湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线 (1)

湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线 (1)

湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练 圆锥曲线 一、选择、填空题 ‎1、（常德市2019届高三上学期检测）已知双曲线的右焦点为, 以为圆心,实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎2、（怀化市2019届高三统一模拟（二））已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上任意一点，过P点作抛物线的切线交y轴于点Q，.若(O为坐标原点)，则点P的横坐标为 ‎ A. B. C'. D. ‎ ‎3、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）过双曲线C: (a>b>0)的一个焦点F向其一条渐近线引垂线，垂足为E，0为坐标原点，若△OEF的面积为1，其外接圆面积为，则C的离心率为 A. B. C.2 D. ‎ ‎4、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）抛物线 (p>0)上纵坐标为4的点A到其焦点F的距离为5,则点A到原点的距离为 .‎ ‎5、（邵阳市2019届高三10月大联考）已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，则( )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线 与轴交于点，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）过双曲线 (a>b>0)右焦点F的直线交两渐近线于A、B两点，∠OAB = 90°，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为则双曲线的离心率为 A. 2 B. C. D. ‎ ‎9、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，则的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且,设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎11、（长郡中学2019届高三第六次月考）已知拋物线y2＝4x，点A，B在该拋物线上且位于x轴的两侧，OA • 0B＝－4(其中O为坐标原点），则△ABO面积的最小值是 .‎ ‎12、（雅礼中学2019届高三第五次月考）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B，M在双曲线上，且MF1⊥x轴，直线MA，MB与y轴分别交于P，Q两点，若，则 A． B．2－ C. 2 D. ‎ ‎13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））已知一条抛物线恰好经过等腰梯形的的四个顶点，其中，‎ ‎，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）[（ （ 源 A． B． C． D．‎ ‎14、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是(C)‎ A．(2，6) B．(6，8) ‎ C．(8，12) D．(10，14)‎ ‎15、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）‎ 过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎16、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））如图，是椭圆与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2 在第二、四象限的公共点。若四边形AF1BF2为矩形，则C2的虚轴长为 .‎ ‎17、（湘潭市2018届高三下学期第三次模拟考试）双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎18、（雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考）已知双曲线（，）的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎19、（湖南师大附中2019届高三月考试题（七））设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎20、（雅礼中学2019届高三月考（七））抛物线：的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点在抛物线上，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 参考答案：‎ ‎1、D 2、D 3、A 4、4 5、B ‎6、A 7、C 8、C 9、C 10、C ‎11、‎ ‎12、‎ ‎13、B ‎ ‎14、【解析】抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，‎ 圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，‎ ‎∴三角形FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，‎ 由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，则xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，故选C.‎ ‎15、D　　16、2　　　17、A　　　18、C　　19、　　20、C 二、解答题 ‎1、（常德市2019届高三上学期检测）已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点是第一象限内椭圆上一点，且在轴上的正投影为右焦点，过点作直线分别交椭圆于两点，当直线的倾斜角互补时，试问：直线的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.‎ ‎2、（怀化市2019届高三统一模拟（二））已知椭圆的左焦点F，作斜率为的直线l，交椭圆C于A、B两点。‎ ‎(1)若原点O到直线l的距离为，求直线l的方程;‎ ‎ (2)设点M(1,0)，直线AM与椭圆C交于另一点P，直线BM与椭圆C交于另一点D.设PD的斜率为，则是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。‎ ‎3、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）已知椭圆C: (a>b>0)的上顶点E 与其左、右焦点F1、F2构成面积为1的直角三角形。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点F2的直线交C于A（)，B()两点，P是C上的动点，当吋，求△PAB面积的最大值。‎ ‎4、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）对称轴为坐标轴的椭圆的焦点为，，在上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不过原点的直线与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列，则当的面积为时，求直线的方程.‎ ‎5、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.‎ ‎6、（益阳市2019届高三上学期期末考试）圆O: 上的动点P在轴、轴上的射影分别是P1 ,P2，点M满足。‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）点A（0，1），B（0，-3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率存在，求证为常数。‎ ‎7、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：.‎ ‎8、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））已知椭圆的C： 的中心在坐标原点，焦点在x轴上且经过点P，离心率为。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线经过点E(-1,0)且与椭圆交于A，B两点，若，求直线的方程。‎ ‎9、（长郡中学2019届高三第六次月考） 如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1，0)，过直线:x = 2左侧的动点P作PH丄于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且PH= ,记动点P的轨迹为曲线P. ‎ ‎(1)求曲线P的方程.‎ ‎ (2)过点F作直线交曲线P于A，B两点，点C在上，且BC//轴，试问:直线AC是否恒过定点？请说明理由.‎ ‎10、（雅礼中学2019届高三第五次月考）已知椭圆E：的左焦点为F，设M，N是椭圆E的两个短轴端点，A是椭E的长轴左端点，‎ ‎（1）当t＝1时，设点P（m，－2）（m≠0），直线PN交椭圆E于Q，且直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值；‎ ‎（2）当t＝3时，若经过F的直线与椭圆E交于C，D两点，O为坐标原点，求△OAD与△OAC的面积之差的最大值 ‎11、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））已知分别为椭圆C：‎ 的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由．‎ ‎12、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））如图，已知椭圆C1：＋y2＝1的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.‎ ‎(1)求圆C2的标准方程；‎ ‎(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点．‎ ‎(ⅰ)求证：OP⊥OM；‎ ‎(ⅱ)试探究＋是否为定值．‎ ‎13、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．‎ 参考答案：‎ ‎1、解：（Ⅰ）由题设知，‎ 由椭圆的定义知：的周长为，解得. ‎ ‎ 故因此，所以椭圆的方程为. .............5分 ‎（Ⅱ）证明：依题意知，点，设 直线的方程为：，‎ 联立，得，‎ 则， 即，.............8分 又，‎ 即，）‎ 又直线的倾斜角互补，则直线的斜率为 同理可得：，）， .............10分 因此，直线的斜率为为定值. .........12分 ‎2、‎ ‎ ‎ ‎3、‎ ‎4、解：（1）设椭圆的方程为，‎ 由题意可得，又由，得，故，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，.‎ 由题意直线的方程为：，‎ 联立得，‎ ‎，化简，得①‎ ‎②，③‎ 直线，，的斜率依次成等比数列，，‎ ‎，化简，得 ‎，，又，，‎ 且由①知.‎ 原点到直线的距离.‎ ‎，解得（负舍）或 ‎（负舍）.‎ 直线的方程为：或.‎ ‎5、（1）设点，，因为，点在直线上，‎ 所以，.①‎ 因为点在圆：上运动，所以.②‎ 将①式代入②式，得曲线的方程为.‎ ‎（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，‎ 令，得的坐标为.‎ 由，得.‎ 设，，则有，.③‎ 记直线，，的斜率分别为，，，‎ 从而，，.‎ 因为直线的方程为，所以，，‎ 所以 ‎ ‎.④‎ 把③代入④，得.‎ 又，所以，‎ 故直线，，的斜率成等差数列.‎ ‎6、‎ ‎ ‎ ‎7、（1）由题意可知，抛物线的准线方程为 又点的纵坐标为8，且｜PF｜=9，于是8+=9，所以 故抛物线的方程为 ‎（2）设点M(m，-1)，，，因为，所以 切线方程为，即 令，可解得，所以 又所以，‎ 所以 ‎8、‎ ‎9、‎ ‎10、‎ ‎11、【解析】（Ⅰ）由题意，，， ‎ 的周长为， ‎ ‎， ∴椭圆的标准方程为．--------------------------5分 ‎ ‎（Ⅱ）假设存在常数满足条件。‎ ‎（1）当过点的直线的斜率不存在时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，； ---------------------------------------7分 ‎ ‎（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，‎ 联立，化简得，‎ ‎∴. -----------------------------------8分 ‎ ‎∴‎ ‎----------9分 ‎∴，解得： 即时，；‎ 综上所述，当时，． ------------------------12分 ‎ ‎12、【解析】(1)因为A2，B1分别为椭圆C1：＋y2＝1的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A2B1的方程为：x＋2y＝2.2分 则原点O到直线A2B1的距离为d＝＝，则圆C2的半径r＝d＝，‎ 故圆C2的标准方程为x2＋y2＝.4分 ‎(2)(i)可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，‎ 将直线PM方程代入椭圆C1可得x2＋2kbx＋b2－1＝0，由韦达定理得：‎ 则y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，6分 又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d＝＝，整理可得k2＝b2－1，‎ 则y1y2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝0，故OP⊥OM.8分 ‎(ii)由OP⊥OM知S△OPM＝，‎ ‎①当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时＋＝；‎ ‎②当直线OP的斜率存在时，设OP：y＝k1x代入椭圆方程可得＋kx2＝1，则x2＝，‎ 故OP2＝x2＋y2＝(1＋k)x2＝，10分 同理OM2＝＝，‎ 则＋＝＋＝.‎ 综上可知：＋＝为定值.12分 ‎13、（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．‎ ‎（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由消去y，得 ‎．（*）‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．‎ 因为，所以．因此，点P的坐标为．‎ ‎②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，‎ 所以．因为，‎ 所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．‎