北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学试卷 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.直线的倾斜角为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.‎ ‎【详解】依题意可知直线的斜率为，故倾斜角为，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.‎ ‎2.某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）‎ A. 高一学生被抽到的可能性最大 B. 高二学生被抽到的可能性最大 C. 高三学生被抽到的可能性最大 D. 每位学生被抽到的可能性相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样是等可能的选出正确答案.‎ ‎【详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.‎ ‎3.如图，正方体的棱长为，那么四棱锥的体积是（）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据锥体体积公式，求得四棱锥的体积.‎ ‎【详解】根据正方体的几何性质可知平面，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查四棱锥体积的计算，属于基础题.‎ ‎4.已知向量，，若与平行，则实数的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求得与，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意与，由于与平行，所以，，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查两个向量平行的条件，属于基础题.‎ ‎5.先后抛掷枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得全是正面的概率，用减去这个概率求得至少出现一次反面的概率.‎ ‎【详解】基本事件的总数为，全是正面的的事件数为，故全是正面的概率为，所以至少出现一次反面的概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题.‎ ‎6.在△中，若，则△为（）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.‎ ‎【详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎7.若直线过圆的圆心，则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆的圆心，代入直线方程，由此求得的值.‎ ‎【详解】依题意可知，圆的圆心为，代入直线方程得，解得，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查由圆的一般方程求圆心坐标，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎8.如图，向量，，，则向量可以表示为（）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.‎ ‎【详解】依题意，即，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.‎ ‎9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线，故A选项错误.对于B选项，两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行，故B选项错误.对于C选项，两条直线都跟同一个平面平行，它们可能相交、异面或者平行，故C选项错误.对于D选项，根据平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知，D选项命题正确.综上所述，本小题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.‎ 详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ 第二部分（非选择题共60分）‎ 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．‎ ‎11.在△中，，，，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.‎ ‎【详解】由余弦定理得，由于，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎12.某住宅小区有居民万户，从中随机抽取户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：‎ 宽带 租户 业主 已安装 未安装 则该小区已安装宽带的居民估计有______户．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出抽样中已安装宽带的用户比例，乘以总人数，求得小区已安装宽带的居民数.‎ ‎【详解】抽样中已安装宽带的用户比例为，故小区已安装宽带的居民有户.‎ ‎【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，考查频率的计算，属于基础题.‎ ‎13.已知点，，则向量______，与向量同向的单位向量为 ‎_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，通过求得同方向的单位向量.‎ ‎【详解】依题意，故同方向的单位向量为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量同方向的单位向量的求法.‎ ‎14.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.‎ ‎【详解】由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.‎ ‎15.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎【解析】‎ 为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．‎ 解法1 作正方体ABCD－A1B‎1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．‎ 对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．‎ 对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．‎ 对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．‎ 对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．‎ 对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．‎ 综合得本题的答案为①④⑤．‎ 解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：‎ 在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．‎ 在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．‎ 在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．‎ 在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．‎ 在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．‎ 至此，得①④⑤为本题答案．‎ 三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16.已知向量，满足：，，．‎ ‎（Ⅰ）求与的夹角；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）因为，‎ 所以．‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 由已知，，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角计算，考查向量模的求法，属于基础题.‎ ‎17.在△中，若．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求△的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的大小.（II）利用余弦定理求得的值，再根据三角形面积公式求得三角形面积.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理可知，，‎ 所以．‎ 所以．‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，‎ ‎．‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以△的面积．‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎18.年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民人，记录他们的年龄，将数据分成组：，，，…，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于的概率；‎ ‎（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到）；‎ ‎（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）计算之间的频率和，由此估计出年龄不小于的概率.（II）从左往右，计算出频率之和为的位置，由此估计中中位数.（III）用各组中点值乘以频率人后相加，求得居民平均年龄的估计值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件,‎ 所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为.‎ ‎（Ⅱ）年龄在的累计频率为,‎ ‎,‎ 所以估计中位数.‎ ‎（Ⅲ）平均年龄为 ‎【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，与交于点，，分别为，的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求证：平面.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）通过证明平面来证得平面平面.（II）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得∥平面.（III）通过证明平面证得，通过计算证明证得，由此证得平面.‎ ‎【详解】证明：（Ⅰ）因为平面，‎ 所以.‎ 因为，，‎ 所以平面 因为平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）取中点，连结，因为为的中点 所以，且.‎ 因为为的中点，底面为正方形，‎ 所以，且.‎ 所以，且.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 因为平面且平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅲ）在正方形中，，‎ 因为平面，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以平面.‎ 所以 在△中，设交于.‎ 因为，‎ 且分别为的中点，‎ 所以.所以.‎ 设，由已知，‎ 所以.所以.‎ 所以.‎ 所以，且为公共角，‎ 所以△∽△.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以平面.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.‎ ‎（1）求圆的标准方程：‎ ‎（2）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 不存在这样的直线.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.‎ 试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知 解得a=1或a=， 3分 又∵S=πR2<13，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4． 6分 ‎（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．‎ 当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 又∵l与圆C相交于不同的两点，‎ 联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， 9分 ‎∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，‎ 解得或．‎ x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，‎ ‎，，‎ 假设∥，则，‎ ‎∴，‎ 解得，假设不成立．‎ ‎∴不存在这样的直线l． 13分 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.‎