江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：求出集合 ，即可得到. ‎ 详解： ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.‎ ‎2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题得. 故选C.‎ ‎3.总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（　　）‎ 附：第6行至第9行的随机数表 ‎2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950‎ ‎3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732‎ ‎2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620‎ ‎7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125‎ A. 3 B. 16 C. 38 D. 20‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由简单随机抽样，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，按题目要求取出结果 ‎【详解】按随机数表法，从随机数表第6行第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，‎ 则选出的第3个个体的编号为20， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了简单随机抽样，属简单题 ‎4.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据截面与底面所成的角是45°，根据直角三角形写出椭圆的长轴长，而椭圆的短轴长是与圆柱的底面直径相等，求出的值，根据椭圆的离心率公式，代入的值，求出结果．‎ ‎【详解】设圆柱底面圆的半径为，‎ ‎∵与底面成45°角的平面截圆柱，‎ ‎∴椭圆的半长轴长是，‎ 半短轴长是，‎ ‎∴，‎ - 22 -‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查平面与圆柱的截线，考查椭圆的性质，考查等腰直角三角形的边长之间的关系，是一个比较简单的综合题目，题目涉及到的知识比较多 ‎5.棱长为1的正四面体中，点和分别是边和的中点，则线段的长度为（　　）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，则，故而，利用勾股定理计算即可 ‎【详解】连接，‎ ‎∵正四面体棱长为1，是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，空间距离的计算，属于基础题 - 22 -‎ ‎6.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求得，进一步得到的值．‎ ‎【详解】由，得，则．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．‎ ‎7.一直线与平行四边形中的两边分别交于点，且交其对角线于点，若，则（　　）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可画出图形，根据条件可得出，然后根据三点共线即可得出，解出即可．‎ ‎【详解】如图，‎ - 22 -‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ ‎∵三点共线；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，由三点共线及可得出．‎ ‎8.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程 ‎【详解】函数，若为奇函数， ‎ 可得，所以函数，可得，； ‎ 曲线在点处的切线的斜率为：5， ‎ 则曲线在点处的切线方程为：．即． ‎ - 22 -‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力，较为基础 ‎9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（　　）‎ A. 1125里 B. 920里 C. 820里 D. 540里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前项和，设出天数，根据题意得到相等数量关系，求出结果 ‎【详解】设良马每天所行路程为，则是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前项和为，弩马每天所行路程为，则是以97为首项，以为公差的等差数列，其前项和为，‎ 设共用天二马相逢，‎ 则，‎ 所以，‎ 化简得，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的前项和，属于基础题．‎ ‎10.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 取的中点为，可证得平面平面，即的面积即为所求，然后利用梯形的面积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 取的中点为.‎ 易知，，所以四边形为平行四边形，所以.‎ 又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.‎ 由，，所以四边形为梯形，高为.‎ 所以面积为：.‎ 故选B.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题.‎ ‎11.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得的值，可得，得到结果 ‎【详解】∵角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，‎ 终边上有两点，且，‎ ‎∴，易知 解得，∴，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎12.已知函数，且，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行等价转化进行求解即可．‎ ‎【详解】，即函数是偶函数，且，‎ 当时，为增函数，为增函数，是增函数，即是增函数，‎ 则不等式等价为，‎ 则，即，‎ 即取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.函数（且）恒过的定点坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由对数函数的性质，令，则，此时函数恒过定点．‎ 考点：对数函数的图象与性质．‎ ‎14.已知实数满足，则的最小值为______．‎ - 22 -‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出满足条件的平面区域，将转化为：，由图象得：过时，最大，代入求出即可．‎ ‎【详解】画出满足条件的平面区域，‎ 如图所示：‎ ‎，‎ 将转化为：，‎ 由图象得：过时，最大，‎ ‎．‎ 的最小值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．‎ ‎15.已知直线与圆相交于两点，若，则 - 22 -‎ ‎______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件结合弦长，运用勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求得值 ‎【详解】‎ 解：圆圆心为，半径为3，‎ 在中，，‎ 即圆心到直线的距离为1，由点到直线的距离公式得，，‎ 所以或；‎ 故答案或；‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆，弦长，点到直线的距离公式，属于简单题．‎ ‎16.在中，内角所对应的边长为，若，的面积为，则外接圆的面积=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可以求得，再利用正弦定理可求得外接圆半径，进而得解三角形外接圆的面积．‎ - 22 -‎ ‎【详解】在中，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴由余弦定理得：，解得；‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ ‎∴，可得：外接圆的面积．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用，重点考查正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）625‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件进行化简，再根据公式，列方程求解即可 ‎（2）由的表达式，根据二次函数的性质求出最大值 ‎【详解】（1），∴‎ 由得，得：，解得 故，‎ ‎（2）由（1），得．‎ 由二次函数的性质，当时有最大值625．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，属基础题．‎ - 22 -‎ ‎18.如图，在正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，设与交于点，过点作，垂足为．‎ ‎（1）求证：底面；‎ ‎（2）若四棱锥的体积为，求正方形的边长．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，．再由，，得证 ‎（2）设正方形边长为，连接，推导出，，再利用四棱锥的体积能求出正方形的边长．‎ ‎【详解】证明：‎ ‎（1）在正方形中，，‎ - 22 -‎ ‎∴在的垂直平分线上，∴． ‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，∴． ‎ 又，∴平面，∴．‎ 又，故底面．‎ ‎（2）设正方形边长为，连接，‎ 在正方形中，，‎ ‎∴，∴，∴， ‎ 又，∴，‎ 又四边形的面积． ‎ ‎∴四棱锥的体积，‎ 解得正方形的边长．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查正方形边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力 ‎19.某书店为了了解销售单价（单位：元）在内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：‎ 已知样本中销售单价在内的图书数是销售单价在内的图书数的2倍．‎ ‎（1）求出与，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从销售单价在内的图书中共抽取40本，求单价在6‎ - 22 -‎ 组样本数据中的图书销售的数量；‎ ‎（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）6本；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出与，再根据直方图求出平均值； ‎ ‎（2）根据分层抽样是按比例抽样可得结果； ‎ ‎（3）用列举法和古典概型概率公式求出结果 ‎【详解】（1）样本中图书的销售单价在内的图书数是，‎ 样本中图书的销售单价在内的图书数是，‎ 依据题意，有，即，①‎ 根据频率分布直方图可知，②‎ 由①②得． ‎ 根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为 ‎=0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9（元）‎ ‎（2）因为销售单价在的图书的分层抽样比为1：2：4：6：4：3，故在抽取的40本图书中，销售单价在内的图书分别为 - 22 -‎ ‎（本）‎ ‎（3）这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于10元的2本，记这2本为，另外4本记为，从中抽取2本的基本事件有：‎ 共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：‎ 这2本书价格都不低于10元的概率．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样及概率问题，较为简单 ‎20.已知两点在抛物线上，点满足．‎ ‎（1）若线段，求直线的方程；‎ ‎（2）设抛物线过两点的切线交于点．求证：点在一条定直线上．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据韦达定理表示出，根据弦长公式计算即可 .‎ ‎（2）先表示出过点的切线和过点的切线，然后两直线联立可求出点的坐标，即可得到点在定直线上．‎ ‎【详解】（1）设，‎ 与联立得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，即，‎ - 22 -‎ 解得：（舍），所以直线的方程 ‎（2）证明：过点的切线：‎ ‎，①，‎ 过点的切线：，②，‎ 联立①②得点，所以点在定直线上．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，考查了计算能力，属于中档题 ‎21.已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，利用导数性质能求出函数在区间上的最大值与最小值 ‎（2）分离参量，结合题意中的恒成立，构造新函数，运用导数求出函数的最小值 ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，‎ 令，则， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增， ‎ - 22 -‎ ‎∴，‎ ‎． ‎ ‎（2）∵对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立．‎ 令，则．‎ 由于，所以在上单调递增．‎ 又，，‎ 所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．‎ 即在单调递减，在上单调递增．‎ ‎∴． ‎ 又，即，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．‎ 又∵对任意恒成立，∴，‎ 又，∴．‎ ‎【点睛】本题考查运用导数求函数的最值及恒成立问题，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 - 22 -‎ ‎22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）若曲线与曲线相切，求的值；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于A，B两点，且|AB|=，求a的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先把曲线和曲线化成普通方程，再根据点到直线距离等于半径列等式可解得；‎ ‎（2）联立直线与曲线的参数方程，利用参数的几何意义可得答案 ‎【详解】（1）直线的直角坐标方程为．‎ 圆的普通方程为． ‎ 因为直线与圆相切，所以． ‎ ‎（2）把的参数方程：（为参数）代入曲线的普通方程：‎ 得，故， ‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，较为简单 - 22 -‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若均为正数，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论的范围，求出各个区间上的的范围，取并集即可；‎ ‎（2）求出的值，根据基本不等式求出的最小值即可 ‎【详解】（1）因为，‎ 由可得或或得不等式解集为．‎ ‎（2）由（1）知，在单调递减，在上单调递增，‎ 所以．‎ 因为是正数，则，当且仅当时取等号．‎ 又因为，所以，‎ 则的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式以及转化思想，是一道常规题 - 22 -‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎