江西省赣州市宁都县宁师中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

江西省赣州市宁都县宁师中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

数学试卷 一：选择题 ‎1.命题“，使”的否定是（ ）‎ A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题进行判断.‎ ‎【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎321 421 292 925 274 632 802 478 598 663 ‎ ‎531 297 396 021 406 318 235 113 507 965‎ 据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（ ）‎ A. 0.30 B. 0.35 C. 0.40 D. 0.45‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由小张20组随机数中三次射击恰有两次命中十环的共有8组，结合古典概型概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，小张三次射击恰有两次命中十环的421 292 274 632 802 478 663‎ ‎406， 共有8组，所以小张三次射击恰有两次命中十环的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎3.《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如果所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为0，则输出的的值为（ ）‎ A. -21 B. -45 C. -93 D. -189 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行给定的程序框图，逐次计算循环的结果，根据判断条件，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，执行给定的程序框图，可得，‎ 第1次循环：，满足条件，；‎ 第2次循环：，满足条件，；‎ 第3次循环：，满足条件，；‎ 第4次循环：，不满足条件，输出结果.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与结果输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次准确计算，结合判断条件得出输出的结果是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.如图所示为底面积为2的某棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据给定的几何体的三视图可得，该几何体底面是一个边长为2的等腰直角三角形，且平面的三棱锥，且，又由，由三垂线定理可得，同理，进而根据三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体底面是一个边长为2的等腰直角三角形，‎ 且平面的三棱锥，且，‎ 又由，由三垂线定理可得，同理，‎ 所以均为直角三角形，‎ 由，所以，‎ 又由，所以 因为底面是腰长为2的等腰直角三角形，所以底面面积，‎ 所以该四棱锥的表面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，其中还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎5.有两条不同的直线与两个不同的平面，下列结论中正确的是（ ）‎ A. ，则 B. ，且，则 C. ，则 D. 且，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中的直线与直线，直线与平面，以及平面与平面之间的位置关系，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】对于A中，由，只有再满足时，可得，所以A项不正确；‎ 对于B中，由，可得，又由 ，所以可得，所以B是正确的；‎ 对于C中，由，则或在内，所以不正确；‎ 对于D中，由且，则相交、平行或异面，所以不正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定及应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎6.在边长为2的菱形中，，则在方向上的投影为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用菱形的性质以及平面向量的投影的定义和计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，因为边长为2的菱形中，，‎ 可得向量和的夹角为，‎ 所以在方向上的投影为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的几何意义，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.‎ ‎【详解】在中，，，可得，‎ 则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，‎ 因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，‎ 则，即外接球半径，‎ 则三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ ‎8.已知定义在上的函数，若是奇函数， 是偶函数，当时，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是奇函数，且是偶函数，推得，得出函数是以4为周期的周期函数，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，定义在上的函数，因为是奇函数，所以，‎ 又由是偶函数，则函数关于对称，即，‎ 所以，即，‎ 则，所以，‎ 所以函数是以4为周期的周期函数，且当时，，‎ 又由.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的周期性的应用，其中解答中合理利用函数的奇偶性和对称性，求得函数是以4为周期的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎9.如图，已知三棱柱各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．‎ ‎【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）． 平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1‎ 与BM所成的角， 在△A2BM中， ‎ ‎ ． 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．‎ ‎10.已知正项等比数列满足 ，若存在两项， ，使得，则的最小值为（ ）‎ A B. C. D. 3 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正项等比数列的公比为，且，由，求得，再由，求得，结合基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】设正项等比数列的公比为，且，‎ 由，可得，即，‎ 解得或（舍去），‎ 因为，所以，可得，‎ 即，解得，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等成立，‎ 所以最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，以及利用“1‎ ‎”的代换和基本不等式求解最值问题，着重考查了推理与计算能力，同时注意等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎11.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则函数在上的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角函数的图象变换，求得函数，再利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 得到，所得的图象关于轴对称，‎ 则，当时，，所以，‎ 由，则，‎ 所以当，即时，函数取得最小值，‎ 此时最小值为.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. a=0 B. C. D. 或a=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数有2个零点，转化为函数与的图象有两个交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示，‎ 当时，，可得当时，，‎ 要使得函数有2个零点，即函数与的图象有两个交点，‎ 结合图象，可得或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有2个零点，转化为两个函数与的图象有两个交点，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二．填空题 ‎13.有下列几个命题：①若，则；②“若，则互为相反数”的否命题“；③“若则”的逆命题；④“若，则互为倒数”的逆否命题. 其中真命题的序号__________.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①中，根据不等式的性质，即可判定；对于②③④中，根据四种命题的等价关系，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，对于①中，，由时，的符号不能确定，所以不正确；‎ 对于②中，命题“若，则互为相反数”的逆命题为“若互为相反数，‎ 则”为真命题，所以原命题的否命题也为真命题，所以②为真命题；‎ 对于③中，命题“若，则”的逆命题为“若，则”，‎ 当时，不成立，所以③假命题；‎ 对于④中，命题“若，则互为倒数”是真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题，所以④是真命题.‎ 故答案为：②④.‎ ‎【点睛】本题主要考查了真假命题的判定，其中解答中熟记四种命题的关系，以及不等式的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎14.已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组表示的平面区域，求得，设出圆的方程，列出方程组，求得为的值，即可得到圆的方程，得到答案.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，‎ 由，解得，其中，‎ 设圆的方程为，‎ 将点，代入圆的方程，可得，‎ 解得，即圆的方程，‎ 即圆的标准方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，以及圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4：20-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设甲乙两人第分钟和第分钟到达，得到，再得到甲乙两人约好当其中一人先到后最多等对方10分钟，即，利用面积比的几何概型，即可求解.‎ ‎【详解】因为乙两位合伙人,约定在当天下午4：20-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，‎ 设甲乙两人各在第分钟和第分钟到达，‎ 则样本空间为，作出图象，如图所示，‎ 则正方形的面积为，‎ 又由甲乙两人约好当其中一人先到后最多等对方10分钟，即，‎ 可得阴影部分的面积为，‎ 所以由几何概型的概率计算公式，可得概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎16.在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________‎ ‎①存在点，使得平面平面；‎ ‎②存在点，使得平面平面；‎ ‎③的面积可能等于；‎ ‎④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得 ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及三角形的面积公式和投影的定义，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】①如图所示，当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，‎ 且，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面，故正确；‎ ‎②如图所示，取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，‎ 则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，‎ 所以平面，故正确；‎ ‎③如图所示，作，在中根据等面积得：，‎ 根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，‎ 则，故正确；‎ ‎④如图所示，设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.‎ 故答案为 ①②③④‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟练应用正方体的结构特征，熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.‎ 三．解答题 ‎17.设命题实数满足，命题实数满足，其中．‎ ‎（I）若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I） ‎ ‎（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据的真假判断条件：一假即假，求得实数的取值范围；‎ ‎（II）根据已知得的范围是的范围的一部分，可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（I） 若时，命题命题 ‎ 要使为真，则 ‎ 故实数的取值范围：得解.‎ ‎（II）命题命题 要使是的充分不必要条件，则 解得 ‎ 故实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查复合命题真假判断和充分必要条件，属于基础题.‎ ‎18.已知数列，，，.‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）设（），求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列的定义进行证明．（2）根据（1）以及，在利用分组求和的方法即可求处数列的和．‎ ‎【详解】（1）依题意，，‎ 所以，是首项为2、公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）得：，，‎ 数列的前项和为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及利用分组求和的方法求数列的前n项和．考查学生的运算能力．‎ ‎19.越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表周数 周数x ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1.‎ 正常值y ‎55‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎99‎ 其中，，，‎ ‎（1）作出散点图；‎ ‎（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回方程（精确到0.01）‎ ‎（3）根据经验观测值为正常值0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及以上为重度焦虑．若为中度焦虑及以上，则要进行心理疏导．若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据表格中的数据描点作图可得;‎ ‎(2)先计算出 和,再代入公式求得,和,然后代入回归直线方程可得;‎ ‎(3)用观测值比正常值后,结合题目中数据作比较可得.‎ ‎【详解】(1) 散点图如下:‎ ‎(2)因为, ‎ ‎ ,,‎ 所以所求回归方程为:.‎ ‎(3)因为,为中度焦虑,所以该学生需要进行心理疏导.‎ ‎【点睛】本题考查了散点图和回归直线方程,属中档题.‎ ‎20.将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，‎ ‎，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：为线段中点；‎ ‎（3）求二面角的大小的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3） ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（2）由AD在平面ABC上的射影与BC垂直，即可证明； （2）通过计算，求得AD=BD，再由等腰三角形高线即中线的性质证得； （3）利用射影定理作出二面角D-AC-B的平面角，再由正弦定义求得．‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：由已知D在平面ABC上的射影 O恰好在AB上, ∴DO⊥平面ABC，‎ ‎∴AO是AD在平面ABC上的射影． ‎ 又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD． ‎ ‎(2)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC 又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC ‎ 又∵BD 平面ADB，∴AD⊥BD， ‎ 在RT⊿ABD中，由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD,‎ ‎∴O是AB的中点. ‎ ‎ (3)解：过D作DE⊥AC于E，连结OE，‎ ‎∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC ‎∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角， ‎ 且 即二面角D－AC－B的正弦值为．‎ ‎21.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的平均数和中位数；‎ ‎（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．‎ ‎【答案】（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图的性质得出的值；‎ ‎（2）根据平均数和中位数的定义得出；‎ ‎（3）由题意，满意度评分值为的人的频率为0.005，故人数为5，根据男女比例得出男女人数，根据列举的值随机抽取2人共10个基本事件，根据古典概型得出.‎ ‎【详解】（1）由，解得． ‎ ‎（2）这组数据的平均数为． ‎ 中位数设为，则，解得 ‎ ‎（3）满意度评分值在内有人，‎ 其中男生3人，女生2人．记为 ‎ 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，‎ 利用古典概型概率公式可知.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有直方图的性质，应用直方图求中位数和平均数，古典概型概率公式，属于简单题目.‎ ‎22.已知向量，，记函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且、、成等差数列，，求的面积S的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得，所以不等式可化为：，进而得出答案．‎ ‎（2））由（1）知：，解得，由正、余弦定理及得：，从而得出，再求出的面积S的值．‎ ‎【详解】（1）由，得：‎ ‎．‎ ‎∴不等式可化为：，∴，．‎ 即：，∴不等式的解集为：‎ ‎（2）由（1）知：，∴，‎ 又∵，∴，∴，∴‎ 因为、、成等差数列，所以 再由正、余弦定理及得：，‎ ‎∴，∴‎ 所以是正三角形，故.‎ ‎【点睛】本题以向量为背景考查三角函数的基本公式以及解三角不等式，考查正、余弦定理和三角形的面积计算，属于一般题．‎ ‎ ‎