归方程为＝0.5t＋2.3.‎ ‎(2)由(1)知，＝0.5＞0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，‎ 得＝0.5×9＋2.3＝6.8，‎ 故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元 ‎20. 解析：（1）试验的全部结果有：‎ ‎（0,0）,（0,1）,（0, 2）,（1,0）,（1,1）,（1,2）,（2,0）,（2,1）,（2,2）,‎ ‎（3,0）,（3,1）,（3,2）.共12个基本事件。‎ 记方程有实根为事件A，‎ 因为，，所以，‎ 事件A包含的结果有（0,0）（1,0）,（1,1）,（2,0）,（2,1）,（2,2）,（3,0）,（3,1）,（3,2）.共9个基本事件，所以。‎ ‎（2）试验的全部结果构成的区域 ‎，‎ 记方程有实根为事件A，‎ 因为，，所以，‎ 事件A包含的结果构成的区域 ‎，即图中的阴影部分。‎ ‎，所以。‎ ‎21. 解:(1)由条件知lAB：y＝x－，与y2＝2px联立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.‎ 又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x. 。。。。。。。。。 4分 ‎(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设M(，y0)，则M到AB的距离为d＝.‎ 因为点M在直线AB的上方，所以－y0－<0，‎ 则d＝＝ ‎＝＝.‎ 当y0＝p时，dmax＝p.‎ 故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2.‎ 方法二：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋m，代入抛物线方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋，‎ 两直线间的距离为d＝＝p，‎ 故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2. 。。。。。。。。。 12分 ‎22. 【解析】（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，将代入椭圆方程得：，解得，， ∴椭圆的方程为：． （2）当斜率不存在时，设， ，得，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 当斜率存在时，设，， 联立，整理得， ，，则 又，，此时，‎ 存在使得成立．∴直线的方程为，当时，，所以过定点．‎