2018-2019学年四川省遂宁市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省遂宁市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省遂宁市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则= （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，‎ ‎，‎ ‎∴A∩B＝{﹣1，0，1}．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎2．（ ）‎ A．0 B．1 C．-1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．‎ ‎【详解】‎ sin210°‎ ‎＝sin（180°+30°）+cos60°‎ ‎＝﹣sin30°+cos60°‎ ‎．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．‎ ‎3．下列各式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用根式的性质化简即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A，a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；‎ 对于B，a0＝1，当a＝0时无意义，故B不正确；‎ 对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；‎ 对于D，，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根式的性质，考查学生根式定义的理解，属于基础题.‎ ‎4．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到20分钟是一周的三分之一，进而可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π 将分针拨慢是逆时针旋转 ‎∴钟表拨慢20分钟，则分针所转过的弧度数为 2π 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弧度的定义，一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．‎ ‎5．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过(　　)‎ A．ε B．ε C．2ε D．ε ‎【答案】A ‎【解析】最大误差即为区间长度ε.‎ 答案：A.‎ 点睛：根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足＜，即可得出结论，在用二分法求方程的近似解时，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．‎ ‎6．已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数和对数函数的性质求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵0＜a＝＜0.70＝1，‎ b＝＜＝0，‎ c＝＞＝1，‎ ‎∴b＜a＜c．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．‎ ‎7．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，f（﹣x）＝lnf（x）是奇函数，∵1在区间[﹣1，1]上是单调递减，∴f（x）＝ln在区间[﹣1，1]上是单调递减，错误；‎ 对于B，f（x）＝﹣|x+1|不是奇函数，错误；‎ 对于C，是偶函数，不是奇函数，错误；‎ 对于D, 函数f（x）＝sinx，是奇函数，在[﹣1，1]上单调递增，正确.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是关键．‎ ‎8．设函数，若，则实数的值为（ ）‎ A．±1 B．－1 C．－2或－1 D．±1或－2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由分段函数的解析式，分类讨论求解实数a的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，f（a）＝a；‎ 当a≥0时，有，解得a＝﹣2，（不满足条件，舍去）；‎ 当a＜0时，有，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1．‎ 所以实数a 的值是：a＝﹣1．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎9．已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先明确函数的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵为定义在上的奇函数，‎ ‎∴也为定义在上的奇函数，‎ ‎∵对任意的时，当时，‎ ‎∴为上的单调增函数，又为上的奇函数，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 由可得 即 ‎∴，即 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．‎ ‎10．已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象，可由函数的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）‎ A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】根据图象可知，根据周期为知，过点求得，函数解析式，比较解析式，根据图像变换规律即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由在一个周期内的图象可得 ‎,，解得，图象过点，代入解析式得，‎ 因为，所以，故，‎ 因为，将函数图象上点的横坐标变为原来的得，再向右平移个单位得的图象，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.‎ ‎11．已知函数.若对任意，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据ω，求出周期的范围，结合最值求出ω 和φ的值，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵0＜ω＜1，‎ ‎∴函数的周期T∈（2π，+∞），‎ ‎∵对任意的实数x∈R，，‎ ‎∴f（6）与f（1）一个周期内的函数的最大值，最小值，‎ 则6﹣1＝5，即T，则，‎ 则ω，‎ 则f（x）＝2cos（x+φ），‎ 由f（1）＝2cos（φ）＝﹣2，‎ φ＝2kπ+π，‎ ‎∴φ＝2kπ，又，∴φ＝，‎ 则f（x）＝2cos（x）‎ 则f（2018）＝2cos（2018）＝2cos，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的最值性质求出ω 和φ的值是解决本题的关键．‎ ‎12．已知函数.若对任意的，总存在实数,使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别求出f（x）在R上的值域A，以及g（x）在的值域B，对任意，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，考虑A是B的子集，得到a的关系式，解出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，yy的范围是[，1）；‎ 当时，，‎ ‎∴函数f（x）的值域为A=[，），‎ 由函数g（x）＝，‎ 可知：（1）当a=0时，g（x）＝，其值域B=，‎ 此时A是B的子集，符合题意；‎ ‎（2）当a＞0时，数g（x）＝在单调递增，‎ 其值域为B=，若A是B的子集，则，即 ‎（3）当a＜0时，显然A不是B的子集，不符合题意；‎ 综上：a的取值范围是．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的值域，函数的单调性及运用，同时考查任意的，总存在的类型的解法，注意转化为求函数的值域，以及集合的包含关系，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知集合，则集合为_____．‎ ‎【答案】[，4]‎ ‎【解析】根据题意，分析可得集合M、N，由交集的定义计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，集合M＝{x|log2（x﹣3）≤0}＝（3，4]，‎ N＝{x|y}＝[，+∞），‎ 则M∩N＝[，4]，‎ 故答案为[，4]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集的计算，关键是求出集合M、N．‎ ‎14．已知幂函数在区间是减函数，则实数的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由幂函数的定义可构造方程求得，代入解析式验证，满足在上为减函数的即为结果.‎ ‎【详解】‎ 为幂函数 ，解得：或 当时，函数为，在区间上是增函数，不合题意 当时，函数为，在区间上是减函数，符合题意 综上所述：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据幂函数的定义与性质求解参数值的问题，关键是熟练掌握幂函数的定义，并能根据解析式特征确定函数的单调性.‎ ‎15．已知，则____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数g（x）＝‎ 满足g（﹣x）＝＝﹣g（x），‎ 所以g（x）是奇函数．‎ 函数，f（a）＝4，‎ 可得f（a）＝，可得＝2，‎ 则f（﹣a）＝（﹣a）+2＝﹣2+2＝0．‎ 故答案为0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎16．已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的有:______．‎ ‎①的值域为[-1,1]‎ ‎②为奇函数 ‎③为周期函数，且最小正周期T=4‎ ‎④在[0，2）上为单调增函数 ‎⑤与的图像有且仅有两个公共点 ‎【答案】③⑤‎ ‎【解析】根据已知分析函数f（x）＝sin（[x]）的图象和性质，逐一判断四个结论的真假，可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵表示不超过的最大整数，‎ ‎∴的值域为{﹣1，0，1}，故①错误；‎ ‎∵函数＝sin（[]）‎ ‎∴ sin（）＝0；‎ ‎ sin（）＝1．不是奇函数，故②错误；‎ 作出函数图象，如图所示：‎ 函数y＝f（x）是周期函数，且最小正周期为4，故③正确；‎ 在[0，2）上为单调增函数显然错误，故④错误．‎ 与的图像有且仅有两个公共点，分别是，故⑤正确；‎ 故真命题为：③⑤，‎ 故答案为：③⑤．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中分析出函数f（x）＝sin（[x]）的图象和性质，是解答的关键．‎ 三、解答题 ‎17．求值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）； （2）1 .‎ ‎【解析】（1）利用指数性质、运算法则求解；‎ ‎（2）根据对数性质、运算法则求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式= ；‎ ‎（2）原式==.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意利用指数与对数性质、运算法则的合理运用．‎ ‎18．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，4）．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）的值．‎ ‎【答案】（1）； （2） .‎ ‎【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα的值．‎ ‎（2）由条件利用诱导公式，求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），‎ 故， ‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）得 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．‎ ‎19．已知集合，.‎ ‎（1）若，，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合和集合；‎ ‎（1）由交集定义得到，分别在和两种情况下构造不等式求得结果；‎ ‎（2）由并集定义得到，根据交集结果可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，，解得：，满足 当时，，解得：‎ 综上所述：实数的取值范围为 ‎（2）‎ ‎ ，解得：‎ 实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.‎ ‎20．如图，函数的图像与轴交于点，若时，的最小值为.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间与对称轴方程．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）由特值确定利用，确定出周期性，从而得到；‎ ‎（2）利用的性质确定单调递增区间与对称轴方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）将代入函数得 ‎ 因为，所以．‎ 又因为时, 的最小值为.‎ 可知函数周期为 由，所以 因此 ‎（2）由，‎ 得，‎ 所以函数的单调递增区间为．‎ 由，‎ 得．‎ 所以函数图象的对称轴方程为．‎ ‎【点睛】‎ 函数的性质 ‎(1) .‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间;由求减区间.‎ ‎21．已知函数f（x）=1-（a＞0且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）证明：函数f（x）在定义域（-∞，+∞）内是增函数；‎ ‎（3）当x∈（0，1]时，tf（x）≥2x-2恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a=2（2）见解析（3）[0，+∞）．‎ ‎【解析】（1）由于为上的奇函数，利用性质，即可求出的值.‎ ‎（2）利用定义法即可证明的单调性.‎ ‎（3）利用分离参数法，然后构造函数，利用换元法，结合其单调性，即可求出最大值，从而求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数（且）是定义在上的奇函数，‎ ‎，解得：，经检验满足.‎ ‎（2）证明：设为定义域上的任意两个实数，且，则 又，‎ ‎；‎ ‎，即； ‎ ‎∴函数在定义域内是增函数；‎ ‎（3）由（1）得，当时，；‎ ‎∴当时，恒成立，‎ 等价于对任意的恒成立， ‎ 令，即；‎ 当时成立，即在上的最大值， ‎ 易知在上单增 ‎∴当时有最大值，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了奇函数的性质，单调性证明，以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于恒成立问题，关键是将其等价转化为最值问题.而对于单调性证明，可以运用定义法：‎ ‎（1）取值：从给定区间取，并规定的大小；‎ ‎（2）作差：；‎ ‎（3）变形：对上式进行合理的变形，一般都是将相同结构的合并，然后因式分解；‎ ‎（4）定号：根据式子的特点，以及的大小关系，对 的符号进行判断；‎ ‎（5）下结论：结合单调性的定义作出判断.‎ ‎22．已知集合.‎ ‎（1）判断是否属于；‎ ‎（2）判断是否属于；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）f(x)M； （2）f(x)M；（3）.‎ ‎【解析】（1）f（x），令f（x+1）＝f（x）f（1）⇒，该方程无实数解，从而知函数f（x）不属于集合M；‎ ‎（2）令f（x+1）＝f（x）f（1），依题意可求得2x+2 x 2-2 x -1=0，构造函数g（x）＝2x+2 x 2-2 x -1=0，利用零点存在定理即可证得结论；‎ ‎（3）依题意可求得，设2x＝t＞0，2 t 2+（4 a +2）t+ a 2=0有正根，从而可求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，f(x)f(1)=，f(x+1)= ‎ ‎∵无解， ∴ f(x)M ；‎ ‎（2）∵f(x)f(1)=(2x+x2)(21+12)=3(2 x +x2),f(x +1)=2 x +1+( x +1)2‎ 令3(2 x +x2)= 2 x +1+( x +1)2‎ 即2x+2 x 2-2 x -1=0……（），‎ 令g(x)= 2x+2x2-2x-1‎ ‎∵‎ ‎∴存在，满足 ‎∴f(x)M .‎ ‎（3）∵‎ 所以方程有解 即 整理得，222x+（4a+2）2x + a 2=0‎ 令t =2 x (t>0)‎ ‎∴2 t 2+（4 a +2）t+ a 2=0有正根，‎ 令h(t)= 2t 2+（4 a +2）t + a 2‎ ‎∵h(0)≥ 0，‎ ‎∴‎ 解得 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数及其应用，着重考查方程思想，考查构造函数思想及零点存在定理、二次函数的综合应用，属于难题．‎