2013年江西省高考数学试卷（理科）

2013年江西省高考数学试卷（理科）

‎2013年江西省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（　　）‎ A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i ‎2．（5分）函数y=ln（1﹣x）的定义域为（　　）‎ A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]‎ ‎3．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（　　）‎ A．﹣24 B．0 C．12 D．24‎ ‎4．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎5．（5分）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（　　）‎ A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40‎ ‎6．（5分）若S1=x2dx，S2=dx，S3=exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1‎ ‎7．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（　　）‎ A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*i D．S=2*i+4‎ ‎8．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎9．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎　‎ 二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎11．（5分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为　　．‎ ‎12．（5分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为　　．‎ ‎13．（5分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=　　．‎ ‎14．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　　．‎ ‎　‎ 三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．‎ ‎15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）‎ 设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为　　．‎ ‎16．（不等式选做题）‎ 在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为　　．‎ ‎　‎ 四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎18．（12分）正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令b，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n∈N*，都有T．‎ ‎19．（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎（1）求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F ‎（1）求证：AD⊥平面CFG；‎ ‎（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．‎ ‎21．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（14分）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．‎ ‎（1）f（x）的图象关于直线x=对称；‎ ‎（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；‎ ‎（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．‎ ‎　‎ ‎2013年江西省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2013•江西）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（　　）‎ A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i ‎【分析】根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：zi=4，‎ 解得：z=﹣4i．‎ 故选C ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•江西）函数y=ln（1﹣x）的定义域为（　　）‎ A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]‎ ‎【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项 ‎【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）‎ 故选B ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•江西）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（　　）‎ A．﹣24 B．0 C．12 D．24‎ ‎【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．‎ ‎【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2‎ ‎=x（6x+6），解x=﹣3，‎ 故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．‎ ‎【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，‎ 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，‎ 第三个数为08，符合条件，‎ 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，‎ 故第5个数为01．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•江西）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（　　）‎ A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40‎ ‎【分析】利用（x）5展开式中的通项公式Tr+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r，令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（x）5展开式中的常数项．‎ ‎【解答】解：设（x）5展开式中的通项为Tr+1，‎ 则Tr+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r••x10﹣5r，‎ 令10﹣5r=0得r=2，‎ ‎∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1‎ ‎【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．‎ ‎【解答】解：由于S1=x2dx=|=，‎ S2=dx=lnx|=ln2，‎ S3=exdx=ex|=e2﹣e．‎ 且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（　　）‎ A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*i D．S=2*i+4‎ ‎【分析】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，‎ 程序在运行过程中各变量的值如下表示：‎ i S 是否继续循环 循环前1 0/‎ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否 故输出的i值为：5，符合题意．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．‎ ‎【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，‎ 直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•江西）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．‎ ‎【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．‎ 所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），‎ 设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，‎ 则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．‎ 则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．‎ 则=‎ ‎==．‎ 令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．‎ 此时由，解得k=﹣．‎ 故答案为B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．‎ ‎【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；‎ 当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；‎ 当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，‎ 在正△AED中，AE=ED=DA=1，‎ ‎∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．‎ 又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．‎ 故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎11．（5分）（2013•江西）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为　π　．‎ ‎【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．‎ ‎【解答】解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin（2x﹣）+，‎ ‎∵ω=2，∴T=π．‎ 故答案为：π ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为　　．‎ ‎【分析】根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵、为单位向量，且 和 的夹角θ等于，∴=1‎ ‎×1×cos=．‎ ‎∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．‎ ‎∴在上的射影为 =，‎ 故答案为 ．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=　2　．‎ ‎【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．‎ ‎【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，‎ 令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，‎ ‎∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　6　．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，‎ 准线方程与双曲线联立可得：，‎ 解得x=±，‎ 因为△ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，‎ 即，解得p=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ 三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．‎ ‎15．（5分）（2013•江西）（坐标系与参数方程选做题）‎ 设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为　ρcos2θ﹣sinθ=0　．‎ ‎【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．‎ ‎【解答】解：由（t为参数），得y=x2，‎ 令x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ 代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．‎ 即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．‎ 故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．‎ ‎　‎ ‎16．（2013•江西）（不等式选做题）‎ 在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为　[0，4]　．‎ ‎【分析】利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，‎ ‎0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．‎ 所以不等式的解集为[0，4]．‎ 故答案为：[0，4]．‎ ‎　‎ 四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；‎ ‎（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，‎ 即sinAsinB﹣sinAcosB=0，‎ ‎∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，‎ 又B为三角形的内角，‎ 则B=；‎ ‎（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，‎ ‎∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，‎ 则≤b＜1．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•江西）正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令b，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n∈N*，都有T．‎ ‎【分析】（I）由Sn2可求sn，然后利用a1=s1，n≥2时，an=sn﹣sn﹣1可求an ‎（II）由b==，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明 ‎【解答】解：（I）由Sn2‎ 可得，[]（Sn+1）=0‎ ‎∵正项数列{an}，Sn＞0‎ ‎∴Sn=n2+n 于是a1=S1=2‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，而n=1时也适合 ‎∴an=2n ‎（II）证明：由b==‎ ‎∴]‎ ‎=‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎（1）求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求 ‎（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值 ‎【解答】解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种 X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形 所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）==‎ ‎（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1‎ X=﹣2时有2种情形 X=1时有8种情形 X=﹣1时，有10种情形 X的分布列为：‎ ‎ X ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎ 0‎ ‎1 ‎ P EX==‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F ‎（1）求证：AD⊥平面CFG；‎ ‎（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；‎ ‎（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，‎ ‎∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=‎ ‎∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=‎ ‎∴∠EDA=∠EAD=，可得EF⊥AD，AF=FD 又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA ‎∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，‎ ‎∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD 又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；‎ ‎（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得 A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）‎ ‎∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）‎ 设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则 解得y1=﹣，z1=，可得=（1，﹣，），‎ 设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则 解得y2=，z2=2，可得=（1，，2），‎ ‎∴cos＜，＞===‎ 因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos＜，＞=﹣．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；‎ 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 ‎【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①‎ 由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=‎ 故椭圆的方程为 ‎（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③‎ 代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ x1+x2=，④‎ 在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），‎ 从而，，=k﹣‎ 注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）‎ ‎=2k﹣×⑤‎ ‎④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1‎ 又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3‎ 故存在常数λ=2符合题意 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为 令x=4，求得M（4，）‎ 从而直线PM的斜率为k3=，‎ 联立，得A（，），‎ 则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=‎ 所以k1+k2=+=2×=2k3，‎ 故存在常数λ=2符合题意 ‎　‎ ‎22．（14分）（2013•江西）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．‎ ‎（1）f（x）的图象关于直线x=对称；‎ ‎（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；‎ ‎（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．‎ ‎【分析】（1）只要证明成立即可；‎ ‎（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；‎ ‎（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．‎ ‎【解答】（1）证明：∵==a（1﹣2|x|），=a（1﹣2|x|），‎ ‎∴，∴f（x）的图象关于直线x=对称．‎ ‎（2）解：当时，有f（f（x））=．‎ ‎∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．‎ 当时，有f（f（x））=．‎ ‎∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．‎ 当时，有f（f（x））=，‎ ‎∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．‎ 由f（0）=0，，，．‎ 故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．‎ ‎（3）由（2）得，．‎ ‎∵x2为函数f（x）的最大值点，∴，或．‎ 当时，S（a）=••|﹣|=．‎ 求导得：S′（a）=．‎ ‎∴当时，S（a）单调递增，当 时，S（a）单调递减．‎ 当时，S（a）=，求导得．‎ ‎∵，从而有．‎ ‎∴当时，S（a）单调递增．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；xintrl；caoqz；minqi5；wfy814；qiss；sxs123；邢新丽；吕静；ywg2058；沂蒙松（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日