2019-2020学年重庆市沙坪坝区第一中学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市沙坪坝区第一中学校高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市沙坪坝区第一中学校高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将直线方程化为斜截式，即可得出该直线的斜率.‎ ‎【详解】‎ 将直线方程化为斜截式得，因此，该直线的斜率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用直线方程求直线的斜率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．若双曲线的焦距为，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，双曲线的焦点在轴上，由双曲线的焦距列出关于实数的方程，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，双曲线的焦点在轴上，其焦距为，解得.‎ 故选 ：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用双曲线的焦距求参数，解题时要结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】写出抛物线的准线方程，根据该准线与圆相切求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为，‎ 由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也涉及了抛物线的准线方程，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4．函数在区间[－1，1]上的最大值是（ ）‎ A．4 B．2 C．0 D．－2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.‎ ‎【详解】‎ 令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基础题.‎ ‎5．已知空间中三条不同的直线、、和平面，下列结论正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】A ‎【解析】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，若，，由直线与平面垂直的性质定理可知，A选项正确；‎ 对于B选项，若，，则与平行、相交或异面，B选项错误；‎ 对于C选项，若，，则与平行或异面，C选项错误；‎ 对于D选项，若，，则与平行、相交或异面，D选项错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中线线位置关系的判断，可以充分利用空间中垂直、平行的判定和性质定理来判断，也可以利用模型来判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎6．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造函数，对求导研究其单调性与在处的函数值，从而求得答案．‎ ‎【详解】‎ 的解集即为的解集 构造函数，则，‎ 因为，所以 所以在上单调递增，且 所以的解集为，‎ 不等式的解集为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数的应用，解题的关键是构造新函数．‎ ‎7．函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求导，求出函数的单调性，利用单调性来辨别函数的图象，以及函数值符号来辨别函数的图象．‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ 解不等式，即，得；‎ 解不等式，即，得或.‎ 所以，函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为．‎ 令，即，得或；‎ 令，即，得.‎ 所以，符合条件的函数为B选项中的图象，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号．在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题．‎ ‎8．在三棱锥中，底面，是的中点，已知，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 由题意可得：，，，，‎ 则，，‎ ‎，，，‎ 设异面直线与所成角为，则.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：一般地，我们可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线的夹角的余弦值为.‎ ‎9．已知双曲线过点且其渐近线方程为，的顶点、恰为的两焦点，顶点在上，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出双曲线的标准方程，利用正弦定理得出，再结合双曲线的定义可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由于双曲线过点，则其焦点在轴，‎ 设该双曲线的标准方程为，则，‎ 双曲线的渐近线方程为，得，‎ 所以，双曲线的标准方程为，其焦距为.‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线定义的应用，同时也考查了双曲线标准方程的求解以及双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10．已知函数，若，，，则实数、、的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用定义可得出函数为偶函数，利用单调性定义可判断出函数在区间上为增函数，可得出，再利用中间值法比较、、三个数的大小关系，由函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，，该函数为偶函数，‎ 当时，‎ ‎,‎ 则函数在区间上为增函数，‎ 则，‎ 指数函数为增函数，则，‎ 对数函数在上为增函数，则，即，‎ ‎，则，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，同时也考查了指数式与对数式的大小比较，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎11．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，由∠PFQ=120°，则∠FPF′=60°，‎ 由正弦定理定理可知：∠PFF′=30°，‎ ‎∠PF′F=90°，‎ 则|FF′|=|QF|，即2c=|QF|，‎ ‎2a=|PF|+|QF|=3|QF|，‎ ‎∴椭圆的离心率e==，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 求解离心率的常用方法 ‎1.利用公式，直接求e.‎ ‎2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解．‎ ‎12．设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有5个解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分段函数的解析式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解.‎ ‎【详解】‎ 首先，确定在x＞0上，方程f(x)=1的解.‎ 时，在，‎ ‎，‎ 所以由取整意义有[lnx]=-(n+1),‎ 又 即在上，恒有 取n=0,，‎ 令此时有一根，‎ 当n≥1时，恒有f(x)-1＞1，‎ 此时在上无根.‎ 在上，，‎ ‎，‎ 又 所以在上，恒有，‎ ‎.‎ n=1时，在上，‎ 有 n=2时，在 有 即 所以此时有两根，‎ 这样在 有三根，‎ 在 显然有一根 所以在有且仅有一根，‎ 由“洛必达法则”‎ 是先增后减，‎ 得 或a＞0.‎ 单调递增，‎ 即 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，的导函数为，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数的导数，代入计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，解题的关键就是求出函数的导数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知函数，若是函数的极小值点，则实数的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数的导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，综合即可得出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，定义域为，且，‎ 由题意得，解得，此时，.‎ 令，得或，列表如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数在处取得极小值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的极值点求参数，对于可导函数而言，导函数在极值点处的函数值为零，同时还应对极值点处导数的符号变化进行分析，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15．在正方体中，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出图形，设正方体的棱长为，由中位线的性质得出，可得知直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，并计算出点到平面的距离，从而可得出直线与平面所成角的正弦值为，即为所求结果.‎ ‎【详解】‎ 设正方体的棱长为，如下图所示：‎ 连接交于点，则为的中点，‎ 由于、分别是、的中点，，‎ 则直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，.‎ 三棱锥的体积为.‎ 是边长为的正三角形，其面积为，‎ 设点到平面的距离，则，，‎ 所以，，‎ 因此，直线与平面所成角的正弦值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面所成角的正弦值的计算，解题时要熟悉直线与平面所成角的定义，也可以计算出点到平面的距离，利用锐角三角函数求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点．若（为坐标原点），则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则由抛物线的定义可得，则，故，故直线的方程为代入抛物线方程整理可得，则，则，所以，应填答案。‎ 点睛：本题以抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系为背景，精心设置了一道求线段长度的比值问题。旨在考查抛物线的标准方程和几何性质等基础知识与运算求解能力和分析问题解决问题的能力。解答时，先依据题设条件将过焦点的直线与抛物线方程联立，求出交点的坐标，然后再运用抛物线的定义求出两线段的长度及比值。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数在处的切线为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）减区间为增区间为 ‎【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意可得：‎ 又函数在处的切线为，‎ 解得：‎ ‎（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，‎ 当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；‎ 当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎∴的单调减区间为的单调增区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，、分别为、的中点，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）由等腰三角形三线合一的性质可得，由平面与平面垂直的性质定理可得出平面，计算出三棱锥的体积，由为的中点，可得出三棱锥的体积为三棱锥的体积的一半，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，为的中点，，且，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 又平面，平面，所以平面； ‎ ‎（2）因为，.‎ 因为，，，，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，‎ 的面积为，‎ 连接，则.‎ 又是线段的中点，，‎ 故三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎19．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由抛物线的定义可得，即可求出，进而可得抛物线的方程； （2）由题意易知：直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和向量数量积的坐标运算代入即可解出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）已知抛物线过点，且 则，‎ ‎∴，‎ 故抛物线的方程为；‎ ‎（2）设，，‎ 联立，得，‎ ‎，得，‎ ‎，，‎ 又，则，‎ ‎，‎ 或，‎ 经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，‎ 又，‎ 综上：的值为-8．‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了利用一元二次方程的根与系数的关系研究直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．如图1，在直角中，，分别为的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据条件证明平面即可（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计算二面角余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由条件可知，而为的中点， ， ‎ 又面面，面面，且， 平面 又因为平面， ．‎ ‎（2）由（1）可知，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，‎ 则： ‎ 易知面的法向量为， ‎ 设平面的法向量为，则：，易得 ‎ 设平面与平面所成锐二面角为，则 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，属于中档题.‎ ‎21．椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线：被圆：截得的弦长为3，且与椭圆交于，两点，求△面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）借助条件布列的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面积函数，转求最值.‎ 试题解析：（1）由题意可得，，‎ 解得，，，‎ 即有椭圆的方程为；‎ ‎（2）∵到的距离，‎ ‎∴，∴．‎ 设，，把代入得 ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴当，即时，．‎ ‎【考点】1、待定系数法求椭圆方程；2、设而不求法表示面积.‎ ‎【思路点睛】本题综合考查了直线、圆、椭圆的知识，难度中等.第一问通过待定系数法确定椭圆的方程，注意对椭圆基本性质的理解；第二问考查了三角形的面积问题，如何表示面积手段是非常灵活的，除了熟知的底乘高除以二以外，还有面积的正弦形式，特别是割补思想表示面积，本题比较常规，难点是包含两个变量，通过弦长建立二者的等量关系，就可以很轻松的建立面积的一元函数.在求最值上很有技巧性，巧解均值不等式，值得同学们总结.‎ ‎22．（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知函数，，如果函数有两个极值点、，求证：.（参考数据：，，，为自然对数的底数）‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）构造函数，其中，可得，求出函数 的导数，构造函数，分和两种情况讨论，结合可求出实数的取值范围；‎ ‎（2）由题意得出，变形得，利用基本不等式得出，然后构造函数，利用导数分析函数的单调性，证明出，结合单调性可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，其中，且有，‎ ‎，‎ 令，则.‎ ‎①当时，即当时，对任意的，，即，‎ 所以，函数在区间上为增函数，当时，，合乎题意；‎ ‎②当时，则或.‎ ‎（i）当时，对任意的，，即，‎ 所以，函数在区间上为增函数，当时，，合乎题意；‎ ‎（ii）当时，设函数的两个极值点分别为、，设，‎ 由韦达定理得，则必有，‎ 当时，，当时，.‎ 所以，，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是；‎ ‎（2）若，‎ 则有两个不同的零点、.‎ 由题意，相加有，①‎ 相减有，从而，‎ 代入①有，‎ 即，‎ 不妨设，则，由（1）有.‎ 又，‎ 所以，即，‎ 设，则，在单调递增，‎ 又，‎ ‎，，因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分类讨论思想的应用以及推理论证能力，属于难题.‎