2018-2019学年江西省上高二中高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省上高二中高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上高二中高二下学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若复数（其中为虚数单位，）为纯虚数，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先利用复数的除法将复数表示为一般形式，结合题中条件求出的值，再利用复数求模公式求出.‎ ‎【详解】‎ ‎，由于复数为纯虚数，所以，，得，‎ ‎，因此，，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法、复数的概念以及复数求模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查数学归纳法．依题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2，故选B.‎ ‎3．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）‎ A．分层抽样 B．回归分析 C．独立性检验 D．频率分布直方图 ‎【答案】C ‎【解析】根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。‎ ‎【详解】‎ 本题考查“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”这两个变量是否有关系，符合独立性检验的基本思想，因此，该题所选择的统计方法是独立性检验，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验适用的基本情形，熟悉独立性检验的基本思想是解本题的概念，考查对概念的理解，属于基础题。‎ ‎4．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】计算出样本的中心点，将该点的坐标代入回归直线方程可得出的值。‎ ‎【详解】‎ 由表格中的数据可得，，‎ 由于回归直线过点，所以，，解得，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线的基本性质，在解回归直线相关的问题时，熟悉结论“回归直线过样本的数据中心点”是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎5．一个袋中装有大小相同的个白球和个红球，现在不放回的取次球，每次取出一个球，记“第次拿出的是白球”为事件，“第次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将事件表示出来，再利用排列组合思想与古典概型的概率公式可计算出事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 事件：两次拿出的都是白球，则，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率计算，解题时先弄清楚各事件的基本关系，然后利用相关公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎6．函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求导，求出函数的单调性，利用单调性来辨别函数的图象，以及函数值符号来辨别函数的图象。‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ 解不等式，即，得；‎ 解不等式，即，得或.‎ 所以，函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为。‎ 令，即，得或；‎ 令，即，得.‎ 所以，符合条件的函数为B选项中的图象，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎7．已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 所以。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。‎ ‎8．若，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，将二项式转化为，然后利用二项式定理求出的系数，列方程求出实数的值。‎ ‎【详解】‎ 令，则，所以，‎ 展开式的通项为，令，得，‎ ‎，解得，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理，考查利用二项式定理指定项的系数求参数的值，解题的关键依据指数列方程求参数，利用参数来求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎9．随机变量服从正态分布 ‎，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用正态密度曲线的对称性得出，再将代数式与相乘，展开后可利用基本不等式求出的最小值。‎ ‎【详解】‎ 由于，由正态密度曲线的对称性可知，，‎ 所以，，即，，‎ 由基本不等式可得 ‎ ，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎10．安排位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（ ）种 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用间接法，在甲同学与乙同学相邻的所有排法种减去甲同学既与乙同学相邻，又与乙同学相邻的排法种数，于此可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 先考虑甲同学与乙同学相邻，将这两位同学捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法总数为种，‎ 再考虑甲同学既与乙同学相邻又与丙同学相邻的相邻的情况，即将这三位同学捆绑，且将甲同学置于正中间，与其余两位同学形成三个元素，此时，排法数为.‎ 因此，所求排法数为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合问题，问题中出现了相邻，考虑用捆绑法来处理，需要注意处理内部元素与外部元素的排法顺序，结合分步计数原理可得出答案。‎ ‎11．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为、中点，‎ ‎，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．‎ 解法二:‎ 设，分别为中点，‎ ‎，且，为边长为2的等边三角形，‎ 又 中余弦定理，作于，，‎ 为中点，，，‎ ‎，，又，两两垂直，，，，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．‎ ‎12．已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：‎ ‎①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.‎ 其中正确的序号是（ ）‎ A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项和，结合这些规律来判断各题的正误。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：‎ ‎ ‎ 对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为 ‎，命题①正确；‎ 对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，‎ 且数列的前项之和为 ‎，‎ 当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；‎ 对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为 ‎，‎ 第行最后一项位于数列的项数为，且，‎ 则位于数阵第行第项（即），‎ 所以，‎ ‎ ，命题③错误；‎ 由①知，，且，‎ 则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，‎ 则有，可得出，‎ 由于，，则，，‎ 因此，满足的最小正整数，命题④正确。‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】列举出算法的每一步，于此可得出该算法输出的结果。‎ ‎【详解】‎ 成立，，，，；‎ 不成立，输出的值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法与程序框图，要求读懂程序框图，解题时一般是列举每次循环，并写出相应的结果，考查推理能力，属于基础题。‎ ‎14．设双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】写出双曲线的渐近线方程，将渐近线与圆相切，转化为圆心到渐近线的距离等于圆的半径，于此可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，‎ 且，圆心到渐近线的距离为，‎ 化简得，解得，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线以及直线与圆相切的问题，问题的关键就是将双曲线的渐近线方程表示出来，同时也要注意直线与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎15．曲线与直线围成的封闭图形的面积为__________.‎ ‎【答案】－‎ ‎【解析】做出如图所示：，可知交点为，因此封闭图形面积为：‎ 点睛：定积分的考察，根据题意画出图形，然后根据定积分求面积的方法写出表达式即可求解 ‎16．在平面几何中，若正方形的内切圆面积为外接圆面积为则 ‎，推广到立体几何中，若正方体的内切球体积为外接球体积为，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果。‎ ‎【详解】‎ 正方形的内切圆半径为 外接圆半径为，半径比，面积比为半径比的平方，类比正方正方体内切球半径为 外接球半径为，径比，所以体积比是半径比的立方=，填。‎ ‎【点睛】‎ 立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果。‎ 三、解答题 ‎17．已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为.的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；‎ ‎（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的直角坐标方程：，的普通方程：；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围．‎ 试题解析：（I）的直角坐标方程：，‎ 的普通方程：． 5分 ‎（II）由（I）知，为以为圆心，为半径的圆，‎ 的圆心到的距离为，则与相交，‎ 到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为 ‎．‎ ‎【考点】（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式．‎ ‎18．已知函数的最大值为4.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】【试题分析】(1)利用绝对值不等式,消去,可求得实数的值.(2)由(1)得.利用配凑法,结合基本不等式可求得最小值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由，‎ 当且仅当且当时取等号，此时取最大值，即；‎ ‎（2）由（1）及可知，∴，‎ 则，（当且仅当，即时，取“=”）‎ ‎∴的最小值为4.‎ ‎19．如图所示，四边形为菱形，且，，，且，平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的正弦值为.‎ ‎【解析】试题分析: （1）先证得平面,再根据面面垂直的判定定理得出结论;(2)建立合适的空间直角坐标系,分别求出平面AEF和平面ABE的法向量,利用二面角的公式求解即可.‎ 试题解析:‎ ‎（1）∵平面,∴平面,‎ ‎ 又平面,∴平面平面.‎ ‎（2）设与的交点为,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则，‎ ‎∴‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，‎ 令，则，∴.‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，‎ 令，则，∴.‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的正弦值为.‎ ‎20．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.‎ ‎（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？‎ ‎【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大 ‎【解析】试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；‎ ‎（2）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3 ‎ ‎；；； ‎ 应聘者甲正确完成题数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ 设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3 ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 应聘者乙正确完成题数的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎（或∵∴） ‎ ‎（2）因为，‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；‎ ‎ 从做对题数的方差考查，甲较稳定；‎ ‎ 从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大 ‎21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线、，其中直线交椭圆于两点，直线交直线于点，求证：直线平分线段.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】（1）利用，得到，然后代入点即可求解 ‎（2）设直线，以斜率为核心参数，与椭圆联立方程，把两点全部用参数表示，得出的中点坐标为，然后再求出直线的方程，代入的中点即可证明成立 ‎【详解】‎ ‎（1）由得，所以 ‎ 由点在椭圆上得解得， ‎ ‎ ‎ 所求椭圆方程为 ‎ ‎（2）解法一：当直线的斜率不存在时，直线平分线段成立 当直线的斜率存在时，设直线方程为， ‎ 联立方程得，消去得 ‎ 因为过焦点，所以恒成立，设，，‎ 则， ‎ ‎ ‎ 所以的中点坐标为 ‎ 直线方程为，，可得， ‎ 所以直线方程为，‎ 满足直线方程，即平分线段 ‎ 综上所述，直线平分线段 ‎（2）解法二：因为直线与有交点，所以直线的斜率不能为0，‎ 可设直线方程为， ‎ 联立方程得，消去得 ‎ 因为过焦点，所以恒成立，设，，‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 所以的中点坐标为 ‎ 直线方程为，，由题可得， ‎ 所以直线方程为，‎ 满足直线方程，即平分线段 ‎ 综上所述，直线平分线段 ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆标准方程，以及证明直线过定点问题，属于中档题 ‎22．设函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，‎ ‎（i）证明恰有两个零点 ‎（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.‎ ‎【答案】（I）在内单调递增.；‎ ‎（II）（i）见解析；（ii）见解析.‎ ‎【解析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；‎ ‎（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；‎ ‎（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）解：由已知，的定义域为，‎ 且，‎ 因此当时，，从而，‎ 所以在内单调递增.‎ ‎（II）证明：（i）由（I）知，，‎ 令，由，可知在内单调递减，‎ 又，且，‎ 故在内有唯一解，‎ 从而在内有唯一解，不妨设为，‎ 则，当时，，‎ 所以在内单调递增；‎ 当时，，‎ 所以在内单调递减，‎ 因此是的唯一极值点.‎ 令，则当时，，故在内单调递减，‎ 从而当时，，所以，‎ 从而，‎ 又因为，所以在内有唯一零点，‎ 又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.‎ ‎（ii）由题意，，即，‎ 从而，即，‎ 因为当时，，又，故，‎ 两边取对数，得，‎ 于是，整理得，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎