2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (天津卷) 精校版

2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (天津卷) 精校版

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学(天津卷)‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．‎ ‎1．设全集为，集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A．6 B．19 C．21 D．45‎ ‎3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ‎7．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ 第II卷 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．‎ ‎9．是虚数单位，复数___________．‎ ‎10．在的展开式中，的系数为____________．‎ ‎11．已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点 ‎，，，，(如图)，则四棱锥的体积为__________．‎ ‎12．已知圆的圆心为，直线(为参数)与该圆相交于，两点，则的面积为___________．‎ ‎13．已知，，且，则的最小值为_____________．‎ ‎14．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知 ‎，‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）设，，求和的值．‎ ‎16．（13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．‎ ‎（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．‎ ‎①用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；‎ ‎②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．‎ ‎17．（13分）如图，且，，且，且，平面，．‎ ‎（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．‎ ‎18．（13分）设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，，‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，‎ ‎①求；②证明．‎ ‎19．（14分）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点．若(为原点)，求的值．‎ ‎20．（14分）已知函数，，其中．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；‎ ‎（3）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 答 案(天津卷)‎ 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B C B A D A C A 第II卷 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．‎ ‎9．【答案】‎ ‎10．【答案】‎ ‎11．【答案】‎ ‎12．【答案】‎ ‎13．【答案】‎ ‎14．【答案】‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，‎ 又由，得，‎ 即，可得．‎ 又因为，可得．‎ ‎（2）在中，由余弦定理及，，，‎ 有，故．‎ 由，可得．因为，故．‎ 因此，，‎ 所以，．‎ ‎16．【答案】（1）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎（2）①答案见解析；②．‎ ‎【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，‎ 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎（2）（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．‎ ‎．‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望．‎ ‎（2）设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；‎ 事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，‎ 则，且与互斥，‎ 由（1）知，，，‎ 故．‎ 所以，事件发生的概率为．‎ ‎17．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】依题意，可以建立以为原点，‎ 分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），‎ 可得，，，，‎ ‎，，，，．‎ ‎（1）依题意，．‎ 设为平面的法向量，则即，‎ 不妨令，可得．‎ 又，可得，‎ 又因为直线平面，所以平面．‎ ‎（2）依题意，可得，，．‎ 设为平面的法向量，则即，‎ 不妨令，可得．‎ 设为平面的法向量，则即，‎ 不妨令，可得．‎ 因此有，于是．‎ 所以，二面角的正弦值为．‎ ‎（3）设线段DP的长为，则点的坐标为，‎ 可得．易知，为平面的一个法向量，‎ 故，‎ 由题意，可得，解得．‎ 所以线段的长为．‎ ‎18．【答案】（1），；（2）①；②证明见解析．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为．由，，‎ 可得因为，可得，故，‎ 设等差数列的公差为，由，可得，‎ 由，可得，从而，，故，‎ 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．‎ ‎（2）①由（1），有，‎ 故，‎ ‎②因为，‎ 所以．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，由已知有，‎ 又由，可得．由已知可得，，，‎ 由，可得，从而，．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（2）设点的坐标为，点的坐标为．‎ 由已知有，故．‎ 又因为，而，故．‎ 由，可得．‎ 由方程组消去，可得．‎ 易知直线的方程为，‎ 由方程组消去，可得．‎ 由，可得，‎ 两边平方，整理得，‎ 解得，或．所以，的值为或．‎ ‎20．【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；‎ ‎（2）证明见解析；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由已知，，有，‎ 令，解得．‎ 由，可知当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 所以函数的单调递减区间，单调递增区间为．‎ ‎（2）由，可得曲线在点处的切线斜率为，‎ 由，可得曲线在点处的切线斜率为，‎ 因为这两条切线平行，故有，即，‎ 两边取以为底的对数，得，所以，‎ ‎（3）曲线在点处的切线，‎ 曲线在点处的切线，‎ 要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，‎ 只需证明当时，存在，，使得和重合．‎ 即只需证明当时，方程组有解，‎ 由①得，代入②，得③，‎ 因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解．‎ 设函数，‎ 即要证明当时，函数存在零点．‎ ‎，可知时，；‎ 时，单调递减，‎ 又，，‎ 故存在唯一的，且，使得，即，‎ 由此可得在上单调递增，在上单调递减．‎ 在处取得极大值，因为，故，‎ 所以，‎ 下面证明存在实数，使得，‎ 由（1）可得，当时，‎ 有，‎ 所以存在实数，使得，‎ 因此，当时，存在，使得，‎ 所以，当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．‎