高考数学模拟试卷 (4)

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理科数学 第 1页 共 6 页 2018 届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 理 科 数 学(4) 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．复数 i 1 iz   的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 345C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合  1A x x   ， 1 ,2 x B y y x A            ， 则 A B I A．  1 2x x   B．  2x x  C．  0 2x x  D．  3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积 为 2，则图中 x 的值为 A．1 B． 2 2 C． 3 3 D． 6 6 4．设 ,x y 满足约束条件 1 2 3 2 4 x y x       ， ， 则目标函数 2z x y  的最大值为 A． 7 2 B． 9 2 C． 13 2 D．15 2 5．将函数 1sin( )2 4y x   图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 2 （纵坐标不变），得到函数 ( )y f x 的图象，则函数 ( )4y f x  的一个单调递增区间是 A． ( ,0)2  B． (0, )2  理科数学 第 2页 共 6 页 C．( , )2   D． 3( ,2 )2   6．在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入由曲线 C (曲线 C 为正态分布 (2,1)N 的密度曲线)与直线 0,x  1x  及 0y  围成的封闭区域内点的个数的估计值为 (附:若 X  2( , )N   ，则 ( ) 0.6826P X        ， ( 2 2 ) 0.9544P X        ， ( 3 3 ) 0.9974P X        ) A．2718 B．1359 C．430 D．215 7． 已知 F 是抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点，P 是 C 上的一点，Q 是 C 的准线上一点．若 ΔPQF 是边长为 2 的等边三角形，则该抛物线的方程为 A． 2 8y x B． 2 6y x C． 2 4y x D． 2 2y x 8．已知锐角 ,  满足 sin 2 cos  ， 1cos( ) 7    ，则 cos  的值为 A． 13 14 B． 11 14 C． 5 3 14 D． 3 14 9．已知 O 是坐标原点， 1 2,F F 分别是双曲线 C : 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  , 0b  ）的左、右焦点， 过左焦点 1F 作斜率为 1 2 的直线，与其中一条渐近线相交于点 A ．若 2| | | |OA OF ，则双 曲线 C 的离心率 e 等于 A． 5 4 B． 5 3 C． 3 D． 2 10．世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写的 《张丘建算经》中的一个问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一， 值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几 何？张丘建是数学史上解决不定方程解的第一人．用现代 方程思想，可设 , ,x y z 分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的数量， 则不定方程为 5 3 100,3 100. zx y x y z         如图是体现张丘建求解 该问题思想的框图，则方框中①，②应填入的是 开始 1t  4x t 100z x y   , ,x y z输出 1t t  结束 是 否① ② 1 理科数学 第 3页 共 6 页 A． 3?t  ， 25 7y t  B． 3?t  ， 25 7y t  C． 5?t  ， 25 5y t  D． 5?t  ， 25 5y t  11．底面边长为 6 的正三棱锥的内切球半径为 1，则其外接球 的表面积为 A．  B．  C．  D． 12．设函数 ( ) ln( )f x x k  ， ( ) e 1xg x   ．若 1 2( ) ( )f x g x ，且 1 2x x 有极小值 1 ，则 实数 k 的值是 A． 1 B． 2 C． 0 D． 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．边长为  的正三角形 ABC 中， 1 2AD DC  ，则 BD AC   ___________． 14．  22 34 4 ( 1)x x x   的展开式中， 3x 的系数是___________．（用数字填写答案） 15．B 村庄在 A 村庄正西 10km，C 村庄在 B 村庄正北 3km．现在要修一条从 A 村庄 到 C 村庄的公路，沿从 A 村庄到 B 村庄的方向线路报价是 800 万元/km，沿其 他线路报价是 1000 万元/km，那么修建公路最省的费用是___________万元． 16．在 ABC 中，D 为边 BC 上的点，且满足 2DAC   ， 1sin 3BAD  ．若 1 3ABD ADCS S  ， 则 C 的余弦值为___________． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 2a  ， 13 2n nS a   ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 2logn nb a ，若 4 ( 1)n n n c b b   ，求证： 1 2 3nc c c    ． 理科数学 第 4页 共 6 页 18．（12 分） 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一 款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1 元/公里计费；②行驶时间不超过 40 分时，按 0.12 元/分计费；超过 40 分时，超出部 分按 0.20 元/分计费．已知张先生家离上班地点 15 公里，每天租用该款汽车上、下班 各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 t (分)是一个随机变量．现 统计了 50 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示： 时间 t （分）  20,30  30,40  40,50  50,60 频数 2 18 20 10 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为  20,60 分． （1）写出张先生一次租车费用 y （元）与用车时间 t （分）的函数关系式； （2）若张先生一次开车时间不超过 40 分为“路段畅通”，设 表示 3 次租用新能源 分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求 的分布列和期望； （3）若公司每月给 1000 元的车补，请估计张先生每月（按 22 天计算）的车补是否 足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间 的中点值作代表） 19．（12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， //AB DC ， 1 12BC DC AB   ． O 是 AB 的中点，PO  底面 ABCD ．O 在平面 PAD 上的正投影为点 H ，延长 PH 交 AD 于点 E ． （1）求证: E 为 AD 中点； （2）若 90ABC   ， 2PA  ，在棱 BC 上确定一 点 G ，使得 HG //平面 PAB ，并求出 OG 与面 PCD 所成角的正弦值． 20．（12 分） 理科数学 第 5页 共 6 页 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b     的左、右顶点分别为 ,A B ，上、下顶点分别为 ,C D ． 若四边形 ADBC 的面积为 4 ，且恰与圆 2 2 4: 5O x y  相切． （1）求椭圆 M 的方程； （2）已知直线 l 与圆 O 相切，交椭圆 M 于点 ,P Q ，且点 ,A B 在直线 l 的两侧．设 APQ 的面积为 1S ， BPQ 的面积为 2S ，求 1 2S S 的取值范围． 21．（12 分） 已知函数 2 21( ) ( )ln ( )2f x x x x ax a    R ，曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线与直线 2 1 0x y   垂直． （1）求 a 的值，并求 ( )f x 的单调区间； （2）若  是整数，当 0x  时，总有 2 21 1( ) (3 ) ln2 4f x x x x x      ，求  的最大值． 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写 清题号． 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为 2( 4cos ) 4r     ，曲线 2C 的参数方程为 4 3 cos , 3 sin x r y r       （ 为参数）． （1）求曲线 1C 的直角坐标方程和曲线 2C 的极坐标方程； （2）当 r 变化时，设 1,C 2C 的交点 M 的轨迹为 3C ．若过原点 O ，倾斜角为 3  的直线 l 与曲线 3C 交于点 ,A B ，求 OA OB 的值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知实数 x, y 满足 1x y  ． （1）解关于 x 的不等式 2 2 5x x y    ； （2）若 , 0x y  ，证明： 2 2 1 11 1 9 x y           理科数学 第 6页 共 6 页 2018 年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准(4) 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分． 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分． 13． 2 3  14．8 15． 9800 16． 6 3 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思 想、化归与转化思想等，满分 12 分． 解:（1）由题设 13 2n nS a   ， 当 2n  时， 13 2n nS a   ，两式相减得 13 n n na a a  ，即 1 4n na a  . …………………2 分 又 1a =2， 1 23 2a a  ，可得 2 8a  ， ∴ 2 14a a . ………………………………3 分 ∴数列{ }na 构成首项为 2，公比为 4 的等比数列， ∴ 1 2 12 4 2n n na     . ………………………………5 分 （没有验证 2 14a a 扣一分） （2）∵ 2 1 2log 2 2 1n nb n   ，………………………………6 分 4 4 2 ( 1) (2 1) 2 (2 1)n n n c b b n n n n        （ *nN ）， ………………7 分 ∴ 2n  时， 2 2 1 1 1 (2 1) (2 2) ( 1) 1nc n n n n n n n n            ， ………9 分 ∴ 1 2 3 1 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1nc c c c n n              …………10 分 13 n   ………………………………11 分 3 . ………………………………12 分 理科数学 第 7页 共 6 页 解法二：（1）同解法一； （2）∵ 2 1 2log 2 2 1n nb n   ，………………………………6 分 4 4 2 ( 1) (2 1) 2 (2 1)n n n c b b n n n n        （ *nN ）， ………………7 分 ∵ 2n  时， 2 1 1n n   ， ∴ 2 2 1 12( )(2 1) ( 1) 1nc n n n n n n         ， ………9 分 ∴ 1 2 3 1 1 1 12 2 ( ) ( )2 3 +1nc c c c n n               …………10 分 1 12 2 2 1n       …………………………… …11 分 3 . ………………………………12 分 解法三：（1）同解法一； （2）∵ 2 1 2log 2 2 1n nb n   ，………………………………6 分 4 4 2 ( 1) (2 1) 2 (2 1)n n n c b b n n n n        （ *nN ）， ………………7 分 ∴ 2n  时， 2 2 1 12( )(2 1) ( 1) 1nc n n n n n n         ， ………8 分 ∴ 1 2 3 1 2 3 4 5 1 1 1 12 ( ) ( )5 6 1nc c c c c c c c c n n                   …………10 分 1 2 1 2 1 12 23 15 14 45 5 n           …………… ……………11 分 619 22 3630 n     . ………………………… ……12 分 18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考 查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化 归与转化思想．满分 12 分． 理科数学 第 8页 共 6 页 解法一：（1）当 20 40t  时， 0.12 15y t  ………………………………1 分 当 40 60t  时 ， 0.12 40 0.20( 40) 15 0.2 11.8y t t       . ………………………………2 分 得： 0.12 15, 20 40, 0.2 11.8, 40 60 t ty t t        ………………………………3 分 （2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率 2 18 2 50 5P   ……4 分  可取 0 ，1， 2 ， 3. 0 3 0 3 2 3 27( 0) 5 5 125P C             ， 2 1 3 2 3 54( 1) 5 5 125P C          2 2 3 2 3 36( 2) 5 5 125P C             ， 3 0 3 3 2 3 8( 3) 5 5 125P C              的分布列为  0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 ……………7 分 27 54 36 80 1 2 3 1.2125 125 125 125E          ……………………………8 分 或依题意 2(3, )5B  ， 23 1.25E    ……………………………8 分 （3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间 2 18 20 1025 35 45 55 42.650 50 50 50t          （分钟），……………10 分 每次上下班租车的费用约为 0.2 42.6 11.8 20.32   （元）. ……………11 分 一个月上下班租车费用约为 20.32 22 2 894.08 1000    ， 估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12 分 解法二：（1）（2）同解法一； （3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为 2 18 20 10(15 0.12 25) (15 0.12 35) (11.8 0.2 45) (11.8 0.2 5 5) 20.51250 50 50 50                 （元） 理科数学 第 9页 共 6 页 ……………10 分 一个月上下班租车费用约为 20.512 22 2 902.528 1000    ……………11 分 估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12 分 19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满 分 12 分． 解法一：（1）连结 OE . 2,AB O 是 AB 的中点， 1CD  ， OB CD  ， //AB CD ， 四边形 BCDO 是平行四边形， 1OD  .………………1 分 PO  平面 ABCD ， AD  平面 ABCD ， PO AD  ，………………2 分 O 在平面 PAD 的正投影为 H ， OH  平面 PAD ， OH AD  .………………3 分 又 OH PO O  ， AD  平面 POE ， AD OE  ，………………4 分 又 1AO OD  ， E 是 AD 的中点. ………………5 分 （2） 90ABC   ， //OD BC ， OD AB  ， OP  平面 ABCD ， 以 O 为原点， , ,OD OB OP   分别为 , ,x y z 轴的正方向建立空 间直角坐标系 O xyz ，………………6 分 (0,0,0)O ， (0,0,1)P ， (1,1,0)C ， (1,0,0)D ， 2PA  ，OP AB ， 2 2 1PO PA AO    OA OD OP   ， ∴ H 是 ADP 的的外心， 2AD PD AP   ， H 是 ADP 的的重心， OH OP PH     2 3OP PE   1 1 1( , , )3 3 3   .………………8 分 设 BG BC  ， ( ,1,0)OG BC OB       ， 1 4 1( , , )3 3 3GH OH OG         ， 理科数学 第 10页 共 6 页 又 (1,0,0)OD   是平面 PAB 的一个法向量，且 //HG 平面 PAB ， 0GH OD    ， 1 03    ，解得 1 3   ， 1( ,1,0)3OG  ，………………9 分 设 ( , , )n x y z 是平面 PCD 的法向量， (1,0, 1)PD    ， (0, 1,0)CD   ， 0, 0, n PD n CD        即 0, 0, x z y     取 1,x  则 1, 0z y  ， (1,0,1)n  .………………11 分 cos , | | | | n PGn PG n PG       1 53 10102 9    ， 直线OG 与平面 PCD 所成角的正弦值为 5 10 .………………12 分 解法二：（1）同解法一； （2）过 H 作 HM EO ，交 EO 于点 M ， 过点 M 作 //GM AB ，分别交 ,OD BC 于 ,Q G ，则 //HG 平面 PAB ，………………6 分 证明如下： // ,MG AB AB  平面 ,PAB MG  平面 PAB ， //MG 平面 PAB  PO  平面 ABCD ， EO  平面 ABCD ， PO EO  ， ∴在平面 POD 中， //PO MH ， PO  平面 ,PAB HM  平面 PAB ， //MH 平面 PAB MG MH M  ，平面 //MHG 平面 PAB GH  平面 MHG ， //HG 平面 PAB .………………7 分 2, 3 OM PH OMME HE    ， 2 1 ,2 3BG OQ MO    ………………8 分 在OD 上取一点 N ，使 2 3ON  ， 10 3CN OG   ，………………9 分 作 NT PD 于T ，连结 CT . 理科数学 第 11页 共 6 页 ∵ ,CD OD ,CD OP OD OP O  ， CD  平面 POD ， NT CD  ， PD CD D  , NT  平面 PCD , NCT 就是OG 与平面 PCD 所成的角. ………………10 分 DN DP NT PO  , 1 3 2 NT  ，………………11 分 1 53 2sin 1010 3 NTOTN CN      , 即 直 线 OG 与 平 面 PCD 所 成 角 的 正 弦 值 为 5 10 .………………12 分 解法三：（1）同解法一. （2）过 E 作 //EQ AB ，交 BC 于点Q ， 连结 PQ ，过 H 作 //HM EQ 交 PQ 于点 M ， 过点 M 作 //GM PB ，交 BC 于 G ，连结 HG ， 则 //HG 平面 PAB ，………………6 分 证明如下： // ,MG PB PB  平面 ,PAB MG  平面 PAB ， //MG 平面 PAB 同理: //MH 平面 PAB MG MH M  ，平面 //MHG 平面 PAB ． GH  平面 MHG ， //HG 平面 PAB ，………………7 分 2BG PM PH GQ MQ HE     ，  E 是 AD 的中点， Q 是 BC 的中点， 1 1 3 3BG BC   ，………………8 分 取 PD 的中点 N ，连结ON ，再连结OG 并延长交 DC 的延长线于点T ，连结 NT ， OP OD ， N 是 PD 中点， ON PD  ，  OB OD ， ,OB OP OD OP D  ， OB  平面 POD OB ON  ， //OB CD ， ON CD  ， PD CD D  ， ON  平 面 PCD ， OTN 就是 OG 与平面 PCD 所成 理科数学 第 12页 共 6 页 的角. BG OB GC CT  ， 2CT  ， 2 2 10OT OD DT    . 1 2 ,2 2ON DP  ………………11 分 2 52sin 1010 ONOTN OT      ， 即 直 线 OG 与 平 面 PCD 所 成 角 的 正 弦 值 为 5 10 .………………12 分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问 题的能力，满分 12 分． 解法一：（1）根据题意，可得： 2 2 1 2 2 4,2 1 1 2 2 2 5 a b ab a b          ， 即 2 2 2, 5 ab a b    ，………………………………………………………2 分 解得 2, 1. a b    ………………………………………………………4 分 ∴椭圆 M 的方程为 2 2 14 x y  ．………………………………………………………5 分 （2）设 :l x my n  ， ( 2,2)n  ，直线 l 与圆 O 相切，得 2 2 51 n m   ，即 2 2 4( 1) 5 mn  ，………………………………6 分 从而  2 0,4m  . 又 1 1 2 1 ( 2)2S n y y   ， 2 1 2 1 (2 )2S n y y   ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 (2 ) ( 2)2S S n n y y n y y           .………………………………7 分 将直线 l 的方程与椭圆方程联立得 理科数学 第 13页 共 6 页 2 2 2(4 ) 2 4 0m y mny n     ， 显然 0  . 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，得 1 2 2 2 4 mny y m     ， 2 1 2 2 4 4 ny y m   ．…………8 分 ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4( ) ( ) 4 = 4 m ny y y y y y y y m         . ∴ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1644 4 2 1 8 1 165 5 4 4 5( 4)5 m m n m m mS S n m m m              4 2 2 4 24 2 8 17 +16 8 9= = 1+5 8 +165 8 +16 m m m m mm m    ， 当 2 0m  时， 1 2 8 5S S  ；………………………………10 分 当 2 (0,4)m  时 ， 1 2 2 2 2 2 8 9 8 91+ 1+ 2165 5 168+ 2 8 S S m mm m        ，………………………………11 分 且 1 2 8 5S S  . 综上， 1 2 8 ,25S S      ．………………………………12 分 解法二：（1）同解法一； （2）当直线 l 的斜率不存在时，由对称性，不妨设 2: 5 l x  ， 此时直线 l 与椭圆的交点为 2 2( , ) 5 5  ， 1 2 1 2 2 4 8( 2) (2 )2 55 5 5 S S           . 直线 l 的斜率存在时，设 :l y kx b  ，由直线 l 与圆 O 相切，得 2 2 51 b k   ，即 2 2 4( 1) 5 kb  . O P Q C D A B y 理科数学 第 14页 共 6 页 又点 ,A B 在直线l 的两侧， ∴ (2 )( 2 ) 0k b k b    ， 2 24 0b k  ， ∴ 2 24( 1) 4 05 k k   ，解得 1 2k  或 1 2k   . 点 ,A B 分别到直线 l 的距离为 1 2 2 1 k bd k    ， 2 2 2 1 k bd k   . 将直线 l 的方程与椭圆方程联立得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kbx b     ， 显然 0  . 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， 得 1 2 2 8 1 4 kbx x k     ， 2 1 2 2 4 4 1 4 bx x k    ．…………………………………7 分 ∴ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 11 1 ( ) 4 = 1 1 4 k bPQ k x x k x x x x k k            .……………… ………8 分 ∴ 1 2 1 2 1 2S S d d AB    2 2 2 22 2 2 21 4 4 112 1 41 1 k b k b k bk kk k            2 2 2 4 4 1 1 4 k bb k     2 2 2 4 4 1 1 4 k bb k     2 2 2 2 4( 1)4 4 14( 1) 5 5 1 4 kkk k     2 2 2 2 8 (1 )(1 16 ) 5 (1 4 ) k k k    2 4 2 4 8 1 17 16 5 1 8 16 k k k k     2 2 4 2 2 8 9 8 91 1 215 1 8 16 5 8 16 k k k kk         ， 且 1 2 8 5S S  . 综上， 1 2 8 ,25S S      ．…………………………………………………………………………12 分 理科数学 第 15页 共 6 页 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合 思想、数形结合思想等．满分 12 分． 解法一: （1）函数 ( )f x 的定义域是 (0, ) ， 1( ) ( 1)ln (2 ) 12f x x x a x      ，……………………………………………………………1 分 依题意可得， (1) 1f   ， 12 1 22a    ， 1 4a  .……………………………………………………………………2 分 ( ) ( 1)ln ( 1)f x x x x     = ( 1)(ln 1)x x  令 ( ) 0f x  ，即 ( 1)(ln 1) 0x x   ， 10, ex x   ，……………………………………3 分 x 1(0, )e 1 e 1( , )e  ( )f x - 0 + ( )f x ↘ 极大值 ↗ ( )f x 的单调递增区间是 1( , )e  ，单调递减区间为 1(0, )e .………………………………5 分 （2）由（Ⅰ）可知， 2 21 1( ) ( )ln2 4f x x x x x   ， 2 21 1( ) (3 ) ln2 4f x x x x x       ln 3 1 x x x x   ， ………………………………6 分 设 ln 3( ) 1 x x xh x x   ， 只要 min( )h x  ，……………………………………………7 分 2 (1 ln 3)( 1) ( ln 3 )( ) ( 1)        x x x x xh x x 2 2 ln ( 1) x x x    ，…………………………………………………………………8 分 令 ( ) 2 lnu x x x   ， 1( ) 1 0u x x     ( )u x 在 (0, ) 上为单调递增函数， (1) 1 0u    ， (2) ln 2 0 u 理科数学 第 16页 共 6 页 存在 0 (1,2)x  ，使 0( ) 0u x  ，……………………………………………………9 分 当 0( , )x x  时， ( ) 0u x  ，即 ( ) 0h x  ， 当 0(0, )x x 时， ( ) 0u x  ，即 ( ) 0h x  ， ( )h x 在 0x x 时取最小值，且 0 0 0 min 0 ln 3( ) 1   x x xh x x ，………………………………10 分 又 0( ) 0u x  ， 0 0ln 2x x   ， 0 0 0 min 0 0 (2 ) 3( ) 1      x x xh x xx ，……………………………………………………11 分 0 0(1,2), ( 2, 1)x x     又 min( )h x  ， max 2Z     . …………………………………………………………………12 分 解法二：（1）同解法一. （2）由（1）可知， 2 21 1( ) ( )ln2 4f x x x x x   2 21 1( ) (3 ) ln2 4f x x x x       ln 3 0x x x x      .…………………………6 分 设 ( ) ln 3g x x x x x     ，只要 min( ) 0g x  ，………………………………………7 分 则 ( ) 1 ln 3g x x      ln 2x    令 ( ) 0g x  ，则 ln 2x   ， 2x e  .…………………………………………………8 分 当 2(0, )x e 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减；当 2( , )x e  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递 增， 2 min( ) ( )g x g e  2 2 2( 2) 3e e e           2e    .…………………………9 分 设 2( )h e    ，则 ( )h  在 R 上单调递减，………………………………………10 分 ( 1) 1 0, ( 2) 1 2 0h e h          ，………………………………………………11 分 0 ( 2, 1)    ，使 0( ) 0h   ， max 2Z     . …………………………………………………………………12 分 22．选修 4 4 ；坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想、化归与转化思想等． 满分 10 分． 理科数学 第 17页 共 6 页 解法一：（1）由 1C ： 2( 4cos ) 4r     ， 得 2 24 cos 4 r     ， 即 2 2 24 4 0x y x r     ， ………………………………………………………2 分 曲线 2C 化为一般方程为： 2 2 2( 4) 3x y r   ，即 2 2 28 16 3x y x r    ，………4 分 化为极坐标方程为： 2 28 cos 16 3 0r      ．………………………………5 分 （2）由 2 24 cos 4 r     及 2 28 cos 16 3 0r      ，消去 2r ，得曲线 3C 的极坐标 方程为 2 2 cos 2 0( )      R ． …………………………………………………7 分 将   代入曲线 3C 的极坐标方程，可得 2 2 0    ，…………………8 分 故 1 2 1   ， 1 2 2 0     ，…………………………………………………9 分 故 1 2 1OA OB      ．…………………………………………………10 分 （或由 2 2 0    得 0)1)(2(   得 1,2 21   ，…………………9 分 故 2 1 1   OA OB …………………………………………………10 分） 解法二：（1）同解法一； （2）由 2 2 24 4x y x r    及 2 2 28 16 3x y x r    ，消去 2r ，得曲线 3C 的直角坐标方程 为 2 2 2 2x y x   ． ………………………………………………………………7 分 设直线 l 的参数方程为 1 ,2 3 2 x t y t     （ t 为参数），………………………………8 分 与 2 2 2 2x y x   联立得 2 21 3 24 4t t t   ， 即 2 2 0t t   ，………………………………………………………………9 分 理科数学 第 18页 共 6 页 故 1 2 1t t  ， 1 2 2 0t t    ， ∴ 1 2 1OA OB t t    ．……………………………………………………10 分 （或由 2 2 0t t   得， ,0)1)(2(  tt 得 1,2 21  tt ， ∴ 2 1 1   OA OB ．……………………………………………………10 分） 23．选修 4 5 ：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推 理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分 10 分． 解法一：（1） 1,x y  | 2 | | 1| 5x x     ，………………………………………1 分 当 2x  时，原不等式化为 2 1 5x   ，解得 3x  ， ∴ 2 3x  ；………………………………………………2 分 当 1 2x   时，原不等式化为 2 1 5x x    ， ∴ 1 2x   ；………………………………………………3 分 当 1x   时，原不等式化为 2 1 5x   ，解得 2x   ， ∴ 2 1x    ；………………………………………………4 分 综上，不等式的解集为 2 3x x   ．.……………………5 分 （2） 1,x y  且 0, 0x y  ， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( )( 1)( 1) x y x x y y x y x y         ……………7 分 2 2 2 2 2 2xy y xy x x y    2 2 2 2 2 2( )( )y y x x x x y y    2 2 5x y y x    ………………………………8 分 2 22 5 9x y y x     . 当且仅当 1 2x y  时，取“=”. ………………………………10 分 解法二：（1）同解法一； （2） 1,x y  且 0, 0x y  ， 理科数学 第 19页 共 6 页 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1( 1)( 1) x y x y x y       ………………………………6 分 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 )x x y y x y      2 2 (1 ) (1 )x y y x x y    ………………………………7 分 1 x y xy xy    ………………………………8 分 2 1xy   2 2 1 9 ( )2 x y   当且仅当 1 2x y  时，取“=”. ………………………………10 分