山东省新高考质量测评联盟2019-2020学年高二上学期10月联考数学试题 含解析

山东省新高考质量测评联盟2019-2020学年高二上学期10月联考数学试题 含解析

山东省新高考质量测评联盟2019-2020学年高二上学期10月联考数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 命题“∀x＞2，2x2-x+1＞‎0”‎的否定是（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 2. 在数列{an}中，a1=2，a2=4，2an=an-1+an+1（n∈N+且n≥2），则a4=（　　）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ 3. 已知数列{an}是正项等比数列，若是a2和a8的等比中项，则a‎1a3a5a7a9的值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 在实数范围内，下列命题正确的是（　　）‎ A. 若,则 B. 若,,则 C. 若,,则  D. 若,则 5. 已知数列{an}，其通项公式an=3n-18，则其前n项和Sn取最小值时n的值为（　　）‎ A. 4 B. 5或‎6 ‎C. 6 D. 5‎ 6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )‎ A. 24里 B. 12里 C. 6里 D. 3里 7. 若数列{an}的通项公式是，则a1+a2+…+a11=（　　）‎ A. 15 B. ‎19 ‎C. D. ‎ 8. 不等式ax2+bx+c＞0的解集为，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 若方程5x2+（a-11）x+a-2=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 关于x的不等式2x2-λx+1＜0对，都成立，则实数λ的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 在数列{an}中，a1=2，a2=3，且满足，则a2019=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy=5，则x+2y的最大值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则an＝___________．‎ 3. 在△ABC中，D是线段BC上的动点（不包括端点），满足=m+n，则的最小值是______．‎ 4. 在各项均为正数的等比数列{an}中，前n项和为Sn，且成等差数列，则的值是______‎ 5. 给出下列四个命题： ①函数的最小值是2； ②等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S9＞0，S10＜0，则当n=5时，Sn取最大值； ③等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=20，则S30=40； ④∀x∈R，2x2-1≤ax2+2x恒成立，则实数a的取值范围是[3，+∞） 其中所有正确命题的序号是______‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 6. 命题p：实数x满足，命题q：实数x满足x2-4ax+‎3a2＜0（a＞0），p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 7. 已知函数f（x）=ax2-（a+1）x+1： （1）当a=-2时，解关于x的不等式f（x）＜0 （2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＞0 ‎ 8. 已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，a3=9，S8=108，数列{bn}是等比数列： （1）求数列{an}的通项公式； （2）若b4-b2=‎2a4，b2+b3=a2，求数列{bn}的通项公式 ‎ 9. 已知数列{an}满足 （1）求证数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn=anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn ‎ ‎ ‎ 1. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元． （1）每台充电桩第几年开始获利？（） （2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大． ‎ 2. 数列{an}的前n项和记为Sn，3Sn=2an+1（n∈N+），数列{bn}满足： （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和记为Tn； （3）若对任意正整数n都成立，求实数x的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，命题“∀x＞2，2x2-x+1＞‎0”‎的否定是：∃x＞2，2x2-x+1≤0， 故选：B． 全称命题的否定为特称命题，直接否定即可． 本题考查了全称命题的否定，属于基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：数列{an}中，a1=2，a2=4，2an=an-1+an+1（n∈N+且n≥2），所以数列{an}为等差数列． 所以‎2a2=a1+a3，解得a3=6， 所以‎2a3=a2+a4，解得a4=8， 故选：C． 直接利用等差数列的性质和等差中项的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差中项的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵是a2和a8的等比中项， ∴a2•a8=5， 又a‎1a9=a‎3a7==a2•a8=5，a5＞0， ∴a5=， 则a‎1a3a5a7a9=25． 故选：B． 是a2和a8的等比中项，可得a2•a8=5，利用等比数列的性质可得a‎1a9=a‎3a7==a2•a8=5，a5＞0，可得a5，进而得出结论． 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：对于A：假设a=1，b=-1，显然，∴A选项不对； 对于B：a＞b＞0，c＞d＞0，假设a=c=，b=d=，则不成立；∴B选项不对； 对于C：a＜b，c＜d，可得-c＞-d，那么a-d＜b-c，∴C选项不对； 对于D：由ac2＞bc2，c2＞0，可得a＞b，∴D对； 故选：D． 根据不等式的性质，依次考察各个选项即可得答案． 本题考察不等式的比较大小和性质的应用，比较基础，可以通过反例判断． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由an=3n-18≤0，解得n≤6． ∴其前n项和Sn取最小值时n的值为5，或6． 故选：B． 由an=3n-18≤0，解得n．即可得出． 本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比的等比数列， 由S6=378，得，解得：a1=192， ∴， 故选：C． 由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：， ∴a2k-1+a2k=-[3（2k-1）+1]+3×2k+1=3，a11=-34． ∴a1+a2+…+a11=3×5-34=-19． 故选：C． 由，可得a2k-1+a2k=3，a11=-34．即可得出． 本题考查了分组求和、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为， ∴a＜0且是方程ax2+bx+c=0的根， ， ∴， 则不等式cx2+bx+a＞0可化为-ax2-x+a＞0， ∴3x2+5x-2＞0， ∴x或x＜-2， 故选：A． 由题意可知，a＜0且是方程ax2+bx+c=0的根，然后根据方程的根与系数的关系可求b，c与a的关系，然后代入后结合二次不等式的求解即可． 本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的求解关系的相互转化及二次不等式的求解，体现了转化思想的应用． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设函数f（x）=5x2+（a-11）x+a-2， ∵方程5x2+（a-11）x+a-2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）， ∴∴∴2＜a＜4， 即实数a的取值范围是（2，4）； 故选：D． 根据方程和函数之间的关系构造函数f（x）=5x2+（a-11）x+a-2，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系进行求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的分布，根据方程和函数之间的关系构造函数是解决本题的关键．属于基础题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：关于x的不等式2x2-λx+1＜0对都成立，即对都成立， 令，则，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 又，，所以，所以． 故选：B ‎． 本题考查恒成立问题，主要方法是分离参数，转化成求函数最值，根据本题特征，可转化为基本不等式求解． 分离参数时注意不等式是否变号，基本不等式求最值要注意验证取等条件，本题属于基础题型，常考类型． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵数列{an}中，a1=2，a2=3，且满足， ∴a3==，a4==，=，=，a7==2=a1， ∴数列{an}是以6为周期的数列， 则a2019=a3= 故选：A． 由已知递推关系，代入可求a3=，a4=，，，a7=，然后可得数列的周期为6，可求 本题主要考查利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是发现数列的周期性． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由基本不等式可知，xy=x•2y，当且仅当x=2y时取等号 ∵x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy=5， ∴（x+2y）2-3xy=5即3xy=（x+2y）2-5×3，（当且仅当y=，x=时取等号） 解可得，0＜x+2y， 则x+2y的最大值是2． 故选：B． 由基本不等式xy=x•2y，结合已知可得3xy=（x+2y）2-5×3，解不等式可求． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是公式的灵活应用． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：Sn=n2+2n-1， n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1， n=1时，a1=S1=2． 则an=． 故答案为：． 根据n≥2时，an=Sn-Sn-1，n=1时，a1=S1，即可得出． 本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14.【答案】9 ‎ ‎【解析】解：由D是线段BC上的动点且满足=m+n， 由向量共线定理可知，m+n=1且m，n∈（0，1）， 则=（m+n）（）=5+=9， 当且仅当且m+n=1即n=，m=时取得最小值9． 故答案为：9 由已知结合向量共线定理可知，m+n=1且m，n∈（0，1），从而有=（m+n）（），展开后利用基本不等式即可求解． 本题主要考查了向量共线定理及利用基本不等式求解最值，解题的关键是发现m+n=1且利用1的代换配凑符合要求的形式． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 由成等差数列，得a3=a2+a1， ‎ ‎∴，解得q=． ∴== =． 故答案为：． 设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由成等差数列列式求得q，再由等比数列的通项公式与前n项和求解的值． 本题考查等比数列的通项公式与前n项和，考查等差数列的性质，是中档题． 16.【答案】②④ ‎ ‎【解析】解：对于①，函数=， 令=t，t≥，y=t+， 由双勾函数的单调性知在[，+∞）上单调递增，故当t=时，函数有最小值为；故①错误； 对于②，等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S9＞0，S10＜0， ∴  且  ； 即‎9a5＞0且5（a5+a6）＜0；∴a5＞0，a6＜0； 所以前5项和最大，故②正确； 对于③，等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10，S20-S10，S30-S20成等比数列； 即10，20-10，S30-20成等比数列，∴S30=30．故③错误； 对于④，∀x∈R，2x2-1≤ax2+2x恒成立，即（a-2）x2+2x+1≥0恒成立，即a-2＞0时，△≤0； ∴∴a≥3故④正确； 故答案为：②④． ①函数=，令=t，t≥，由双勾函数的单调性知，t=时，f（x）有最小值； ②根据等差数列的性质可判断； ③根据等比数列的性质可判断； ④根据∀x∈R，2x2-1≤ax2+2x恒成立，即（a-2）x2+2x+1≥0恒成立，即a-2＞0时，△≤0即可． 本题考查了双勾函数的单调性，等差等比数列的性质，二次函数恒成立问题，属于综合题． 17.【答案】解：（1）由，得（2x-3）（x-1）＜0， 即1＜x＜；记A={x|1＜x＜}． 由x2-4ax+‎3a2＜0得（x‎-3a）（x-a）＜0， 又a＞0，所以a＜x＜‎3a， 记B={x|a＜x＜‎3a}． ∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B； 有， 即． 故实数a的取值范围为[，1]． ‎ ‎【解析】根据条件解得命题p，q对应的集合A，B，由于p是q的充分不必要条件，故A⫋B，列出不等关系即可解得实数a的取值范围． 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题以及集合的运算，是一道中档题． 18.【答案】解：（1）当a=-2时，f（x）=-2x2+x+1＜0， 即2x2-x-1＞0， 解可得，x或x＞1， ∴不等式的解集为{x|x或x＞1}； （2）当a＞0时，由f（x）＞0可得，ax2-（a+1）x+1＞0， 即（ax-1）（x-1）＞0‎ ‎， ①当=1即a=1时，解可得，x≠1； ②当即0＜a＜1时，解可得，x＜1或x＞； ③当即a＞1时，解可得x或x＞1； 综上可得，当a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x}； 当a＞1时，不等式的解集为{x|x或x＞1}． ‎ ‎【解析】（1）当a=-2时，代入f（x）=-2x2+x+1＜0，结合二次不等式的求解即可； （2）当a＞0时，由f（x）＞0可得，（ax-1）（x-1）＞0，然后讨论与1的大小，结合二次不等式的求解即可． 本题主要考查了一元二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用． 19.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=9，S8=108， ∴a1+2d=9，8a1+d=108， 解得a1=d=3． ∴an=3+3（n-1）=3n． （2）设等比数列{bn}的公比为q， ∵b4-b2=2a4，b2+b3=a2， ∴b1q（q2-1）=24，b1q（q+1）=6， 解得：b1=，q=5． ∴bn=×5n-1=5n-2． ‎ ‎【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3=9，S8=108，可得a1+2d=9，8a1+d=108，解得a1，d． （2）设等比数列{bn}的公比为q，由b4-b2=2a4，b2+b3=a2，可得b1q（q2-1）=24，b1q（q+1）=6，解出即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.【答案】解：（1）证明：数列{an}满足， 所以5an+1an+2an+1=an+1an+2an， 整理得（常数）， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以．则． （2）由（1）得，数列{bn}满足bn=anan+1=， 所以=． ‎ ‎【解析】（1）直接利用构造新数列法的应用，得到数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式． （2）利用数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 21.【答案】解：（1）设第n年的维修费用为an，则{an}是以1000为首项，以400为公差的等差数列， 设{an}的前n项和为Sn，则Sn=1000n+400=200n2+800n， 设一台充电桩前n年的累计利润为f（n）， 则f（n）=6400n-200n2-800n-12800=-200（n2-28n+64）， 令f（n）＞0，可得n2-28n+64＜0， 解得：14-2＜n＜14+2，即2.6＜n＜25.4， ∴每台充电桩从第3‎ 年起开始获利． （2）每台充电桩的平均年利润为=-200（n+-28）， ∵n+≥2=16，当且仅当n=即n=8时取等号， ∴≤-200（16-28）=2400，当且仅当n=8时取等号． ∴每台充电桩在第8年时，年平均利润最大． ‎ ‎【解析】（1）设第n年的维修费用为an，求出{an}的前n项和，得出前n年的总利润f（n），令f（n）＞0得出n的范围即可； （2）根据基本不等式求出的最大值即可． 本题考查了等差数列的前n项和，基本不等式的应用，属于中档题． 22.【答案】解：（1）数列{an}的前n项和记为Sn，3Sn=2an+1①， 当n=1时，解得a1=1． 所以3Sn-1=2an-1+1（n≥2）②， 所以①-②得3an=2an-2an-1，整理得an=-2an-1， 故（常数），所以数列{an}为首项为a1=1，公比为-2的等比数列． 所以． 数列{bn}满足： 所以． （2）由（1）得cn=an•bn=（2n-3）•（-2）n-1， 故① -2② ①-②得， 所以． （3）令， 所以， 当n=1时t2-t1＞0，即t2＞t1． 当n=2时t3-t2＞0，即t3＞t2． 当n=3时t4-t3＜0，即t3＞t4， 所以t1＜t2＜t3＞t4＞t5＞…． 当n≥3时，tn的最大值为， 由于对任意正整数n都成立， 所以，解得． 故实数x的取值范围为[-）． ‎ ‎【解析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． （3）利用数列的单调性和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用和不等式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，函数的恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． ‎