2019年高考数学仿真押题试卷（十六）（含解析）

2019年高考数学仿真押题试卷（十六）（含解析）

专题16 高考数学仿真押题试卷（十六）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：；‎ ‎．‎ ‎【答案】． 2．复数满足为虚数单位），则复数　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由，得，‎ 则．‎ ‎【答案】． 3．展开式中项的系数是　　‎ A．270 B．180 C．90 D．45‎ ‎【解析】解：，‎ 展开式中项的系数为 270，‎ 17‎ ‎【答案】． 4．运行如图程序框图，输出的值是　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】解：，否，，，‎ ‎，否，，，‎ ‎，否，，，‎ ‎，否，，，‎ ‎，是，输出，‎ ‎【答案】． 5．已知为锐角，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：为锐角，且，则，‎ ‎【答案】． 6．已知双曲线的焦距为8，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：双曲线的焦距为8，可得；‎ 17‎ 一条渐近线方程为，可得，，‎ 可得：，，‎ 所以双曲线方程为：．‎ ‎【答案】． 7．已知函数，则下列结论正确的是　　‎ A．是偶函数 B．是增函数 ‎ C．是周期函数 D．的值域为，‎ ‎【解析】解：由解析式可知当时，为周期函数，‎ 当时，，为二次函数的一部分，‎ 故不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，‎ 故可排除、、，‎ 对于，当时，函数的值域为，，‎ 当时，函数的值域为，‎ 故函数的值域为，，故正确．‎ ‎【答案】． 8．如图是将二进制数化为十进制数的程序框图，判断框内填入条件是　　‎ 17‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由已知中程序的功能是将二进制数化为十进制数 结合循环体中，及二进制数共有6位 可得循环体要重复执行5次 又由于循环变量初值为1，步长为1，故循环终值为5，‎ 即时，继续循环，时，退出循环 ‎【答案】． 9．已知双曲线的离心率为2，焦点为、，点在上，若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：双曲线的离心率为2，‎ ‎，即，‎ 点在双曲线上，‎ 则，‎ 又，‎ 解得，，，‎ 则由余弦定理得 ‎．‎ ‎【答案】． 10．已知是平行四边形所在平面外的一点，、分别是、的中点，若，，则异面直线与所成角的大小是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：连接，并取其中点为，连接，‎ 则，，‎ 就是异面直线与所成的角．‎ 由，，‎ 17‎ 得，，，‎ ‎．‎ ‎．‎ 即异面直线与成的角．‎ ‎【答案】．‎ ‎ 11．定义域的奇函数，当时恒成立，若（3），（1），，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：设，依题意得是偶函数，‎ 当时，，‎ 即恒成立，故在单调递减，‎ 则在上递增，‎ 又（3）（3），（1）（1），（2），‎ 故．‎ ‎【答案】． 12．如图，矩形中边的长为1，边的长为2，矩形位于第一象限，且顶点，分别在轴轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是　　‎ A． B．5 C．6 D．7‎ 17‎ ‎【解析】解：设，，，则，．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 的最大值是．‎ ‎【答案】． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若，则　　．‎ ‎【解析】解：，则，‎ 故答案为：． 14．已知，，且，则的最小值为　4　．‎ ‎【解析】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，时取等号，‎ 故答案为：4 15．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为　　．‎ ‎【解析】解：四棱锥的体积为，‎ 如下图所示，‎ 17‎ 易证，，，，‎ 所以，四棱锥的表面积为，‎ 所以，四棱锥的内切球的半径为，‎ 因此，此球的最大表面积为． 16．在中，，，若恒成立，则的最小值为　　．‎ ‎【解析】解：，，‎ 由正弦定理可得，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 恒成立，‎ 则，即的最小值为，‎ 故答案为：． ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 17‎ ‎17．已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，‎ 由，且，，成等比数列，得 ‎，解得．‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎． 18．已知平面多边形中，，，，，，为的中点，现将沿折起，使．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解析】（1）证明：取中点，连接，则为的中位线，‎ ‎，又，‎ ‎，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 17‎ 平面．‎ ‎（2）解：取的中点，连接，，‎ ‎，，‎ 又，，，‎ 四边形是正方形，‎ ‎，‎ 为二面角的平面角，‎ 设在底面上的射影为，‎ ‎，，，‎ ‎，又，‎ ‎，为的中点，‎ ‎，．‎ 设的中点为，以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，0，，，0，，，1，，‎ ‎，2，，，2，，，3，，‎ 设平面的法向量为，，，则，即，‎ 令可得，，，‎ ‎．‎ 直线与平面所成角的正弦值为．‎ 17‎ ‎ 19．已知抛物线，其焦点为，为坐标原点，直线与抛物线相交于不同两点，，为的中点．‎ ‎（1）若，的坐标为，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线过焦点，的垂直平分线交轴于点，试问：上是否为定值，若为定值，试求出此定值，否则，说明理由．‎ ‎【解析】解：（1），则抛物线，‎ 设，，，，‎ ‎，‎ 为的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 直线的方程为，即 ‎（2）：设直线的方程为：，，，，．‎ 联立，化为：，‎ ‎△，，．‎ ‎ 设的中点为，，‎ 17‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 直线的垂直平分线的方程为，‎ 令，解得 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎ 20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：‎ 组别 年龄 组统计结果 组统计结果 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车 ‎，‎ ‎27人 ‎13人 ‎40人 ‎20人 ‎，‎ ‎23人 ‎17人 ‎35人 ‎25人 ‎，‎ ‎20人 ‎20人 ‎35人 ‎25人 ‎（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．‎ 17‎ ‎①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；‎ ‎②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自组，求组这4人中得到礼品的人数的分布列和数学期望；‎ ‎（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应取25还是35？请通过比较的观测值的大小加以说明．‎ 参考公式：，其中．‎ ‎【解析】解：（1）①由分层抽样性质得：‎ 从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁“的人数为：人，‎ ‎”年龄达到35岁”中偶而使用单车的人数为：人．‎ ‎②组这4人中得到礼品的人数的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：‎ ‎ 经常使用单车 ‎ 偶尔使用单车 ‎ 合计 17‎ ‎ 未达到35岁 ‎ 125‎ ‎ 75‎ ‎ 200‎ ‎ 达到35岁 ‎ 55‎ ‎ 45‎ ‎ 100‎ ‎ 合计 ‎ 180‎ ‎ 120‎ ‎ 300‎ 时，的观测值：‎ ‎．‎ 时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：‎ ‎ 经常使用单车 ‎ 偶尔使用单车 ‎ 合计 ‎ 未达到25岁 ‎ 67‎ ‎ 33‎ ‎ 100‎ ‎ 达到25岁 ‎ 113‎ ‎ 87‎ ‎ 200‎ ‎ 合计 ‎ 180‎ ‎ 120‎ ‎ 300‎ 时，的观测值：‎ ‎，‎ ‎，‎ 欲使犯错误的概率尽量小，需取． 21．已知函数．‎ ‎（1）讨论的极值点的个数；‎ ‎（2）若方程在，上有且只有一个实根，求的取值范围．‎ ‎【解析】解：（1）函数的定义域为，‎ 函数的导数 ‎，；‎ ‎①若，即时，则由得或（舍，此时函数为增函数，‎ 由得，此时，此时函数为减函数，‎ 即当时，函数取得极小值，此时无极大值，即极值点有1个，‎ 17‎ ‎②若，即时，则由得或，此时函数为增函数，‎ 由得，此时函数为减函数，‎ 即当时，函数取得极小值，‎ 当时，函数取得极大值，即极值点有2个，‎ 综上当时，在处取得极小值，极值点只有1个，‎ 当时，有两个极值点．‎ ‎（2），‎ 当时，由（1）知，在，上是减函数，在，上是增函数；‎ 且，‎ ‎（1），（2）；‎ 故或；‎ 故或；‎ 当时，，故不成立；‎ 当时，由（1）知在，上是增函数，在，上是减函数，在，上是增函数；‎ 且，‎ ‎（1），‎ 故方程在，上有且只有一个实根，‎ 综上若方程在，上有且只有一个实根，则实数的取值范围是或或．‎ ‎(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，是参数），以坐标原点为极点，‎ 17‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，是曲线上任意一点，求点到曲线的距离的最大值．‎ ‎【解析】解：（1）曲线的参数方程为，是参数），‎ 曲线的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为．‎ ‎，‎ 曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）曲线经过伸缩变换得到曲线，‎ 曲线的方程为：，‎ 设，根据点到直线的距离公式得：‎ ‎，（其中，，‎ 点到曲线的距离的最大值为．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲](10分) 23．已知，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在使得成立，求的取值范围．‎ 17‎ ‎【解析】解：（1）当时，，‎ 若，即，‎ 即当时，，即，此时，‎ 当时，不等式等价为，‎ 即，此时，‎ 当时，不等式，得，此时无解，‎ 综上，即不等式的解集为，‎ ‎（2）若存在使得成立，‎ 即，‎ 则有解即可，‎ 设，‎ 则，‎ 作出函数的图象如图：‎ 则函数的最大值为，‎ 要使有解即可则即可．‎ 17‎ 17‎