2018-2019学年安徽省郎溪中学高二下学期期末模拟数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省郎溪中学高二下学期期末模拟数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省郎溪中学高二下学期期末模拟数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由得出，再确定即可．‎ ‎【详解】‎ 对于集合A，由得，解得，‎ 即，而，所以，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，属于基础题．‎ ‎2．设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出，根据复数模的定义即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ ‎∴，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎3．若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，则（ ）‎ A．-1 B． C．-3 D．-9‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出双曲线的渐近线方程，然后求解两条渐近线斜率分别为，，进而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的两条渐近线为，‎ 可得两条渐近线斜率分别为，，则，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.‎ ‎4．若，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 画出，满足约束条件的平面区域，如图示：‎ 由，解得，‎ 由得，平移直线，‎ 显然直线过时，最大，最大值是7，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A．8 B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先利用三视图转换为如图所示的几何体，结合图中所给数据求出几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 根据几何体的三视图，转换为几何体为如图所示：‎ 下底面为三角形底边长为2，高为2，且底面上的高为2的三棱锥．‎ 故，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．‎ ‎6．已知命题 p：f (x)＝x3－ax 的图像关于原点对称；命题 q：g (x)＝xcos ‎ x的图像关于 y 轴对称．则下列命题为真命题的是（ ）‎ A．Ø p B．q C．p∧q D．p∧(Ø q)‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析命题、的真假，结合复合命题真假判断方法分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，对于，有，为奇函数，其图象关于原点对称，为真命题；‎ 对于，，为奇函数，其图象关于原点对称，为假命题；‎ 则为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合命题真假的判断，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．‎ ‎7．《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示，当内方的边长为5 时， 外方的边长为， 略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合题意可计算出，，根据几何概型概率公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，‎ 则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．‎ ‎8．为计算 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）‎ A．W＝W×i B．W＝W× (i＋1)‎ C．W＝W× (i＋2) D．W＝W× (i＋3)‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 根据式子的特征每个分式的分母比分子多2，即，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎9．在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据余弦定理先求出，然后求出，结合三角形的面积进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 则，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形高的计算，根据余弦定理求出是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎10．已知直四棱柱的所有棱长相等，， 则直线与平面所成角的余弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 直四棱柱的所有棱长相等，，‎ 取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线与平面所成角的余弦值等于，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，空间向量在立体几何中的应用，是中档题．‎ ‎11．如图， 直线经过函数（，‎ ‎） 图象的最高点和最低点，则（ ）‎ A．， B．， C．， D．， ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，代入直线得横坐标，即可得，从而得到的值，把点代入得到的值．‎ ‎【详解】‎ 由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，‎ 代入直线得其横坐标分别为和，‎ 故，，得，故，故，‎ 代入得，‎ 故，所以 因为，所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.‎ ‎12．设函数 f (x)＝aex－2sin x，x∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将函数有且只有一个零点，转化为方程，，有且只有一个实数根，构造函数g（x），求导求得极值与端点处的值，分析得到a的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数，有且只有一个零点，‎ ‎∴方程，，有且只有一个实数根，‎ 令g（x）=，‎ 则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，‎ ‎∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，‎ 又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了函数与方程的转化，利用了构造法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量 ＝(1， －3)， ＝(m， 6)，若 ∥，则 m＝_____．‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】若两向量平行，则其坐标满足关系式，将和坐标代入等式即得m。‎ ‎【详解】‎ 由题得，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量平行，属于基础题。‎ ‎14．若函数， 则_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据的解析式即可求出，进而求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ 故，即答案为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.‎ ‎15．已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上，且圆锥的母线长为 2，则该圆锥的侧面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出图形，根据已知条件可得为等边三角形，进而可求得圆锥的底面半径，根据圆锥侧面积公式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，圆锥的母线长，球的半径，‎ ‎∴为等边三角形，‎ 又∵，∴，，‎ ‎∴圆锥的侧面积为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题是中档题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的侧面积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．‎ ‎16．已知抛物线：的焦点为，经过点的直线交于，‎ 两点，若（为坐标原点），则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出的坐标，结合已知条件，利用几何性质，求出的坐标，然后求解的距离即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为，经过点的直线交于，两点，‎ 由（为坐标原点），‎ 可得是的中点，不妨设，可得，‎ 可得，解得，所以，，‎ 所以，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列满足：，，记，‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）判断是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）直接利用赋值法求出数列的各项；（2）根据已知条件可构造出 结合等比数列的定义可得结果；（3）利用上步的结论，进一步利用分组法求出数列的和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，，‎ 从而，， ， ‎ ‎（2）是等比数列．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以， 即，‎ 所以是等比数列，且首项，公比为 2．‎ ‎（3） 由（2）知，‎ 故．‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎18．在 中，点 在 边上，，，．‎ ‎(1)‎ ‎(2)若，求的长及的面积．‎ ‎【答案】（1） （2）28‎ ‎【解析】（1）先求出， ，再利用求出（2）先利用正弦定理求出，再求的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为， 所以， ，‎ 又因为 ，‎ 所以 ‎．‎ ‎（2）在 中，由， ‎ 得 ‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换求值，考查正弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）推导出，，，从而平面，由此能证明平面；（2）取的中点 ，连接 ，则平面平面，，从而平面，设点到平面 的距离为，由，能求出点到平面 的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 因为分别为，边的中点，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，，‎ 又因为，‎ 所以平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）取的中点，连接，‎ 由（1）知平面，平面，‎ 所以平面平面，‎ 因为，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面， ‎ 在中：，‎ 在中：，‎ 在中，，，‎ 所以，‎ 又，设点到平面的距离为，‎ 由得，‎ ‎，所以.‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎20．设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与 C 交于两点，且的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）根据三角形周长为可得的值，结合离心率可得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）先得直线方程为，将其于椭圆方程联立，根据韦达定理得到，，证得即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的周长等于 ，‎ 所以，从而．‎ 因为，所以，即，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）得，．‎ 设， ，‎ 依题意，的方程为，‎ 将的方程代入并整理，可得，‎ 所以，． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，‎ 综上， 点在以为直径的圆上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，将题意转化为是解题的关键，属于中档题.‎ ‎21．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示：‎ 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 ‎40‎ ‎50‎ 个体经营户 ‎50‎ ‎150‎ 合计 ‎（1） 写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；‎ ‎（2） 补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；‎ ‎（3）‎ ‎ 根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议．‎ 附：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】（1）根据题意可得应为分层抽样；（2）利用联列表求出，然后判断即可；（3）加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作等.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 分层抽样 ‎（2） 完成列联表 普查对象类别 ‎ 顺利 ‎ 不顺利 ‎ 合计 企事业单位 ‎ ‎40 ‎ ‎10 ‎ ‎50‎ 个体经营户 ‎ ‎100 ‎ ‎50 ‎ ‎150‎ 合计 ‎ ‎140 ‎ ‎60 ‎ ‎200‎ 将列联表中的数据代入公式计算得 ‎ ，‎ 所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．‎ ‎（3）（意思相近即可得分）‎ 建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽样方法，独立检验思想的应用，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）若是的极值点， 求并讨论的单调性；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且，可得当时，，单调递减；当时，，单调递增；（2）由 ，得，令，利用二次求导可得其最小值，则..的范围可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），.‎ 因为是的极值点，‎ 所以，可得．‎ 所以，.‎ 因为在上单调递增，且时，，‎ 所以时，，，单调递减；‎ 时， ，，单调递增．‎ 故在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）由得，‎ 因为，所以.‎ 设，‎ 则.‎ 令，‎ 则，‎ 显然在内单调递减，且，‎ 所以时，，单调递减， 则，即，‎ 所以在内单减，从而.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎