【数学】2019届一轮复习人教A版（文）选修4-4第二节参数方程学案
选修4－4 坐标系与参数方程
第二节参数方程
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)．
(4)双曲线－＝1(a>0，b>0)的参数方程为 (θ为参数)．
1．在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为 (t为参数)，则其普通方程为____________．
解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min＝________.
解析：由(φ为参数)得，＋＝1，
当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．
所以|AB|min＝2×＝.
答案：
3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________．
解析：由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)
4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为________________________________________________________________________．
解析：将直线l的参数方程代入x2＋＝1，
得2＋＝1，
即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝.
答案：
[考什么·怎么考]
参数方程与普通方程的互化是每年高考的热点内容，常与极坐标、直线与圆锥曲线的位置关系综合考查，属于基础题．
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
解：(1)∵2＋2＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝，∴x≠0.
当t≥1时，0
0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＝－2.
(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；
(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．
解：(1)由ρcos＝－2，
得(ρcos θ－ρsin θ)＝－2，
化成直角坐标方程，得(x－y)＝－2，
即直线l的方程为x－y＋4＝0.
依题意，设P(2cos t,2sin t)，
则点P到直线l的距离
d＝＝
＝2＋2cos.
当cos＝－1时，dmin＝2－2.
故点P到直线l的距离的最小值为2－2.
(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，
∴对∀t∈R，有acos t－2sin t＋4>0恒成立，
即cos(t＋φ)>－4恒成立，
∴<4，
又a>0，∴00，即a>0，
t1＋t2＝，t1·t2＝.
根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，
又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，
即t1＝2t2或t1＝－2t2.
∴当t1＝2t2时，有
解得a＝，符合题意．
当t1＝－2t2时，有
解得a＝，符合题意．
综上，实数a＝或a＝.
3．(2018·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．
解：(1)由(t为参数)得C1的普通方程为
(x－4)2＋(y－5)2＝9，
由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式，
得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，
则kC1C2＝＝1，
∴直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，
∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，
又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4
＝4－4，
∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.
4．(2018·广州综合测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：(1)由(t为参数)消去t得x＋y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
由ρ＝2cos＝2＝2cos θ＋2sin θ，
得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，
得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)法一：设曲线C上的点P(1＋cos α，1＋sin α)，
则点P到直线l的距离d＝＝＝.
当sin＝－1时，dmax＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.
法二：设与直线l平行的直线l′：x＋y＋b＝0，
当直线l′与圆C相切时，＝，
解得b＝0或b＝－4(舍去)，
所以直线l′的方程为x＋y＝0.
因为直线l与直线l′的距离d＝＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
6．已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．
解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2x＋y－6＝0，
令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得直线L的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，
由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.
(2)由(1)，知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，
设曲线C上任意一点P(cos α，2sin α)，
则点P到直线L的距离d＝.
由题意得|PA|＝＝，
所以当sin＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
7．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.
(1)求曲线C2的参数方程；
(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．
解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，
所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.
所以曲线C2的参数方程为(θ为参数)．
(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos θ，sin θ)，
则l＝8cos θ＋4sin θ＝4sin(θ＋φ)，
所以当θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)时，l取得最大值，最大值为4，此时θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)，
所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，
此时A.
所以直线l1的普通方程为x－4y＝0.
8．(2018·成都诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.
(1)求θ的值；
(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．
解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，
即ρ＝4sin θ.
由ρ＝2，得sin θ＝，
∵θ∈，∴θ＝.
(2)易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，
∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.
又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
联立解得ρ＝4.
∴点B的极坐标为，
∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.
