2013年全国高校自主招生数学模拟试卷5

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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷5

‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五 一.选择题(本题满分36分,每小题6分)‎ ‎1.设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根,则q的弧度数为 ( )‎ ‎ A. B.或 C.或 D. ‎2.已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N¹Æ,则b的取值范围是 ( )‎ ‎ A.[-,] B.(-,) C.(-,] D.[-,] 3.不等式+logx3+2>0的解集为 ‎ A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] ‎ ‎4.设点O在DABC的内部,且有+2+3=,则DABC的面积与DAOC的面积的比为( )‎ ‎ A.2 B. C.3 D. ‎ ‎5.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )‎ ‎ A.45个 B.81个 C.165个 D.216个 ‎6.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二.填空题(本题满分54分,每小题9分)‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ;‎ ‎8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)= ;‎ ‎9.如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,二面角A-BD1—A1的度数是 ;‎ ‎10.设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k= ;‎ ‎11.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则的值是 ;‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为 ;‎ 三.解答题(本题满分60分,每小题20分)‎ ‎13.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问:‎ ‎⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关?‎ ‎⑵ 他连过前三关的概率是多少?‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项.‎ ‎ ⑴ 求点P的轨迹方程;‎ ‎ ⑵ 若直线L经过DABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.‎ ‎15.已知a,b是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=的定义域为[a,b].‎ ‎ ⑴ 求g(t)=maxf(x)-minf(x);‎ ‎ ⑵ 证明:对于ui∈(0,)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则++<.‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四 参考答案 一.选择题(本题满分36分,每小题6分)‎ ‎1.设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根,则q的弧度数为 ( )‎ ‎ A. B.或 C.或 D. 解:由方程有重根,故D=4cos2q-cotq=0,‎ ‎∵ 00的解集为 ‎ A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] ‎ 解:令log2x=t≥1时,>t-2.t∈[1,2),Þx∈[2,4),选C.‎ ‎4.设点O在DABC的内部,且有+2+3=,则DABC的面积与DAOC的面积的比为( )‎ ‎ A.2 B. C.3 D. ‎ 解:如图,设DAOC=S,则DOC1D=3S,DOB1D=DOB‎1C1=3S,DAOB=DOBD=1.5S.DOBC=0.5S,ÞDABC=3S.选C.‎ ‎5.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )‎ ‎ A.45个 B.81个 C.165个 D.216个 解:⑴等边三角形共9个;‎ ‎⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a,b),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ;‎ 解:f(x)= sin(ax+j),周期=,取长为,宽为2的矩形,由对称性知,面积之半即为所求.故填.‎ 又解:∫[1-sin(ax+j)]dx=∫(1-sint)dt=.‎ ‎8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)= ;‎ 解:令x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2,Þf(1)=2.‎ 令y=1,得f(x+1)=‎2f(x)-2-x+2,即f(x+1)=‎2f(x)-x.①‎ 又,f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2,令y=1代入,得f(x+1)=‎2f(x)-f(x)-1+2,即f(x+1)=f(x)+1.②‎ 比较①、②得,f(x)=x+1.‎ ‎9.如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,二面角A-BD1—A1的度数是 ;‎ 解:设AB=1,作A‎1M⊥BD1,AN⊥BD1,则BN·BD1=AB2,ÞBN=D‎1M=NM=.‎ ÞA‎1M=AN=.‎ ‎∴ AA12=A‎1M2‎+MN2+NA2-‎2A1M·NAcosq,Þ12=++-2´cosq,Þcosq=.‎ Þq=60°.‎ ‎10.设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k= ;‎ 解:设=n,则(k-)2-n2=,Þ(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2,Þk=(p+1)2.‎ ‎11.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且a0=3,则的值是 ;‎ 解:=+,Þ令bn=+,得b0=,bn=2bn-1,Þbn=´2n.即=,Þ=(2n+2-n-3).‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为 ;‎ 解:当∠MPN最大时,⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ,则线段PQ上的点P¢使∠MP¢N更大).于是,延长NM交x轴于K(-3,0),有KM·KN=KP2,ÞKP=4.P(1,0),(-7,0),但(1,0)处⊙MNP的半径小,从而点P的横坐标=1.‎ 三.解答题(本题满分60分,每小题20分)‎ ‎13.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问:‎ ‎⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关?‎ ‎⑵ 他连过前三关的概率是多少?‎ 解:⑴ 设他能过n关,则第n关掷n次,至多得6n点,‎ 由6n>2n,知,n≤4.即最多能过4关.‎ ‎⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2,第二关时掷2次的点数和>4,第三关时掷3次的点数和>8.‎ 第一关过关的概率==;‎ 第二关过关的基本事件有62种,不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数,有C个 (亦可枚举计数:1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计6种,过关的概率=1-=;‎ 第三关的基本事件有63种,不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数,可连写8个1,从8个空档中选3个空档的方法为C==56种,不能过关的概率==,能过关的概率=;‎ ‎∴连过三关的概率=´´=.‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项.‎ ‎ ⑴ 求点P的轨迹方程;‎ ‎ ⑵ 若直线L经过DABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.‎ 解:⑴ 设点P的坐标为(x,y),‎ AB方程:+=1,Þ4x-3y+4=0, ①‎ BC方程:y=0, ②‎ AC方程:4x+3y-4=0, ③‎ ‎∴ 25|y|2=|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|,‎ Þ25y2+16x2-(3y-4)2=0,Þ16x2+16y2+24y-16=0,‎ Þ2x2+2y2+3y-2=0.‎ 或25y2-16x2+(3y-4)2=0,Þ16x2-34y2+24y-16=0,‎ Þ8x2-17y2+12y-8=0.‎ ‎∴ 所求轨迹为圆:2x2+2y2+3y-2=0, ④‎ 或双曲线:8x2-17y2+12y-8=0. ⑤‎ 但应去掉点(-1,0)与(1,0).‎ ‎⑵ DABC的内心D(0,):经过D的直线为x=0或y=kx+. ⑥‎ ‎(a) 直线x=0与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点;‎ ‎(b) k=0时,直线y=与圆④切于点(0,),与双曲线⑤交于(±,),即k=0满足要求.‎ ‎(c) k=±时,直线⑥与圆只有1个公共点,与双曲线⑤也至多有1个公共点,故舍去.‎ ‎(c) k¹0时,k¹时,直线⑥与圆有2个公共点,以⑥代入⑤得:(8-17k2)x2-5kx-=0.‎ 当8-17k2=0或(5k)2-25(8-17k2)=0,即得k=±与k=±.‎ ‎∴ 所求k值的取值范围为{0,±,±}.‎ ‎15.已知a,b是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)= 的定义域为[a,b].‎ ‎ ⑴ 求g(t)=maxf(x)-minf(x);‎ ‎ ⑵ 证明:对于ui∈(0,)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则++<.‎ 解:⑴ a+b=t,ab=-.故a<0,b>0.当x1,x2∈[a,b]时,‎ ‎∴ f ¢(x)= =.而当x∈[a,b]时,x2-xt<0,于是f ¢(x)>0,即f(x)在[a,b]上单调增.‎ ‎∴ g(t)= -== ‎ == ‎⑵ g(tanu)= =≥,‎ ‎∴ ++≤[16´3+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75-9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]‎ 而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥()2,即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3.‎ ‎∴++≤(75-3)= .由于等号不能同时成立,故得证.‎ ‎ ‎
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