高考文科数学复习：夯基提能作业本 (17)

高考文科数学复习：夯基提能作业本 (17)

第一节　平面向量的概念及其线性运算 A组　基础题组 ‎1.已知O,A,B是同一平面内的三个点,直线AB上有一点C满足2AC+CB=0,则OC=(　　)‎ A.2OA-OB B.-OA+2‎OB C.‎2‎‎3‎OA-‎1‎‎3‎OB D.-‎1‎‎3‎OA+‎‎2‎‎3‎OB ‎2.(2016甘肃兰州模拟)如图所示,下列结论中正确的是(　　)‎ ‎①PQ=‎3‎‎2‎a+‎3‎‎2‎b;②PT=‎3‎‎2‎a-b;‎ ‎③PS=‎3‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b;④PR=‎3‎‎2‎a+b.‎ A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ ‎3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么(　　)‎ A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 ‎4.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 ‎5.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若EF=mAB+nAD(m,n∈R),则mn的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.-2 C.2 D.‎‎1‎‎2‎ ‎6.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=‎1‎‎2‎a-b;②BE=a+‎1‎‎2‎b;③CF=-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b;④AD+BE+CF=0.‎ 其中正确命题的个数为　　　　. ‎ ‎7.若|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,则|AB+AC|=　　　　. ‎ ‎8.已知G为△ABC的重心,令AB=a,AC=b,过点G的一条直线分别交AB,AC于P,Q两点,且AP=ma,AQ=nb,则‎1‎m+‎1‎n=　　　　. ‎ ‎9.如图,以向量OA=a,OB=b为邻边作▱OADB,BM=‎1‎‎3‎BC,CN=‎1‎‎3‎CD,用a,b表示OM,ON,MN.‎ ‎10.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t,使C,D,E三点在同一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.‎ B组　提升题组 ‎11.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且OA+OB+CO=0,则△ABC的内角A等于(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎12.已知:如图,|OA|=|OB|=1,OA与OB的夹角为120°,OC与OA的夹角为30°,若OC=λOA+μOB(λ、μ∈R),则λμ等于(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.2‎ ‎13.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积的比值为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎14.(2016内蒙古包头九中期中)如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC,则λ+μ=　　　. ‎ ‎15.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=‎2‎‎3‎AD,AB=a,AC=b.‎ ‎(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF;‎ ‎(2)求证:B,E,F三点共线.‎ ‎16.已知P为△ABC内一点,且3AP+4BP+5CP=0,延长AP交BC于点D,若AB=a,AC=b,用a、b表示向量AP、AD.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.A　依题意,得OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA),所以OC=2OA-OB,故选A.‎ ‎2.C　①根据向量的加法法则,得PQ=‎3‎‎2‎a+‎3‎‎2‎b,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT=‎3‎‎2‎a-‎3‎‎2‎b,故②错误;③PS=PQ+QS=‎3‎‎2‎a+‎3‎‎2‎b-2b=‎3‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b,故③正确;④PR=PQ+QR=‎3‎‎2‎a+‎3‎‎2‎b-b=‎3‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b,故④错误.故选C.‎ ‎3.D　∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),‎ ‎∴k=λ,‎λ=-1.‎∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.‎ ‎4.C　由已知,得AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,故AD∥BC.又因为AB与CD不平行,所以四边形ABCD是梯形.‎ ‎5.B　易知AEBC=EFFB=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴EF=‎1‎‎3‎EB,‎ ‎∴EF=‎1‎‎3‎EB=‎1‎‎3‎(EA+AB)=‎‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎DA‎+‎AB ‎=‎1‎‎6‎DA+‎1‎‎3‎AB=‎1‎‎3‎AB-‎1‎‎6‎AD,‎ ‎∴m=‎1‎‎3‎,n=-‎1‎‎6‎,∴mn=-2.‎ ‎6.答案　3‎ 解析　BC=a,CA=b,AD=‎1‎‎2‎CB+AC=-‎1‎‎2‎a-b,故①错;‎ BE‎=BC+‎1‎‎2‎CA=a+‎1‎‎2‎b,故②正确;‎ CF‎=‎1‎‎2‎(CB+CA)=‎1‎‎2‎(-a+b)=-‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b,故③正确;‎ ‎∴AD+BE+CF=-b-‎1‎‎2‎a+a+‎1‎‎2‎b+‎1‎‎2‎b-‎1‎‎2‎a=0,故④正确.‎ ‎∴正确命题为②③④.‎ ‎7.答案　2‎‎3‎ 解析　∵|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,‎ ‎∴△ABC是边长为2的正三角形,∴|AB+AC|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|AB+AC|=2‎3‎.‎ ‎8.答案　3‎ 解析　连接AG并延长交BC于点E,‎ 如图所示,由重心的性质可知AG=‎2‎‎3‎AE=‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎‎(AB+AC)‎=‎1‎‎3‎(AB+AC),又AB=‎1‎mAP,AC=‎1‎nAQ,‎ 所以AG=‎1‎‎3‎‎1‎mAP‎+‎‎1‎nAQ=‎1‎‎3mAP+‎1‎‎3nAQ.‎ 因为G,P,Q三点共线,‎ 所以‎1‎‎3m+‎1‎‎3n=1,‎ 即‎1‎m+‎1‎n=3.‎ ‎9.解析　∵BA=OA-OB=a-b,‎ ‎∴BM=‎1‎‎3‎BC=‎1‎‎6‎BA=‎1‎‎6‎a-‎1‎‎6‎b,‎ ‎∴OM=OB+BM=‎1‎‎6‎a+‎5‎‎6‎b.‎ ‎∵OD=a+b,∴ON=OC+‎1‎‎3‎CD=‎1‎‎2‎OD+‎1‎‎6‎OD=‎2‎‎3‎OD=‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b,‎ ‎∴MN=ON-OM=‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b-‎1‎‎6‎a-‎5‎‎6‎b=‎1‎‎2‎a-‎1‎‎6‎b.‎ 综上,OM=‎1‎‎6‎a+‎5‎‎6‎b,ON=‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b,MN=‎1‎‎2‎a-‎1‎‎6‎b.‎ ‎10.解析　存在.理由:由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,‎ 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.‎ 因为a,b不共线,所以有t-3+3k=0,‎t-2k=0,‎ 解得t=‎6‎‎5‎.故存在实数t=‎6‎‎5‎,使C,D,E三点在同一条直线上.‎ B组　提升题组 ‎11.A　由OA+OB+CO=0得,OA+OB=OC,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故∠BAC=30°.‎ ‎12.D　过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知,∠COD=30°,∠OCD=90°,‎ ‎∴OD=2CD,又由题意知OD=λOA,DC=μOB,∴λ|OA|=2μ|OB|,即λ=2μ,故λμ=2.‎ ‎13.C　设AB的中点为D,连接MD,MC,由5AM=AB+3AC,得5AM=2AD+3AC,故C,M,D三点共线,且5DM=3DC,即在△ABM与△ABC中,边AB上的高的比值为‎3‎‎5‎,所以△ABM与△ABC的面积的比值为‎3‎‎5‎.‎ ‎14.答案　‎‎1‎‎2‎ 解析　设BH=xCB,∵AM=‎1‎‎2‎(AB+BH)=‎1‎‎2‎[AB+x(AB-AC)]=‎1‎‎2‎[(1+x)AB-xAC],且AM=λAB+μAC,∴1+x=2λ,-x=2μ,∴λ+μ=‎1‎‎2‎.‎ ‎15.解析　(1)延长AD到G,使AD=‎1‎‎2‎AG,‎ 连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,所以AG=a+b.‎ AD‎=‎1‎‎2‎AG=‎1‎‎2‎(a+b),‎ AE‎=‎2‎‎3‎AD=‎1‎‎3‎(a+b),‎ AF‎=‎1‎‎2‎AC=‎1‎‎2‎b,‎ BE‎=AE-AB=‎1‎‎3‎(a+b)-a=‎1‎‎3‎(b-2a),‎ BF‎=AF-AB=‎1‎‎2‎b-a=‎1‎‎2‎(b-2a).‎ ‎(2)证明:由(1)可知BE=‎2‎‎3‎BF,‎ 又因为BE,BF有公共点B,‎ 所以B,E,F三点共线.‎ ‎16.解析　∵BP=AP-AB=AP-a,‎ CP‎=AP-AC=AP-b,3AP+4BP+5CP=0,‎ ‎∴3AP+4(AP-a)+5(AP-b)=0,‎ ‎∴AP=‎1‎‎3‎a+‎5‎‎12‎b.‎ 设AD=tAP(t∈R),则AD=‎1‎‎3‎ta+‎5‎‎12‎tb.①‎ 又设BD=kBC(k∈R),‎ 由BC=AC-AB=b-a,得BD=k(b-a).‎ 而AD=AB+BD=a+BD.‎ ‎∴AD=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②‎ 由①②得‎1‎‎3‎t=1-k,‎‎5‎‎12‎t=k,‎解得t=‎4‎‎3‎.‎ 代入①得AD=‎4‎‎9‎a+‎5‎‎9‎b.‎ ‎∴AP=‎1‎‎3‎a+‎5‎‎12‎b,AD=‎4‎‎9‎a+‎5‎‎9‎b.‎